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*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,2,章 集合与函数,2.1,集合,2.2,函数的概念及性质,2.3,反函数,2.4,指数函数,2.5,对数函数,2.1,集合,一个家庭,一篮鲜花,一次考试的科目,共同点：,组成它们的事物（整体的成员）是被指定的。,集合的概念,在数学里，我们用,集合,（简称,集,）这个概念来表示由一些指定的事物组成的整体。集合中的每个事物称为该集合的,元素,。,通常，事物,a,是集合,M,的一个元素记作,a,M,，,读作,a,属于,M,；,事物,a,不是集合,M,的一个元素记作,a,M,，,读作,a,不属于,M,。,在数学中，由数字组成的集合称为,数集,、由方程或不等式的解组成的集合称为,解集,。,一些常用的数集都有特定的记法，如下表所示,集 合 表 述,集 合 名 称,集 合 符 号,自然数（即非负整数）的全体,自然数集,（,非负整数集,）,正整数的全体,正整数集,整数的全体,整数集,有理数的全体,有理数集,实数的全体,实数集,正实数的全体,正实数集,负实数的全体,负实数集,将符号或 填入空格中。,7,，,7.2,，,11.4,，,，,3.7,，,。,集合的表示方法,列举法,通过列举集合的每个元素来表示集合的方法叫做,列举法,。,李明、张静、李俊、李虹,数学、物理、语文、英语、机械设计、金属加工,2,、,4,、,6,、,8,描述法,用特定条件指定集合的元素，从而表示集合的方法叫做,描述法,。,x,x,是本节“导入”所举例中花束内的花,x,x,5,例题解析,例,用描述法表示下列集合：,（,1,）方程,x,2,1=0,的解集。,（,2,）大于或等于,3,的整数的全体。,解,（,1,）要指定这个集合的元素，条件就是,x,2,1=0,。,因此，这个集合可以表示为,x,x,2,1=0,（,2,）“大于或等于,3”,可以写成,x,3,。,另外，这个集合的元素必须是整数，即,x,Z,。,因此，这个集合可以表示为,x,x,3,，,x,Z,单击鼠标继续,1,用列举法表示下列集合：,（,1,）大于,3,小于,10,的整数的全体。,（,2,）方程,x,2,+2,x,-3=0,的解集。,2,用描述法表示下列集合：,（,1,）不等式,x,2,的解集。,（,2,）大于,0,小于,1,的实数的全体。,集合与集合的关系,通常，对于集合,A,和集合,B,，,如果,A,的任何一个元素都是,B,的元素，那么两者的关系就是集合,A,包含于,集合,B,（,或集合,B,包含,集合,A,），,记作,A B,（或,B A,）,集合,A,包含于集合,B,也可说成集合,A,是集合,B,的,子集,。,集合与集合之间还存在,相等,的关系。如,x,x,2,1=0,=,-1,，,1,2,、,4,、,6,、,8,4,、,2,、,6,、,8,例题解析,例,分别写出下列各题中两个集合之间的关系：,（,1,）,A,2,、,4,、,6,，,B,2,、,0,、,2,、,4,、,6,、,8,（,2,）,A,2,、,5,，,B,x,|(,x,)(,x,),解,（,2,）集合,B,的元素是方程,(,x,5)(,x,2)=0,的解，应该是,5,，,2,。可见，集合,B,的每个元素都属于集合,A,；,反之，集合,A,的每一个元素都属于集合,B,。,所以这两个集合的关系是,A=B,（,1,）因为集合,A,的每一个元素都是集合,B,的元素，而集合,B,的元素并不都是集合,A,的元素（比如,0,），所以两者的关系是,A B,单击鼠标继续,用适当的符号 填入空格。,Q,R,，,Z,，,a,b,、,c,、,d,2,2,x,|,x,2,9,3,、,3,区间的概念,设服务员身高为,x,米，根据上表，这四家饭店提出的要求可表示为,饭店,A,：,1.65,x,1.75,；,饭店,C,：,1.65,x,1.75,；,饭店,B,：,1.65,x,1.75,；,饭店,D,：,1.65,x,1.75,。,四家饭店（,A,、,B,、,C,、,D,）,招聘女服务员对身高的要求：,饭店,1.65,米,1.75,米,A,包括,包括,B,不包括,不包括,C,包括,不包括,D,不包括,包括,将这四家饭店的要求推广到一般的情况。