材料力学-扭转截面几何性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,章 平面图形的几何性质,概 述,构件的横截面积都是具有一定几何形状的平面图形，构件的承载能力（强度，刚度，稳定性等）都与平面图形的一些几何性质（横截面积，极惯性矩等）有关。因此需要,第,7,章 平面图形的几何性质,z,c,y,c,y,y,c,dA,z,z,0,7.1,静矩和形心,1,静矩,同一图形：坐标轴不同,-,静矩不同，数值可正，可负，可为零！,量纲：,2.,形心,3,组合图形的静矩和形心,z,c,y,c,y,y,c,dA,z,z,0,组合图形,注,:,1,静矩有符号,.,2,当,Sz,=0,yc,=0,，即平面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必然过形心,3,当,yc,=0,Sz,=0,，即若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零。,4,由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对称轴的静矩总是等于零。,5,静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴，其静矩 不同。,解,：,z,y,b,h,c,已知：矩形截面,b,h,求：,s,z,和,s,y,已知：图示图形,求：,z,c,和,y,c,解：,10,120,80,C,1,(5 60),C,2,(45 5),10,z,y,y,y,dA,z,z,0,A,4.2,惯性矩和惯性半径,1,惯性矩,2,惯性半径,3,极惯性矩,y,y,dA,z,z,0,A,2,空心圆,d,D,d,A,0,d,D,d,A,0,d,1,圆,5,组合图形的惯性矩,y,y,dA,z,z,0,A,4,惯性矩与极惯性积的关系,y,z,y,dy,h,b,c,已知：矩形,求：,I,y,和,I,z,解：,z,y,D,c,已知：实心圆截面直径,D,空心圆截面直径,D,、,d.,求：,I,y,和,I,z,。,解：,1,实心圆,2,空心圆,d,4.3,惯性积,1 y,、,z,之一为图形对称轴则,I,yz,=0,；,z,z,-z,y,0,dA,dA,2,惯性积为零的一对座标轴称为,惯性主轴；,3,通过形心的主轴称为形心主轴,或形心惯性主轴；,4.4,平行移轴公式,y,y,dA,z,z,0,A,z,c,y,c,c,z,c,y,c,a,b,图形对平行于形心轴,y,、,z,轴的惯性矩和惯性积为：,图形对形心轴的惯性矩,和惯性积为：,y,y,dA,z,z,0,A,z,c,y,c,c,z,c,y,c,a,b,已知：,T,形截面。,求：,I,zc,解：形心,c(0,y,c,),100,20,140,20,c,c,1,c,2,y,c1,y,c,z,y,z,c,作业,4.2,4.7,4.9,第三章 扭 转,3,1,扭转的概念,外力特点,：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。,轴：以扭转变形为主的杆件。,变形的特点,：当杆件发生扭转变形时，任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。这种相对角位移称为,扭转角,，用,表示。,3,2,外力偶矩的计算，扭矩和扭转图,一、外力偶矩的计算,已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（,N,m,）,N,功率，单位为,千瓦,（,KW,）,n,转速，单位为,rod/min,N,功率，单位为,马力,n,转速，单位为,rod/min,二、扭转时的内力,扭矩,M,e,M,e,M,e,M,x,x,右,:,M,x,=0,M,e,M,x,=0,M,x,=,M,e,M,x,、,M,x,为扭矩,扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢量方向与截面外法线相同为正，反之为负。,扭矩,左,:,M,x,=0,M,x,M,e,=0,M,x,=,M,e,x,三、扭矩图,例题,：,1,、一传动轴作,200r,min,的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮,2,输入的功率为,60kW,，,从动轮,1,、,3,、,4,、,5,依次输出的功率为,18kW,、,12kW,、,22kW,和,8kW,。,试作出该轴的扭矩图。,一 薄壁圆筒扭转时的应力,r,t,为,薄壁圆筒,L,m,r,t,m,3.3,纯剪切,现象：,1,圆周线的形状大小不变相邻两周线之间距离不变，但发生了相对转动。,2,各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度,（剪应变）,矩形歪斜成平行四边形,m,x,T,L,m,r,t,m,由平衡条件,试中：,r,为圆筒的平均半径,。