方程的根与零点.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,3.1.1方程的根与函数的零点,平川中学高一数学组,2011.10.15,思考：一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的根与二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象有什么关系？,我们知道，令一个一元二次函数,的函数值,y,0,，则得到一元二次方程,问题,1,观察下表,(,一,),，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与,x,轴的交点的关系,。,没有交点,(1,0),x,2,-2x+3=0,x,2,-2x+1=0,(-1,0),(3,0),x,2,-2x-3=0,1.,方程根的个数就是函数图象与,x,轴交点的个数,.,。,结 论,:,无实数根,x,1,=x,2,=1,x,1,=-1,x,2,=3,y=x,2,-2x+3,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x-3,图象与,x,轴的交点,函数的图象,一元二次方程,方程的根,二次函数,2.,方程的实数根就是函数图象与,x,轴交点的横坐标,。,若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(,a0),及相应的二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0,),的图象与,x,轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？,(,观察表二,),问题,2,0,=0,判别式,=,b,2,4ac,方程,ax,2,+,bx+c,=0,(a0),的根,函数,y=ax,2,+,bx,+c(a0),的图象,函数的图象,与,x,轴的交点,在区间,-2,1,上，,f(-2)_0,f(1)_0,则,f(-2)f(1)_0,，,在区间（,-2,，,1,）上，,x=-1,是,x,2,2x,3,0,的一个根,再观察对数函数,f(x)=lgx,的图象,:,在,0.1,2,内,f(0.1),_,0,，,f(2),_,0,f(0.1)f(2),_,0(),函数,f(x,),在（,0.1,2),内有一个零点,x,_,，,x,y,0,1,2,1,.,.,.,思考,：,函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？,1,如果函数,y=f(x),在区间,a,b,上的图象是连续,不断的一条曲线,，并且有,f(a)f(b)0,，,那么，函,数,y=f(x),在区间,(a,b),内有零点，即存在,c(a,b,),，使得,f(c)=0,，,这个,c,也就是方程,f(x)=0,的根。,注意,:,零点存在性定理,：,1,、,图像是连续不断的曲线,a,b,讨论：,（,1,）如果函数具备上述两个条件时，,函数有多少零点呢？,（,2,）如果把结论中的条件“图象连续不断”,除去不要，又会怎样呢？,（,3,）如果把结论中的条件“,f(a,),f(b,),0,去掉呢？,（,4,）若函数,y,=,f,(,x,),在区间,(,a,b,),内有零点，,一定能得出,f,(,a,),f,(,b,)0,的结论吗？,（,5,）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？,x,y,0,0,y,x,0,y,x,0,y,x,如果函数,y=,f(x,),在,a,b,上,图象是,连续,的，并且在闭区间的两个端点上的函数值,互异,（即,f(a,),f(b)0,）,且是,单调,函数那么，这个函数在,(,a,b,),内必有惟一的一个零点。,零点唯一性的探索,例,1,求函数,f,(,x,)=,x,3,x,的零点，并画出它的图象。,解：,x,3,x,=,x,(,x,+1)(,x,1),，令,f,(,x,)=0,，即,x,(,x,+1)(,x,1)=0,，,解得,x,1,=0,，,x,2,=,1,，,x,3,=1,，所以函数,y,=,f,(,x,),的零点有三个，为,1,，,0,，,1,，,这三个点把,x,轴分成四个区间，,(,，,1),、,(,1,，,0),、,(0,，,1),、,(1,，,+),，在这四个区间中取一些,x,的值，列出函数的对应值表：,x,1.5,1,0.5,0,0.5,1,1.5,y,1.875,0,0.375,0,0.375,0,1.875,在直角坐标系中描点作图得到图象。,f,(,x,)=,x,3,x,1,、对于定义在,R,上的函数,y=,f(x,),若,f(a).f(b,)0(,a,bR,且,a,2 B,m2,D,m2,3,、,函数,f(x,)=x,3,-16x,的零点为,(),A (0,0),(4,0)B 0,4 C (4,0),(0,0),(4,0)D 4,0,4,4,、函数,f(x,)=x,3,3x+5,的零点所在的大致区间为（）,A,（,1,，,2,）,B,（,2,，,0,）,C,（,0,，,1,）,D,（,0,，）,D,B,D,A,5,、,已知函数,f(x,),的图象是连续不断的，有如下的,x,f(x,),对应值表：,x,1,2,3,4,5,6,7,f(x,),23,9,7,11,5,12,26,那么函数在区间,1,，,6,上的零点至少有（）个,A 5 B 4 C 3 D 2,C,6,、方程,lnx,=,必有一个根的区间是（）,A,（,1,，,2,）,B,（,2,，,3)C (,1)D(3,),B,由表,3-1,和图,3.13,可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0,f(1.5)=,2.8750,所以,f(x)=,x,3,3x+5,在区间,(1,1.5),上有零点。又因为,f(x),是,(,）,上的减函数，所以在区间,(1,1.5),上有,且只有一个零点。,x,y,0,1,3,2,1,1,2,5,4,3,2(1)f(x)=,x,3,3x+5,.,.,.,.,.,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,2(2),解：,作出函数的图象，如下：,.,.,.,.,因为,f(3),30,所以,f(x)=,2x,ln(x,2),3,在区间,(3,4),上有零点。又因为,f(x)=2x,ln(x,2),3,是,(2,，）上的增函数，,所以在区间,(3,4),上有且只有一个零点。,x,y,0,1,3,2,1,1,2,5,-3,-2,4,2(2)f(x)=2x,ln(x,2),3,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,2(3),解：,作出函数的图象，如下：,.,.,.,.,因为,f(0),3.630,所以,f(x)=e,x,1,+4x,4,在区间,(0,1),上有零点。又因,为,f(x)=e,x,1,+4x,4,是,(,，,）上的增函数，所以在,区间,(0,1),上有且只有一个零,点。,2(3)f(x)=e,x1,+4x4,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,2,4,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,2(4),解：,作出函数的图象，如下：,x,0,80,1,5,5,y,2,40,1,20,4,3,60,40,20,4,3,2,因为,f(,4),40,f(,2),20,f(2),700,所以,f(x)=3(x+2)(x,3)(x+4)+x,在区间,(,4,3),、,(,3,，,2,),、,(2,3),上各有,一个零点。,2(4)f(x)=3(x+2)(x3)(x+4)+x,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,课堂小结：,、函数零点的定义；,2,、,函数的零点与方程的根的关系,；,3,、,确定函数的零点的方法,代数法，图像法。,布置作业：,习题,3.1,组 第,2,题,补充作业,：,1,、求下列函数的零点：,(,1)y,=-x,2,+6x+7,，,（,2)y=-4x,。,2,、若函数,f(x)=-ax-b,的两个零点,是,2,和,3,，求,loga25+,。,3,、探求函数,f(x)=lnx+2x,6,的单调性,.,