第75讲双曲线.ppt

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开创未来,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,复习目标,*,课前演练,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,知识要点,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,典例精讲,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,方法提炼,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,走进高考,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高中新课标总复习（第,1,轮）,文科数学,湖南,人教版,*,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,新课标高中一轮总复习,1,第十一单元,直线与圆、圆锥曲线与方程,2,第,75,讲,双曲线,3,了解双曲线定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的几何性质及参数“,a,、,b,、,c,、,e,”,的求法，能利用定义和几何性质解决与双曲线相关的简单综合问题,.,4,1.,双曲线,=1,的实轴长是,，焦点坐标是,.,8,（,0,5),2.,方程,=1,表示双曲线，则实数,k,的取值范围是,.,(-,-1)(1,+),由题设及双曲线标准方程的特征可得,(1+,k,)(1-,k,)0,，求得,k,1.,5,3.,已知双曲线,=1,右支上一点,P,到左焦点,F,1,的距离为,12,，则点,P,到右焦点,F,2,的距离为,;,右支上满足上述条件的点,P,有,个,.,2,1,由双曲线定义可得,|,PF,1,|-|,PF,2,|=2,a,=10,，,所以,|,PF,2,|=12-10=2.,又焦点坐标,F,1,（,-7,，,0,），,F,2,（,7,，,0,），顶点坐标为（,5,，,0,），,所以满足条件的点只有一个，即为右顶点,.,6,4.,若双曲线,=1,的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率,.,e,=,由已知，两渐近线方程为,y,=,x,由两渐近线互相垂直得,(-)=-1,即,a,=,b,.,从而,e,=.,7,5.,若双曲线,C,的焦点和椭圆,=1,的焦点相同，且过点,(3 ,2),，则双曲线,C,的方程是,.,=1,由已知半焦距,c,2,=25-5=20,且焦点在,x,轴上，设双曲线,C,的方程为,=1,a,2,+,b,2,20,a,2,=12,=1,b,2,=8,故所求双曲线的方程为,=1.,则,求得,8,1.,双曲线的定义,平面内到两定点,F,1,、,F,2,的距离之差的绝对值为常数,2,a,(,且,),的点的轨迹叫双曲线，有,|,MF,1,|-|,MF,2,|=2,a,.,在定义中，当,时表示两条射线,当,时,不表示任何图形,.,0,2,a,|,F,1,F,2,|,2,a,=|,F,1,F,2,|,2,a,|,F,1,F,2,|,9,2.,双曲线的标准方程,(1),焦点在,x,轴上的双曲线,:,其中,焦点坐标为,F,1,(-,c,0),F,2,(,c,0),；,(2),焦点在,y,轴上的双曲线,:,其中,c,2,=,a,2,+,b,2,，焦点坐标为,F,1,(0,-,c,),F,2,(0,c,).,3.,中心在原点，焦点在,x,轴上的双曲线的参数方程,.,(,为参数,).,c,2,=,a,2,+,b,2,x,=,a,sec,y,=,b,tan,10,4.,双曲线,(,a,0,b,0),的几何性质,(1),范围：,y,R,；,(2),对称性：对称轴,x,=0,y,=0,，对称中心,(0,，,0),；,一般规律：双曲线有两条对称轴，它们分别是两焦点连线及两焦点连线段的中垂线,.,|,x,|,a,11,(3),顶点：,A,1,(-,a,0),A,2,(,a,0),；实轴长,，虚轴长,;,一般规律：双曲线都有两个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点,.,(4),离心率,e,=(,),；双曲线的离心率在,(1,+),内，离心率确定了双曲线的形状,.,(5),渐近线：双曲线 