机械控制理论基础课件第2章拉普拉斯变换.ppt

机 械 控 制 理 论,精 品 课 件,老师：王丽君,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,机 械 控 制 理 论,第二章,拉普拉斯变换的数学方法,拉普拉斯,(Laplace),变换,:,时域的,微分方程,复数域的,代数方程,优点：,1,、用图解法预测系统性能；,2,、解微分方程时，可同时获得解的瞬态分量,和稳态分量。,二、,拉氏变换与拉氏反变换的定义,三、,典型时间函数的拉氏变换,四、,拉氏变换的性质,五、,拉氏反变换的数学方法,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,六、用拉氏变换解常微分方程,一、复数和复变函数,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,1,、复数的概念,对,虚数单位,的规定,:,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数的定义,:,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,两复数相等,当且仅当,它们的实部和虚部分别相等,.,复数,z,等于,0,当且仅当,它的实部和虚部同时等于,0.,说明,两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小,.,共轭复数：,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,.,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数的表示方法（复平面的定义）,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数的向量表示法：,复数的模,显然下列各式成立,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数的辐角,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,（复数的三角表示式）,再利用,欧拉公式,复数可以表示成,（复数的指数表示式）,复数的三角表示和指数表示,一、复数和复变函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,2,、复变函数的概念,拉普拉斯变换,拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量,S,的乘积，将时间表示的微分方程，变成以,S,表示的代数方程。,二、拉氏变换与拉氏反变换的定义,拉氏变换的优点：可以用图解法预测系统的性能，而无须实际求解微分方程；解微分方程时，可以同时获得解的瞬态分量和稳态分量。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,拉氏变换的定义,设有时间函数,f(t),，其中，,则,f(t),的拉氏变换记作：,（规定：,t0,f(t)=0,）,L,拉氏变换符号；,s-,复变量；,F(s),象函数。,f(t),原函数,在物理上可以实现的信号，总是具有相应的拉氏变换。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,拉氏反变换的定义,将象函数,F(s),变换成与之相对应的原函数,f(t),的过程,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,1,、单位阶跃函数,三、,典型时间函数的拉氏变换,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,2,、单位脉冲函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,3,、单位斜坡函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,4,、指数函数,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,5,、,正弦函数,sinwt,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,6,、,余弦函数,coswt,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,线 性 性 质,若有常数,k,1,，,k,2,函数,f,1,(t),f,2,(t),且,f,1,(t),f,2,(t),的拉氏变换为,F,1,(s),F,2,(s),则有：,此式可由定义证明。,四、拉氏变换的性质,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,实数域的位移定理,若,f(t),的拉氏变换为,F(s),则对任一正实数,a,有,其中，当,t0,时，,f(t)=0,，,f(t-a),表,f(t),延迟时间,a.,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,复数域的位移定理,若,f(t),的拉氏变换为,F(s),对于任一常数,a,有,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,微分定理,设,f(t),的拉氏变换为,F(s),则,其中,f(0,+,),由正向使 时的,f(t),值。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,积分定理,设,f(t),的拉氏变换为,F(s),则,其中 时的值。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,初值定理,设,f(t),的拉氏变换为,F(s),，则函数,f(t),的初值定理表示为：,证明技巧：可利用微分定理来进行证明,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,终值定理,若,f(t),的拉氏变换为,F(s),则终值定理表示为：,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,卷积定理,设,f(t),的拉氏变换为,F(s),g(t),的拉氏变换为,G(s),，,则有,式中，,称为,f(t),与,g(t),的卷积。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,五、,拉氏反变换的数学方法,拉普拉斯反变换,在已知象函数,F(s),求,f(t),时，对于简单的象函数，可直接查,拉氏变换表,，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数,。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,部分分式展开法,对于象函数,F(s),常可写成如下形式：,式中，,p,1,p,2,p,n,称为,F(s),的极点，,z,1,z,2,z,m,称为,F(s),的零点。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,F(s),总能展开成下面的部分分式之和,其中，分子为待定系数。,1,、,F(s),无重极点的情况,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,解一,求,F(s),的拉氏变换,例,解,二,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,设,F(s),有,r,个重极点,p,1,其余极点均不相同，则,2,、,F(s),有重极点的情况,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,解,例,求 的拉氏反变换,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,六、用拉氏变换解常微分方程,用拉氏变换解常微分方程，首先是通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。,第二章 拉普拉斯变换的数学方法,