,二、剪应力互等定理,由平衡方程,结论,：在互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；二者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离两平面的交线，这种关系称,剪应力互等定理,。,纯剪切应力状态,:,单元体上只有剪应力而无正应力的情况。,=,dytdx,=,dxtdy,L,m,r,t,m,G,四,E,、,G,和,之间的关系,三 剪应变、剪切胡克定律,剪应变,在弹性范围内,剪切胡克定律,G,-,剪切弹性模量,l,R,3,4,圆轴扭转时的应力及强度计算,一、横截面上的应力,1,、变形几何关系,平面假设：,L,m,t,m,圆轴的各个横截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线,并且相邻两截面间的距离不变,.,表面剪应变,2,、物理关系,内部剪应变,3,、静力关系,截面对形心的,极惯性矩,（与截面形状、大小有关的几何量）,抗扭截面模量（系数）,当,=,R,时,极惯性矩和抗扭截面模量,（,1,）圆,（,2,）空心圆,d,D,d,A,0,d,D,d,A,0,d,二、强度计算,抗扭截面模量（系数）,解决,三类,强度问题,：,3,5,圆轴扭转时的变形和刚度计算,扭转角,：任意两横截面相对转过的角度,l,1,l,2,l,3,T,1,I,p1,T,2,I,p2,T,3,I,p3,T,(,x,),I,p,(,x,),x,1,扭转角,(1),等直圆轴,(2),阶梯轴,(3),变截面轴,2,单位长度扭转角,3,扭转刚度条件,许用单位长度扭转角,rad/m,0,/m,例题,：,1,、有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为,d,1,=40rmn,，,d,2,=70mm,，,已知轮,3,输入的功率为,N,3,=30kW,，,轮,1,输出的功率为,N,1,=13kW,。,轴作匀速转动，转速,n=200r,min,。,若材料的容许剪应力,=60MPa,，,G=8,10,4,MPa,，,轴的容许单位长度扭转角为,=2,m,，,试校核该轴的强度和刚度。,2,、图示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知,m,1,=1.5kN.m,，,m,2,=3kN.m,，,m,3,=9kN.m,，,m,4,=4.5kN.m,；,各轮的间距为,l,1,=0.8m,，,l,2,=1.0m,，,l,3,=1.2m,；,材料的,=80GPa,，,=,0.3,/,m,，,G=80GPa,.,(1),设计轴的直径,D,；,(2),若轴的直径,D,0,=105mm,，,试计算全轴的相对扭转角,D-A,3,、有一外径为,100mm,、,内径为,80mm,的空心圆轴，与一直径为,80mm,的实心圆轴用键相连接。在,A,轮处由电动机带动，输入功率,N,1,=150kW,；在,B,、,C,轮处分别负载,N,2,=75kW,，,N,3,=75kW,。,若已知轴的转速为,n=300r,min,，,容许剪应力,=45MPa,；,键的尺寸为,10mm,l0mm,30mm,，,其容许应力为,=100MPa,和,c,=280MPa,。,(1),校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）；,(2),求所需键数,n,。,P,36,扭转静不定问题,已知,:AB,阶梯轴两端固定,C,处作用外,力偶矩,m,AC,抗扭刚度为,G,1,I,p1,CB,抗扭,刚度为,G,2,I,p2.,求,:,轴的扭矩,.,解,:1,静力学关系,2,变形几何关系,m,A,C,B,a,b,扭转静不定问题,m,B,A,C,B,m,m,A,x,A,B,C,m,m,3,物理关系,解出,:,A,C,B,m,a,b,m,B,A,C,B,m,m,A,3,7,非圆轴截面杆扭转的概念,矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束，翘曲程度不受任何限制的情况，属于,自由扭转,。此时，杆各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变化，横截面上只有剪应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不同，横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于,约束扭转,。,式中,h,矩形截面长边的长度；,t,矩形截面短边的长度；,a,与截面尺寸的比值,h/l,有关的系数。,矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应力计算有以下特点：,(a),截面周边各点处的剪应力方向与周边平行,(,相切,),；,（,b,）,截面角点处的剪应力等于零；,(c),截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处，其计算式为,