设身高的下限为,a,米，身高的上限为,b,米（,a,b,），,则这四种要求可表示为,a,x,b,a,x,b,a,x,b,a,x,b,上述四种不等式可以对应实数,x,的四种集合。这四种集合都可用,区间,来表示，实数,a,和,b,称为相应区间的,端点,。我们对这四种集合的具体规定如下：,除上面提到的四种集合外，符合不等式,x,a,，,x,b,，,x,a,，,x,b,的实数,x,的集合也可用区间表示，其表示方法与上面四种区间类似。需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处。,为此，我们规定：符号“”表示无穷大，“,+”,表示正无穷大，“”表示负无穷大。,用区间的形式表示下列各集合：,（,1,）,x,5,x,2,（,2,）,x,|3,x,8,（,3,）,x,x,1,（,4,）,x,x,5,2.2,函数的概念及性质,水的高度表示体积,水的上表面面积表示半径,V,15,h,(,圆柱的体积等于底面积乘以高,),h,的取值范围就是,0,，,10,S,r,2,r,的取值范围就是,4,，,7,函数的概念,一般地，设,x,、,y,是两个变量，当,x,在某个数集,D,（即,x,的取值范围）内取任意一个确定的值，按照某个确定的对应关系,f,，,y,都有唯一的值与,x,对应，那么我们就说,x,是自变量,，,y,是变量,x,的函数,，数集,D,是这个函数的,定义域,。,通常将,y,是,x,的函数记作,y,f,（,x,），,x,D,当自变量,x,在定义域中取确定的值,a,时，它所对应的函数值记作,f,(,a,),所有函数值组成的集合叫做函数的,值域。,如果一个函数的定义域没有被特别指出，那么我们就认为这个函数的定义域是使函数表达式有意义的所有实数构成的集合。,例题解析,例,1,设,f,(,x,),x,2,2,x,3,，求,f,(0),、,f,(3),、,f,(,3),、,f,(,a,),。,解,f,(0)0,2,2033,f,(3)3,2,2336,f,(3)(3),2,2(3)318,f,(,a,),a,2,2,a,3,单击鼠标继续,例,2,求函数,f,(,x,),的定义域。,解,要使函数,f,(,x,),有意义，则,x,20,即,x,2,因此，,f,(,x,),的定义域是,2,，）,单击鼠标继续,1,设,f,(,x,),2,x,2,1,，,求：,f,(1),、,f,(,1),，,f,(0),、,f,(,b,),。,2,求函数,f,(,x,),的定义域。,函数的表示方法,表示一个函数的方法有：,解析法,、,列表法,和,图像法,。,解析法,用代数式来表示两个变量间的关系表示的方法叫做,解析法,。如，,y,x,2,，,y,2,x,，,y,。,列表法,所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。例如，,学期序号,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,成绩,95,90,88,92,87,83,94,85,93,89,94,96,上表中，学期序号和成绩是两个变量。表中列出了不同学期序号对应的成绩。,图像法,所谓图像法是指用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。,从图中可看出玉米单价（即每吨玉米的价格）随着时间的的变化而不断起伏；任意时刻都对应着唯一的玉米单价。所以，在这里玉米单价是时间的函数。,例题解析,例,画出函数,y,6,x,（,x,(0,，,10,）,的图像。,解,y,6,x,是一次函数，而定义域是（,0,，,10,，由此可知图像是一条直线段。所以只要描出函数,y,6,x,图像上的两个端点，然后用直尺将这两个端点连接起来即可。,列表,y,0,10,x,0,60,描点,：描出以（,0,，,0,）为坐标的点,，再描出以（,10,，,60,）为坐标的点,。,连线,：通过点,和点,画出一条直线段。这条直线段,AB,就是函数,y,6,x,，,x,(0,，,10,的图像。应特别注意的是，由于图像中不包括点,（，），因此，点,用空心点表示。