的两条渐近线方程为,;,双曲线 的两条渐近线方程为,.,|,A,1,A,2,|=2,a,11,|,B,1,B,2,|=2,b,12,e,1,13,y,=,x,14,y,=,x,12,双曲线有两条渐近线，他们的交点就是双曲线的中心；焦点到渐近线的距离等于虚半轴长,b,;,公用渐近线的两条双曲线可能是,:,a,.,共轭双曲线；,b,.,放大的双曲线；,c,.,共轭放大或放大后共轭的双曲线,.,已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“,1”,为“,0”,就得到两条渐近线方程，即方程 就是双曲线 的两条渐近线方程,.,13,题型一,双曲线定义的应用,例,1,已知双曲线,(,a,0,b,0),的焦点为,F,1,、,F,2,，弦,AB,过,F,1,且端点在双曲线的一支上，若,|,AF,2,|+|,BF,2,|=2|,AB,|,，则,|,AB,|,等于,(),A.2,a,B.3,a,C.4,a,D.,不能确定,C,14,由双曲线的定义，,|,AF,2,|-|,AF,1,|=2,a,，,|,BF,2,|-|,BF,1,|=2,a,，,所以,|,AF,2,|+|,BF,2,|-(|,AF,1,|+|,BF,1,|)=4,a,，,即,|,AF,2,|+|,BF,2,|-|,AB,|=4,a,.,又,|,AF,2,|+|,BF,2,|=2|,AB,|,所以,|,AB,|=4,a,故选,C.,本题主要应用双曲线定义转化双曲线上的点到两焦点之间的距离,.,15,半径不相等的两定圆,O,1,、,O,2,无公共点，动圆,O,与两定圆都内切，则圆心,O,的轨迹是,(),A.,双曲线的一支,B.,椭圆,C.,双曲线的一支或椭圆,D.,抛物线或椭圆,若定圆,O,1,、,O,2,外离，则圆心,O,的轨迹为双曲线的一支；若定圆,O,1,、,O,2,内含，则圆心,O,的轨迹为椭圆，故选,C.,C,16,题型二,双曲线几何性质及应用,例,2,如图，,F,1,和,F,2,分别是双曲线,(,a,0,b,0),的两个焦点，,A,和,B,是以,O,为圆心，以,|,OF,1,|,为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且,F,2,AB,是等边三角形，则双曲线的离心率为,(),A.B.C.D.1+,5,2,D,17,连接,AF,1,.,由题意得,F,1,AF,2,=90,AF,2,F,1,=30,|,F,1,F,2,|=2,c,|,AF,1,|=,c,|,AF,2,|=,c,2,a,=|,AF,2,|-|,AF,1,|=,c,-,c,则双曲线的离心率为,e,=,=+1,故选,D.,本例主要应用双曲线的几何性质及离心率的求法,.,分析解决问题,.,18,已知,F,1,F,2,为双曲线,(,a,0,b,0),的焦点，过,F,2,作垂直于,x,轴的直线交双曲线于点,P,，且,PF,1,F,2,=30,，则双曲线的渐近线方程为,.,y,=,x,19,(,方法一,),设,F,2,(,c,0)(,c,0),P,(,c,y,0,),则,解得,y,0,=,所以,|,PF,2,|=,在,Rt,PF,1,F,2,中，,PF,1,F,2,=30,所以,|,F,1,F,2,|=3|,PF,2,|,即,2,c,=,又,c,2,=,a,2,+,b,2,故有,b,2,=2,a,2,所以,=,，,故所求双曲线的渐近线方程为,y,=,x,.,20,（方法二）,|,PF,1,|=2|,PF,2,|,由双曲线的定义可知,|,PF,1,|-|,PF,2,|=2,a,得,|,PF,2,|=2,a,.,因为,|,PF,2,|=,所以,=2,a,所以,b,2,=2,a,2,所以,=,故双曲线的渐近线方程为,y,=,x,.,21,题型三,求双曲线的标准方程,例,3,根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程,.,(1),与双曲线 有共同的渐近线，且过点,(-3,2 );,(2),与双曲线 