《最短路径问题》PPT.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,13.4,课题学习 最短路径问题,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学习目标,1.,体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想（重点）,2.,能利用轴对称解决简单的最短路径问题,.,（难点）,1.,如图，连接,A,、,B,两点的所有连线中，哪条最短？为什么？,最短，因为两点之间，线段最短,A,B,2.,如图，点,P,是直线,l,外一点，点,P,与该直线,l,上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？,P,l,A,B,C,D,PC,最短，因为垂线段最短,导入新课,复习引入,3.,在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？,三角形三边关系：两边之的和大于第三边；,斜边大于直角边,.,4.,如图，如何作点,A,关于直线,l,的对称点？,l,A,A,牧人饮马问题,“两点的所有连线中，,线段最短,”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，,垂线段最短,”等的问题，我们称之为最短路径问题,.,现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题,”.,A,B,P,l,A,B,C,D,讲授新课,如图，牧马人从点,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然后到,B,地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？,实际问题,A,B,l,抽象成,A,B,l,数学问题,C,作图问题：,在直线,l,上求作一点,C,使,AC,+,BC,最短问题,.,问题,1,现在假设点,A,B,分别是直线,l,异侧,的两个点，如何在,l,上找到一个点，使得这个点到点,A,，点,B,的距离的和最短？,连接,AB,与直线,l,相交于一点,C,.,A,C,B,根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求,.,问题,2,如果点,A,B,分别是直线,l,同侧,的两个点，又应该如何解决？,B,A,想一想：,对于问题,2,，如何将点,B,“,移,”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都,保持,CB,与,CB,的长度相等,？,利用轴对称，作出点,B,关于直线,l,的对称点,B,.,方法揭晓,作法：,（,1,）,作点,B,关于直线,l,的对称点,B,；,（,2,）,连接,AB,，与直线,l,相交于点,C,则点,C,即为所求,A,B,l,B,C,问题,3,你能用所学的知识证明,AC+BC,最短吗？,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不重合），连接,AC,，,BC,，,BC,由轴对称的性质知，,BC=BC,，,BC=BC,AC+BC,=,AC+BC=AB,，,AC+BC=AC+BC,A,B,l,B,C,C,在,ABC,中,，,AB,AC+BC,，,AC+BC,AC+BC,即,AC+BC,最短,练一练：,如图，直线,l,是一条河，,P,、,Q,是,两个村庄,.,欲在,l,上的某处修建一个水泵站，向,P,、,Q,两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（）,P,Q,l,A,M,P,Q,l,B,M,P,Q,l,C,M,P,Q,l,D,M,D,典例精析,例,1,如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（）,A7.5 B5,C4 D不能确定,解析：,ABC,为等边三角形，点,D,是,BC,边的中点，即点,B,与点,C,关于直线,AD,对称,.,点,F,在,AD,上，故,BF=CF.,即,BF+EF,的最小值可转化为求,CF+EF,的最小值，故连接,CE,即可，线段,CE,的长即为,BF+EF,的最小值,.,B,方法总结：,此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解,.,例,2,如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是,y,轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当ABC的周长最小时点C的坐标是（）,A（0，3）B（0，2）,C（0，1）D（0，0）,解析：作B点关于,y,轴对称点B，连接AB，交,y,轴于点C，此时ABC的周长最小，然后依据点A与点B的坐标可得到BE、AE的长，然后证明BCO为等腰直角三角形即可,A,C,B,E,方法总结：,求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置,.,1.,如图，直线m同侧有A、B两点，A、A关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与AB和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）,AP是m上到A、B距离之和最短的,点，Q是m上到A、B距离相等的点,BQ是m上到A、B距离之和最短的,点，P是m上到A、B距离相等的点,CP、Q都是m上到A、B距离之和最,短的点,DP、Q都是m上到A、B距离相等,的点,A,当堂练习,2.,如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（）,A10 B15,C20 D30,A,3.,如图，牧童在,A,处放马，其家在,B,处，,A,、,B,到河岸的距离分别为,AC,和,BD,，且,AC,=,BD,若点,A,到河岸,CD,的中点的距离为,500,米，则牧童从,A,处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是,米,.,A,C,B,D,河,1000,4.,如图，边长为1的正方形组成的网格中，AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P,x,y,O,B,A,P,B,拓展提升,5.,（1）如图，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由,（2）如图，在AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由,（3）如图，在AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由,A,B,C,D,P,O,A,B,N,O,A,B,M,A,B,C,D,P,C,图,P,O,A,B,P,E,F,P,图,N,O,A,B,M,M,E,F,N,图,原理,最短路径问题,牧马人饮马问题,线段公理和垂线段最短,解题方法,轴对称知识,+,线段公理,课堂小结,造桥选址问题,如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN,。桥造在何处可使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,？,B,A,A,B,N,M,知识模块二 利用平移确定最短路径选址,1.,如图假定任选位置造桥,MN,，连接,AM,和,BN,，从,A,到,B,的路径是,AM,+,MN,+,BN,，那么怎样确定什么情况下最短呢？,B,A,2.,利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,思考分析,我们能否在不改变,AM+MN+BN,的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？,1.,把,A,平移到岸边,.,2.,把,B,平移到岸边,.,3.,把桥平移到和,A,相连,.,4.,把桥平移到和,B,相连,.,B,A,思考分析,各抒己见,1.,把,A,平移到岸边,.,B,A,(,),AM,+,MN,+,BN,长度改变了,2.,把,B,平移到岸边,.,B,A,（,）,AM,+,MN,+,BN,长度改变了,思考分析,怎样调整呢？,把,A,或,B,分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢,?,B,A,B,A,A,1,M,N,如图，平移,A,到,A,1,，使,AA,1,等于河宽，连接,A,1,B,交河岸于,N,作桥,MN,，此时路径,AM,+,MN,+,BN,最短,.,理由,:,另任作桥,M,1,N,，连接,AM,，,BN,，,A,N,.,由平移性质可知，,AM,A,N,，,AA,MN,M,N,，,AM,A,N,.,AM+MN+BN,转化为,，而,转化为,.,在,A,N,B,中，由线段公理知,A,1,N,1,+,BN,1,A,1,B.,因此,AM+MN+BN.,问题解决,证明：由平移的性质，得,BNEM,且,BN=EM,MN=CD,BDCE,BD=CE,所以,A,，,B,两地的距,离,：,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在,CD,处，连接,AC,CD,DB,CE,则,AB,两地的距离为：,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在,ACE,中,，,AC+CE,AE,AC+CE+MN,AE+MN,即,AC+CD+DB,AM+MN+BN,，,所以桥的位置建在,MN,处,，,AB,两地的路程最短,.,A,B,M,N,E,C,D,解决最短路径问题的方法,1.,在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择,.,2.,当涉及含有固定线段“桥”的方法是构造平行四边形，从而将问题转化为平行四边形的问题解答,.,归,纳,解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和,最小,的问题,