角平分线性质定理和判定定理.ppt

,市直一初中 韩宝红,第一章 三角形的证明,第4节 角平分线（1）,学习目标：,1.掌握角平分线的性质定理和判定定理,2.能进行相关的计算与证明。,知识回顾,1.判定两个直角三角形全等的方法有哪些？,2.如何做出一个角的角平分线？,3.角平分线上的点有什么特点？,角平分线上的点有哪些特点,?,角平分线上的点到角两边的距离相等,你是怎样得到的,?,放开手脚 做一做,已知：如图，,OC,是,AOB,的平分线，,点,P,在,OC,上，,PDOA,，,PEOB,，,垂足分别为,D,、,E,求证：,PD=PE,证明：,OC,是,AOB,的平分线,1=2,，,PDOA,，,PEOB,PDO=PEO=90,在,PDO,和,PEO,中,1=2,，,PDO=PEO=90,，,OP=,OP,，,PDOPEO(AAS),PD=PE(,全等三角形的对应边相等,),角,平分线的性质,定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等,用,符号语言表示为：,A,O,B,P,E,D,1,2,1=2,PD OA,，,PE OB,PD=PE.,(,角平分线上的点到这个角两边,的距离相等,）,角平分线的性质定理有两个条件：,1.点在,；,2.过点作,。,这两个条件缺一不可。,注意,练 习,1.,如图，AO是BAC的平分线，OMAC于M，ON于，若，求的长,中，BC=AC,AB=10cm,平分，AB于E，求ADE周长,你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗？,在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,这是一个真命题吗？你能证明吗？,已知：在,AOB,内部有一点,P,，且,PDOA,，,PEOB,，,D,、,E,为垂足且,PD=PE,，,求证：点,P,在,AOB,的角平分线上,2,1,E,D,C,P,O,B,A,证明：,PDOA,，,PEOB,，,PDO=PEO=90,在,RtODP,和,RtOEP,中,OP=,OP,，,PD=PE,RtODP,RtOEP(HL,),1=2,(,全等三角形对应角相等,),到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,角平分线的判定,A,O,B,P,D,E,C,定理：,用,符号语言表示为：,PD=PE,PD OA,，,PE OB,1=2.,由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。,角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合,.,练一练,填空：,(1).1=2,DCAC,DEAB,_,(_),(1).DCAC,DEAB,DC=DE,_,(_ _),A,C,D,E,B,1,2,1=2,DC=DE,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,1.如图所示，BD=CD,CEAB,BFAC.,求证:点D在BAC的平分线上。,课堂小结,1.,角平分线的性质定理：,在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.,角平分线的判定,定理,:,到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,3.,性质定理和逆定理的关系,点在角平分线上 点到角两边的距离相等,4.,角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径,.,角平分线的逆定理是证明点在直线上,(,或直线经过某一点,),的根据之一,.,课堂小测试：,1.,ABC中，BAC=60，D在BC上，,DE于，于，,且，=3cm，求AD长,2,.已知：ABC中，AB=AC，O是底边BC的中点，ODAB于D，OEAC于E，,求证：OD=OE,这节课你学到了什么,小结：,布置作业,如图,在,ABC,中,已知,AC=BC,C=90,0,AD,是,ABC,的角平分线,DEAB,垂足为,E.,(1),如果,CD,4cm,，,AC,的长,(2),求证,:AB,AC,CD.,E,D,A,B,C,重难互动探究,探究问题一角平分线的性质定理的应用,1,如图,1,4,4,，,OC,是,AOB,的平分线，,P,是,OC,上一点，,PD,OA,于点,D,，,PE,OB,于点,E,，,F,是,OC,上除点,P,，,O,外一点，连接,DF,，,EF,，则,DF,与,EF,的关系如何？证明你的结论,图,1,4,4,探究问题二角平分线的判定定理的应用,2,如图,1,4,5,，已知,BE,AC,，,CF,AB,，垂足分别为,E,，,F,，,BE,，,CF,相交于点,D,，若,BD,CD,，求证：,AD,平分,BAC,.,图,1,4,5,解析,要证,AD,平分,BAC,，只需证,DF,DE,.,可通过证,BDF,CDE,(,AAS,),来实现，从而可证得,AD,平分,BAC,.,