概率论与数理统计课件--数学期望E(X).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第四章 随机变量的数字特征,数学期望,方差,*协方差与相关系数,大数定律与中心极限定理,数学期望的引例,Mathematical Expectation,例如,：某,7,人的高数成绩为,90,，,85,，,85,，,80,，,80,，,75,，,60,，则他们的平均成绩为,以频率为权重的加权平均,数学期望,E(X),Mathematical Expectation,定义,设离散型随机变量的概率分布为,离散型随机变量,随机变量,X,的数学期望，记作,E,（,X,），,即,X,P,4,1/4,5,1/2,6,1/4,数学期望的计算,已知随机变量,X,的分布律,：,例,求数学期望,E,（,X,）,解,连续型随机变量的数学期望,E(X),连续型随机变量,定义,设连续型随机变量,X,的概率密度为,f(x),则,即,数学期望的计算,已知随机变量,X,的密度函数为,例,求数学期望。,解,数学期望的意义,试验次数较大时，,X,的观测值的算术平均值,在,E(X),附近摆动,数学期望又可以称为,期望值,(,Expected Value,),，,均值,(,Mean,),E(X),反映了随机变量,X,取值的“,概率平均,”,是,X,的,可能值以其相应概率的加权平均。,二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望,(X,Y),为二维离散型随机变量,(X,Y),为二维连续型随机变量,设,(X,Y),的联合密度为,例,(1)求k,(2),求,X,和,Y,的边缘密度,(,3),求,E(X),E(Y).,(1,),由,解,所以,所以,得,1,1,3,时,(2),（）,时,1,1,3,1,1,3,（）另解,无需求,边缘分布密度函数,随机变量的函数的数学期望,定理,1,：一维情形,设,是随机变量,X,的函数,离散型,连续型,概率密度为,服从,已知,上的均匀分布，求,的数学期望。,因为,所以,例,解,随机变量的函数的数学期望,定理,2,：二维情形,联合概率密度为,设,是随机变量,X,，,Y,的函数,连续型,离散型,1,5,例,设相互独立的随机变量,X,，,Y,的密度函数分别为,求E（XY）,解,数学期望的性质,相互独立时,当随机变量,.,C,为,常数,.,.,设（,X,Y,）,在由,4,个点（,0,，,0,）（,3,，,0,），（,3,，,2),(0,2),决定的矩形域内服从均匀分布，求,E(X+Y),E(X,2,),E(Y,2,),E(XY).,3,0,2,练一练,答案：,0-1,分布的数学期望,X,服从,0-1,分布,，其概率分布为,P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,X,P,0 1,1-p p,若,X,服从参数为,p,的,0-1,分布，则,E(X)=p,分布律,数学期望,If,XB(n,p),then,E(X)=,np,二项分布的数学期望,分布律,X,服从,二项分布，,其概率分布为,数学期望,二项分布可表示为,个分布的和,其中,则,泊松分布的数学期望,If ,then,分布律,数学期望,均匀分布的期望,分布密度,数学期望,X N(，,2,）,正态分布的期望,分布密度,数学期望,指数分布的期望,分布密度,数学期望,数学期望在医学上的一个应用,An application of Expected Value in Medicine,考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每,10,个人一组，把这,10,个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则,10,个人只需化验,1,次；若结果为阳性，则需对,10,个人在逐个化验，总计化验,11,次。假定人群中这种病的患病率是,10%,，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？,分析：,设随机抽取的,10,人组所需的化验次数为,X,我们需要计算,X,的数学期望，然后与,10,比较,化验次数,X,的可能取值为,1,，,11,先求出化验次数,X,的分布律。,(X=1)=“10,人都是阴性”,（,X=11)=“,至少,1,人阳性”,结论：,分组化验法的次数少于逐一化验法的次数,注意求,X,期望值的步骤！,1,、概率,p,对是否分组的影响,问题的进一步讨论,若,p=0.2,，则,当,p0.2057,时，,E(X)10,2,、概率,p,对每组人数,n,的影响,当,p=0.2,时，可得出,n10.32,，才能保证,EX10.,当,p=0.1,时，为使,例,独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为,p,1,和,p,2,.,证明：产生故障的仪器数目的数学期望为,p,1,+,p,2,设产生故障的仪器数目为,X,则,X,的所有可能取值为,0,，,1,解,所以,