,单击鼠标继续,1,试举出一个用列表法表示函数的例子。,2,画函数,y,x,3,（,x(,，,),）,的图像。,函数的单调性,观察,y,x,2,的图像，总结函数值随自变量取值的变化规律。,1,y,轴左侧，即在区间（，,0,上，自变量越大函数值越小。,2,y,轴右侧，即区间,0,，）上，自变量越大函数值越大。,一般地，在函数,f,（,x,）,定义域内某个给定区间,I,上，任选两个自变量的取值,x,1,、,x,2,，,如果当,x,2,x,1,时，总有,f,（,x,2,）,f,（,x,1,），,我们就说函数,f,（,x,）,在区间,I,上是,增函数,；如果当,x,2,x,1,时，总有,f,（,x,2,）,f,（,x,1,），,我们就说函数,f,（,x,）,在区间,I,上是,减函数,。,如果函数,y,f,（,x,）,在区间,I,上是增函数或减函数，那么我们就说函数,y,f,（,x,）,在区间,I,上具有,单调性,，区间,I,叫做函数,y,f,（,x,）,的,单调区间,。,单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。,类 型,（区间,I,上的）增函数,（区间,I,上的）减函数,条 件,当,x,2,x,1,时，有,f,（,x,2,）,f,（,x,1,）,当,x,2,x,1,时，有,f,（,x,2,）,f,（,x,1,）,图像特征,沿,x,轴正方向图像上升,沿,x,轴正方向图像下降,图 例,例题解析,例,函数,y,f,（,x,）,的定义域是,10,，,10,，下图是它的图像，根据图像指出函数,y,f,（,x,）,的单调区间，以及在每一个单调区间上函数,y,f,（,x,）,是增函数还是减函数？,解,函数,y,f,（,x,）,的单调区间有,10,，,4),、,4,，,1),、,1,，,2),、,2,，,8),、,8,，,10,。,其中函数,y,f,（,x,）,在区间,10,，,4),、,1,，,2),、,8,，,10,上是减函数；,在区间,4,，,1),、,2,，,8),上是增函数。,1,画出下列函数的草图，指出下列函数的单调区间，并判别它们在各单调区间的增减性。,（,1,）（,2,）,（,3,）（,4,）,2.3,反函数,研究水位高随体积变化的规律,V,15,h,（,h,0，10）,（,V,0，150）,反函数,研究水面半径随水面面积变化的规律,S,r,2,（,r,4，7）,（,S,16，49）,反函数,图形,函数关系式,自变量,定义域,值域,V,15,h,h,0，10,0,，,150,V,0，150,0，10,S,r,2,r,4，7,16，9,S,16，49,4，7,通常，在函数,y,f,(,x,),（,x,）中，设它的值域为,，根据该函数中,x,、,y,的关系，用,y,把,x,表示出来，得到,x,g,(,y,),。,如果,x,g,(,y,),（,y,）也是一个函数，那么就把函数,x,g,(,y,),（,y,）叫做函数,y,f,(,x,),（,x,）的,反函数,，记作,x,f,1,(,y,),一般情况下，将函数,x,f,1,(,y,),改写成,y,f,1,(,x,),函数,y,f,(,x,),与函数,y,f,1,(,x,),互为反函数。,函数,y,f,(,x,),的定义域是它的反函数,y,f,1,(,x,),的值域；函数,y,f,(,x,),的值域是它的反函数,y,f,1,(,x,),的定义域。,例题解析,例,求下列函数的反函数，并画出题（,1,）中函数和反函数的图像，观察它们的对称性。,（,1,）,y,2,x,1,（,x,R,）（,2,）,y,x,2,1,（,x,）,（,3,）,（,x,1,）,解,（,1,）由,y,2,x,1,，,解得 ，所以，函数,y,2,x,1,的反函数是,（,x,R,）,通过描点法可画出函数图像。,（,2,）由,y,x,2,1,（,x,），,解得,x,2,=,y,1,由此推出,这里，一定有,y,+1,，,从而推出,y,1,。,所以，函数,y,x,2,1,（,x,）,的反函数是 （,x,1,）,（,3,）解得 ，所以所求反函数为 （,x,2,）,单击鼠标继续,一般地，在平面直角坐标系,xOy,中，函数,y,f,（,x,）,的图像和它的反函数,y,f,1,（,x,）,的图像,关于直线,y,x,对称,。