高数-弧微分与曲率.ppt

第十二节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容:一、曲线弧的微分 二、曲率与曲率半经 弧微分与曲率 第二章 1.一、曲线弧的微分设在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长2.则弧长微分公式为或几何意义:若曲线由参数方程表示:称为曲线的弧微分公式。3.例1 1求正弦曲线解 因为，所以 例2 2 求第一象限内星形线的弧微分。所以的弧微分。解 因为4.二、曲率与曲率半经在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为定义弧段 上的平均曲率点 M 处的曲率注意:直线上任意点处的曲率为 0!对应切线转角为5.例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解:如图所示,可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.6.有曲率近似计算公式故曲率计算公式为又曲率K 的计算公式二阶可导,设曲线弧则由7.说明:(1)若曲线由参数方程给出,则(2)若曲线方程为则若曲线在点M处的曲率K不为零，称为曲线在点M处的曲率半经。8.例2 2 求曲线在点处的曲率半径。解 方程两边同时对x求导，整理得 两边再对x求导，整理得将点代人（1）得将点代人（2）得故曲线在点处的曲率半径9.例3.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,处的曲率.点击图片任意处播放暂停说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.10.例3.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线,且 l R.处的曲率.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点解:显然11.内容小结1.弧长微分或2.曲率公式3.曲率半径12.作业P166 1；2；4;5.13.例4.求椭圆在何处曲率最大?解:故曲率为K 最大最小求驻点:14.设从而 K 取最大值.这说明椭圆在点处曲率计算驻点处的函数值:最大.15.例5 设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解:设椭圆方程为由例3可知,椭圆在处曲率最大,即曲率半径最小,且为显然,砂轮半径不超过时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.16.