有公共焦点，且过点,(3 ,2).,22,(1)(,方法一,),由双曲线的方程得,a,=3,b,=4,所以渐近线方程为,y,=x.,当,x,=-3,时，,y,=-,x,=-(-3)=4,2 ,所以所求的双曲线的焦点在,x,轴上,.,设所求双曲线的方程为,.,=,a,2,=,b,2,=4,所以所求双曲线的方程为,.,由题意,得,解得,23,(,方法二,),双曲线 的渐近线方程为,y,=,x,所以设所求双曲线的方程为,=,(,0).,将点,(-3,2 ),代入得,=,故所求双曲线的方程为,=,即,.,24,(2)(,方法一,),设所求双曲线的方程为,.,由题意易求得,c,=2 .,又双曲线过点,(3 ,2),所以,=1.,因为,a,2,+,b,2,=(2 ),2,所以,a,2,=12,b,2,=8.,故所求双曲线的方程为,.,(,方法二,),设所求双曲线的方程为,将点,(3 ,2),代入得,k,=4,所以所求双曲线的方程为,.,25,待定系数法求双曲线方程最常用的设法,:,(1),与双曲线 有共同渐近线的双曲线方程可设为 （,t,0,）；,(2),若双曲线的渐近线方程为,y,=,x,则双曲线方程可设为,(,t,0),；,(3),与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为,(-,b,2,k,a,2,);,26,(4),过两个已知点的双曲线方程可设为,(,mn,b,0),共焦点的双曲线方程可设为,(,b,2,k,0,b,0),的两个焦点的连线互相垂直，且与两个顶点连线的夹角为,.,求双曲线的方程,.,28,(1),设动圆半径为,R,|,MC,1,|=,R,+7,|,MC,2,|=,R,+1,则,|,MC,1,|-|,MC,2,|=6,可知动点,M,的轨迹以,C,1,C,2,为焦点的双曲线的右支，其方程为,(,x,0).,则,29,(2),设,F,1,、,F,2,为双曲线的两个焦点，,依题意，它的焦点在,x,轴上,.,因为,PF,1,PF,2,且,|,OP,|=6,所以,2,c,=|,F,1,F,2,|=2|,OP,|=12,所以,c,=6.,又,P,与两顶点连线夹角为,所以,a,=|,OP,|tan,=2 ,所以,b,2,=,c,2,-,a,2,=24,故所求双曲线的方程为,=1.,30,题型四,双曲线方程的综合应用,例,4,已知双曲线的方程为,(,a,0,b,0),，双曲线斜率大于零的渐近线交直线,x,=(,c,为半焦距,),于,P,点,F,(,c,0),为右焦点,.,(1),求证：直线,PF,与渐近线,l,垂直,;,31,(2),若,|,PF,|,的长是点,F,到直线,l,的距离，且,|,PF,|=3,双曲线的离心率,e,=,求双曲线的方程,;,(3),若延长,FP,交直线,x,=-,于,M,，交双曲线左支于,N,，且使,M,为,PN,的中点，求双曲线的离心率,.,32,(1),证明：由已知，渐近线方程为,l,:,y,=,x,与直线,x,=,联立求得,P,(,),F,(,c,0),所以,k,PF,=-,所以,k,PF,k,l,=-1,即,PF,l,.,(2),因为,|,PF,|,的长即,F,(,c,0),到,l,:,bx,-,i,=0,的距离，,所以,=3,即,b,=3.,又,e,=,所以,=,所以,a,=4,故双曲线方程为,=1.,33,(3),直线,l,PF,的方程为,y,=-(,x,-,c,),它与直线,x=-,的交点为,M,(-,),M,是,PN,的中点，所以,N,(-,).,又,N,在双曲线上，所以,=1,所以,9-(),2,=(),2,即,9-(),2,=,e,2,整理得,e,4,-10,e,2,+25=0,，所以,e,=.,熟练掌握双曲线的几何性质及参数,a,、,b,、,c,、,e,的关系是本例顺利求解的关键,.,34,已知椭圆,C,1,的方程为,+,y,2,=1,，双曲线,C,2,的左、右焦点分别是,C,1,的左、右顶点，而,C,2,的左、右顶点分别是,C,1,的左、右焦点,.,（,1,）,求双曲线,C,2,的方程；,（,2,）,若直线,l,:,y,=,kx,+2,与双曲线,C,2,恒有两个不同的交点,A,和,B,且,2(,其中,O,为原点,),，求,k,的取值范围,.,35,(1),设双曲线,C,2,的方程为,=1,则,a,2,=4-1=3,c,2,=4,，