,1,求函数,y,2,x,4,（,x,R,）,的反函数，并且在同一个平面直角坐标系中画出函数,y,2,x,4,（,x,R,）,和它的反函数的图像。,2,求下列函数的反函数：,（,1,）（,x,R,）,（,2,）,2.4,指数函数,细胞分裂的个数,某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成两个细胞。,一个这样的细胞经过,x,次分裂后，得到,y,个与它本身相同的细胞，那么细胞个数,y,与分裂次数,x,的关系是怎样的呢？,关于细胞分裂问题，分析如下：,初始细胞个数是,1,，此时经过的分裂次数是,0,，即,2,0,1,个；,经过第,1,次分裂后细胞的总数是,2,1,2,个；,经过第,2,次分裂后细胞的总数是,2,2,4,个；,经过第,3,次分裂后细胞的总数是,2,3,8,个；,经过第,4,次分裂后细胞的总数是,2,4,16,个；,经过第,x,次分裂后细胞的总数是个,2,x,。,设细胞总数为,y,，有,y,2,x,。,一般地，我们把形如,y,a,x,（,a,0,，,a,1,）,的函数叫做,指数函数,。,由实数指数幂的运算性质可知：当,a,0,时，对于每一个实数,x,的值，都有唯一确定的实数值,a,x,与它对应。因此，指数函数,y,a,x,的定义域是实数集,。,两函数相同的性质有,：,1,两个图像都在,x,轴上方，即值域都是,。,2,两个图像都经过点（,0,，,1,），可见当,x,0,时，对这两个函数都有,y,1,。,两函数不同的性质,：,函数,y,2,x,的图像沿,x,增大的方向是上升的，所以它在（，）上是增函数；,函数,的图像沿,x,增大的方向是下降的，所以它在（，）上是减函数。,一般地，指数函数,y,a,x,（,a,0,，,a,1,）,的图像和性质如下：,函,数,y,a,x,，,x,R,a,1,0,a,1,图像,性,质,（,1,）定义域是,R,，,值域是正实数集,（,2,）当,x,0,时，,y,1,（,3,）在（，）内是增函数,（,3,）在（，）内是减函数,例题解析,例,1,利用指数函数的性质比较下列各题中两个实数的大小：,（,1,）,3,3.6,与,3,2.8,（,2,）与,解,（,1,）指数函数,y,3,x,是增函数。因为,3.6,2.8,，所以,3,3.6,3,2.8,（,2,）指数函数,是减函数。因为,2.5,3,，所以,单击鼠标继续,一年后到期取出，连本带息共有,1000,10002.25,(1,20,),1000(1,2.25,80,),10001.018,元,如果到期自动转存，两年后到期本息共有,(10001.018),(10001.018)2.25,(1,20,),10001.018(1,2.25,80,),10001.018,2,元,依此类推，,x,年后到期取出，本息的和（单位：元）用,y,表示，,y,与,x,的关系是,y,10001.018,x,将,x,=5,代入上式，可得,5,年后取出，连本带息共有,10001.018,5,1093.30,元,例,2,假设银行中一年定期的存款利率是,2.25,，利息的税率是,20,。若把你的压岁钱,1000,元存入银行，存取方式为一年期整存整取，而且办理了到期自动转存业务，那么,x,年后到期取出，连本带息共有多少元？由此推算,5,年后应取出多少钱？（精确到,0.01,）,解,单击鼠标继续,1,指出下列指数函数在,(,，,),内是增函数还是减函数：,（,1,）,y,3,x,（,2,）（,3,）,y,x,（,4,）,y,0.3,x,2,比较下列各题中两个实数的大小,（,1,）,4,5.2,与,4,5.5,（,2,）,4,4,与,4,3,（,3,）,0.7,2,与,0.3,7,（,4,）,0.7,2,与,0.7,3,3,某市现有人口,500,万，人口的年自然增长率为,1.2%,，,10,年后这个城市的人口预计有多少万？,x,年后这个城市的人口预计是多少万？（精确到,0.01,）,2.5,对数函数,细胞分裂的次数,某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成,2,个。