第二章_§5_简单的幂函数.ppt

我们学习过几种基本初等函数如正比例函数,y,x,，反比例函数,y,x,1,，二次函数,y,x,2,.,看下面两个例子：,(1),如果正方体的棱长为,x,，正方体的体积为,y,；,(2),如果正方形场地面积为,x,，其边长为,y,.,问题,1,：在第一个例子中，,y,关于,x,的函数关系式怎样？,提示：,y,x,3,.,如果一个函数，底数是,，指数是,，即,y,，这样的函数称为幂函数,.,自变量,x,常量,x,答案,B,一点通,幂函数,y,x,(,R),，其中,为常数，其本质特征是以幂底,x,为自变量，指数,为常数,(,也可以为,0),这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据之一,答案：,A,例,1.,在同一坐标系中作出幂函数,，的图象。,五个幂函数的性质,:,y=x,y=x,2,y=x,3,y=x,-1,定义域,值域,单调性,公共点,R,R,R,0,+),x|x0,R,0,+),R,0,+),y|y0,增函数,增函数,增函数,0,+),增,(-,0),减,(0,+),减,(-,0),减,(1),所有的幂函数在,(0,+),都有定义，在第一象限有图像，在第四象限无图像，并且图象都通过点,(1,1);,(2),如果,，则幂函数图象过原点，并且在区间,0,+),上是增函数；,(3),如果,，则幂函数图象在区间,(0,+),上是减函数，在第一象限内，当,x,从右边趋向于原点时，图象在,y,轴右方无限地逼近,y,轴，当,x,趋向于,+,时，图象在,y,轴上方无限地逼近,x,轴；,幂函数的性质,2,，,1.,f,(,x,),x,2,，,g,(,x,),x,1,.,分别作出它们的图像如图，由图像可知，,当,x,(,，,0),(1,，,),时，,f,(,x,),g,(,x,),；,当,x,1,时，,f,(,x,),g,(,x,),；,当,x,(0,1),时，,f,(,x,)0,，解得,x,2,或,x,0.,答案：,B,解析：,因为幂函数,y,x,的图像恒过定点,(1,1),，所以函数,y,(,x,1),恒过定点,(2,1),答案：,(2,1),5,函数,f,(,x,),(,m,2,m,1),x,2,m,3,是幂函数，且在,x,(0,，,),上是减函数，则实数,m,解析：,.,m,2,m,1,1,，得,m,1,或,m,2,，再把,m,1,和,m,2,分别代入,m,2,2,m,3,0,，经检验得,m,2.,6.,已知,2.4,2.5,，则,的取值范围是,_,解析：,0,2.4,2.5,，而,2.4,2.5,，,y,x,在,(0,，,),为减函数,答案：,0,7.,已知,(,m,4),0.5,(3,2,m,),0.5,，求,m,的取值范围,解,:,y,x,0.5,的定义域为,(0,，,),，且为减函数,原不等式化为,解得,m,.,m,的取值范围是,(,，,),(1),一般地，图像关于,对称的函数叫作奇函数，图像关于,对称的函数叫作偶函数,(2),一般地，如果对于函数,f,(,x,),的定义域内,一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),一定是偶函数,(3),一般地，如果对于函数,f,(,x,),的定义域内,一个,x,，都有,，那么函数,f,(,x,),一定是奇函数,原点,y,轴,任意,f,(,x,),f,(,x,),任意,f,(,x,),f,(,x,),奇偶性是函数在定义域上的对称性，是相对整个定义域来说的，是函数的整体性质，只有对定义域中的每一个,x,，都有,f,(,x,),f,(,x,)(,或,f,(,x,),f,(,x,),，才能说,f,(,x,),是奇,(,偶,),函数,五个幂函数的性质,:,y=x,y=x,2,y=x,3,y=x,-1,定义域,值域,奇偶性,单调性,公共点,R,R,R,0,+),x|x0,R,0,+),R,0,+),y|y0,奇函数,奇函数,奇函数,偶函数,非奇非偶,增函数,增函数,增函数,0,+),增,(-,0),减,(0,+),减,(-,0),减,(1),所有的幂函数在,(0,+),都有定义，并且图象都通过点,(1,1);,(2),如果,，则幂函数图象过原点，并且在区间,0,+),上是增函数；,(3),如果,，则幂函数图象在区间,(0,+),上是减函数，在第一象限内，当,x,从右边趋向于原点时，图象在,y,轴右方无限地逼近,y,轴，当,x,趋向于,+,时，图象在,y,轴上方无限地逼近,x,轴；,(4),当,为奇数时，幂函数为奇函数；当,为偶数时，幂函数为偶函数,幂函数的性质,一点通,利用定义判断函数奇偶性的步骤：,(1),先求函数的定义域，看定义域是否关于原点对称,(2),若定义域不关于原点对称，函数非奇非偶,若定义域关于原点对称，看,f,(,x,),与,f,(,x,),及,f,(,x,),的关系,(3),若,f,(,x,),f,(,x,),，则函数是奇函数；,若,f,(,x,),f,(,x,),，则函数是偶函数；,若,f,(,x,),f,(,x,),且,f,(,x,),f,(,x,),，则函数既是奇函数又是偶函数,5,若函数,y,(,x,1)(,x,a,),为偶函数，则,a,(,),A,2 B,1,C,1 D,2,解析：,f,(,x,),(,x,1)(,x,a,),是偶函数，,f,(,x,),(,x,1)(,x,a,),f,(,x,),恒成立,x,2,(,a,1),x,a,x,2,(,a,1),x,a,恒成立,a,1,0,，即,a,1.,答案：,C,7,已知函数,f,(,x,),ax,2,bx,3,a,b,为偶函数，其定义,域为,a,1,2,a,，求,f,(,x,),的值域,3,判断函数的奇偶性的方法：,(1),定义法；,(2),图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图像关于,y,轴对称，函数是偶函数,解：当,x,0,时，,x,0,，,f,(,x,),(,x,),2,2(,x,),3,x,2,2,x,3,f,(,x,),；,当,x,0,时，,x,0,，,f,(,x,),(,x,),2,2(,x,),3,x,2,2,x,3,(,x,2,2,x,3),f,(,x,),，,综上可知，,f,(,x,),为奇函数,