再由,a,2,+,b,2,=,c,2,得,b,2,=1,故,C,2,的方程为,-,y,2,=1.,(2),将,y,=,kx,+,代入,-,y,2,=1,得,(1-3,k,2,),x,2,-6,kx,-9=0.,由直线,l,与双曲线,C,2,交于不同的两点，,1-3,k,2,0,=(-6,k,),2,+36(1-3,k,2,)=36(1-,k,2,)0,所以,k,2,且,k,2,2,所以,2.,即,0,解得,k,2,0,b,0,c,0.,其中,a,与,b,的大小关系，可以为,a,=,b,a,b,.,2.,双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究他们之间的相互联系,.,38,3.,椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放性的,.,又双曲线有两支，故在应用时要注意在哪一支上,.,4.,根据方程判定焦点的位置时，注意与椭圆的差异性,.,5.,求双曲线的标准方程时应首先考虑焦点的位置，若不确定焦点的位置时，需进行讨论，或可直接设双曲线的方程为,Ax,2,+,By,2,=1(,AB,0).,39,6.,与双曲线 共渐近线的双曲线方程为,=,(,0).,与双曲线 共焦点的圆锥曲线方程为,(,0,b,0)=1,的一条渐近线与抛物线,y,=,x,2,+1,只有一个公共点，则双曲线的离心率为,(),D,A.B.5,C.D.,41,双曲线 的一条渐近线为,y,=,x,.,y,=,x,y,=,x,2,+1,此方程有惟一解,所以,=(),2,-4=0,所以,=2,则,e,=.,由方程组,消去,y,得,x,2,-,x,+1=0.,42,(2009,陕西卷,),已知双曲线,C,的方程为,（,a,0,b,0),，离心率,e,=,，顶点到渐近线的距离为,.,（,1,）,求双曲线,C,的方程；,（,2,）,如图，,P,是双曲线,C,上一点，,A,、,B,两点在双曲线,C,的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,.,若,=,，,，,2,，求,AOB,面积的取值范围,.,学例,2,43,(,方法一,)(1),由题意知，双曲线,C,的顶点（,0,a,）到渐近线,ax,-,by,=0,的距离为 ，所以,=,，即,=.,=,a,=2,=,b,=1,c,2,=,a,2,+,b,2,c,=5,，,所以双曲线,C,的方程为,-,x,2,=1.,由,得,44,(2),由,(1),知，双曲线,C,的两条渐近线方程为,y,=2,x,.,设,A,（,m,2,m,）,B,(-,n,2,n,),m,0,，,n,0.,由,=,得,P,点的坐标为,(,，,),将,P,点坐标代入,-,x,2,=1,化简得,mn,=.,设,AOB,=2,，因为,tan(-,)=2,，,所以,tan,=,，,sin2,=.,又,|,OA,|=,m,，,|,OB,|=,n,，,45,所以,S,AOB,=|,OA,|,OB,|sin2,=2,mn,=(+)+1.,记,S,(,)=(+)+1,，,2,，,则,S,(,)=(1-).,由,S,(,)=0,得,=1,，,又,S,(1)=2,，,S,（）,=,，,S,(2)=,，,所以当,=1,时，,AOB,的面积取得最小值,2,，,当,=13,时，,AOB,的面积取得最大值,.,所以,AOB,面积的取值范围是,2,，,.,46,(,方法二,)(1),同,(,方法一,).,（,2,）设直线,AB,的方程为,y,=,kx,+,m,，,由题意知，,|,k,|,2,，,m,0.,y,=,kx,+,m,y,=2,x,y,=,kx,+,m,y,=-2,x,由,=,得,P,点的坐标为,(,),由,得,A,点的坐标为,(,),，,由,得,B,点的坐标为,(,).,47,将,P,点坐标代入,-,x,2,=1,得,=.,设,Q,为直线,AB,与,y,轴的交点，则,Q,点的坐标为（,0,，,m,）,.,S,AOB,=,S,AOQ,+,S,BOQ,=|,OQ,|,x,A,|+|,OQ,|,x,B,|,=,m,（,x,A,-,x,B,）,=,m,(),=,=(,+)+1.,以下同解法,1.,48,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,