,1,个细胞经第,1,次分裂成为,2,个；经过第,2,次分裂成为,4,个,那么，第几次分裂后恰好出现,16,个细胞？第几次分裂后恰好出现,128,个细胞？,设这样的细胞经过,x,次分裂后，得到的细胞个数是,y,。,以分裂次数,x,为自变量就可以得到指数函数,y,2,x,显然，只要求出这个函数的反函数，上面的问题就可以解决了。,根据对数的定义，指数函数式,y,2,x,可以写成对数的形式,x,log,2,y,显然，给定一个,y,值，由上式可以得到唯一的,x,值，因此，,x,log,2,y,表示的是指数函数,y,2,x,的反函数。按照习惯，我们用,x,表示自变量，用,y,表示函数，这个函数就应写成,y,log,2,x,一般地，函数,y,log,a,x,（,a,0,，,a,1,）,与指数函数,y,=,a,x,互为反函数。因为,y,=,a,x,的值域是（,0,，），所以函数,y,log,a,x,的定义域是（,0,，）；,y,=,a,x,的定义域是,R,，,所以函数,y,log,a,x,的值域是,R,。,我们把函数,y,log,a,x,（,a,0,，,a,1,）,叫做,对数函数,。,y,log,2,x,的图像特征：,1,图像经过点（,1,，,0,）；,2,图像在,y,轴右侧；,3,图像沿,x,增大的方向是上升的，即在区间（,0,，,+,）上是增函数。,图像特征：,1,图像经过点（,1,，,0,）；,2,图像在,y,轴右侧；,3,图像沿,x,增大的方向是下降的，即在区间（,0,，）上函数是减函数。,函,数,y,log,a,x,，,x,0,a,1,0,a,1,图像,性,质,（,1,）定义域是,，,值域是,R,（,2,）当,x,1,时，,y,0,在（,0,，）内是增函数,在（,0,，）内是减函数,例题解析,例,1,指出下列对数函数在区间（,0,，,+,）内是增函数还是减函数？,（,1,）,y,=log,3,x,（,2,）（,3,）,y,log,10,x,（,4,）,解,（,1,）因为,a,3,1,，,所以,y,在区间（,0,，,+,）内是增函数。,（,3,）因为,a,10,1,，,所以,y,在区间（,0,，,+,）内是增函数。,（,2,）因为,a,1,，,所以,y,在区间（,0,，,+,）内是减函数。,（,4,）因为,a,1,，,所以,y,在区间（,0,，,+,）内是减函数。,单击鼠标继续,例,2,在下列各小题中，比较两个实数的大小：,（,1,）,log,3,4,与,log,3,5,（,2,）与,1,解,（,1,）对数函数,y,log,3,x,是增函数。因为,4,5,，所以,log,3,4,log,3,5,。,（,2,）对数函数,是减函数。因为,1,，,3,，所以 ,1,。,单击鼠标继续,例,3,假设,银行中现行一年定期的存款利率是,2.25,，利息的税率是,20,。若把你的压岁钱,1000,元人民币存入银行，存取方式为一年期整存整取，而且办理了到期自动转存业务，当这笔钱连本带息超过,1200,元时，至少经过了多少年？,解,由上一节的例题可知，存款年数,x,与本息的和,y,成指数函数关系，即,y,10001.018,x,若我们以本息的和为自变量,x,，,以存款年数为,y,，,则两者的关系为,y,log,1.018,（,x,/1000,）,将,x,=1200,代入上式，可得,y,10.22,。,因为在整存整取的方式下，只有到期才能付当年利息，所以至少,11,年后取出，连本带息才能超过,1200,元。,单击鼠标继续,1,指出下列对数函数在区间（,0,，,+,）内是增函数还是减函数。,（,1,）,y,log,4,x,（,2,）,y,（,3,）,y,log,7,x,（,4,）,y,log,0.7,x,2,在下列各题中，利用对数函数的性质比较两个实数的大小：,（,1,）,log,4,3,与,log,4,7,（,2,）,log,4,0.5,与,log,4,0.8,（,3,）,与 （,4,）与,3,某市现有人口,500,万，人口的年自然增长率为,1.2%,。以此预计，经过多少年这个城市的人口将突破,700,万？这个城市的人口突破,x,万需要多少年？（结果保留整数）,本章结束,
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