理论力学11—达朗贝尔原理1.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第,11,章,达朗贝尔原理,达朗贝尔原理,为解决质点系动力学问题提供了,另一种求解的方法,。这种方法的特点是：,用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题,因此这种方法又叫,动静法,。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单,也容易掌握,因此动静法在工程中被广泛使用。,引言,设一质点质量为,m,加速度为,a,作用于质点的主动力为,F,约束反力为,F,N,。由牛顿第二定律，有,将上式改写成,令,11.1,质点的达朗贝尔原理,F,I,具有力的量纲,且与质点的质量有关，称其为质点的,惯性力,。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积,方向与质点加速度的方向相反。,F,I,m,F,F,N,a,即：在质点运动的任一瞬时,作用于质点上的,主动力,、,约束反力,和,假想加在质点上的惯性力,构成,形式上,的平衡力系。这就是,质点的达朗贝尔原理,。,则有,应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。,达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础,。,11.1,质点的达朗贝尔原理,例,1,球磨机的滚筒以匀角速度,w,绕水平轴,O,转动,内装钢球和需要粉碎的物料,钢球被筒壁带到一定高度脱离筒壁,然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料,如图。设滚筒内壁半径为,r,，试求钢球的脱离角,a,。,解：以某一尚未脱离筒壁的钢球为研究对象,受力如图。钢球未脱离筒壁前,作圆周运动,其加速度为,惯性力的大小为,O,M,r,w,q,F,F,N,mg,F,I,加上惯性力后,由达朗贝尔原理,O,M,r,w,a,q,F,F,N,mg,F,I,这就是钢球在任一位置,q,时所受的法向反力,显然当钢球脱离筒壁时,F,N,0,由此可求出其脱离角,a,为,该式表明，质点系中每个质点上作用的主动力、约束反力和惯性力在形式上构成平衡力系。这就是,质点系的达朗贝尔原理,(,形式,1,),。,设质点系由,n,个质点组成，对每一个质点,i,，有,把作用于,i,质点的所有力分为外力的合力,，,内力的合力 ，则,11.2,质点系的达朗贝尔原理,由于质点系的内力总是成对存在，且等值、反向、共线，有,则上式可改写为,上式表明，质点系中每个质点上作用的外力、内力和惯性力在形式上构成,平衡力系,。由,静力学知,，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即,即,:,作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系,。这是,质点系达朗贝尔原理,的又一表述,(,形式,2,),。,11.2,质点系的达朗贝尔原理,称,F,I,i,为,惯性力系的主矢,M,O,(,F,I,i,),为,惯性力系的主矩,。,O,R,例,2,已知一飞轮，质量为,m,，质量可认为分布在轮缘上，以匀角速度,转动，不考虑重力的影响。,求轮缘横截面上的张力。,解：取上半部分轮缘为研究对象,O,x,y,F,I,d,F,T,F,T,例,3,重为,P,长,l,的等截面均质细杆,AB,其,A,端铰接于铅直轴,AC,上,并以匀角速度,w,绕该轴转动,如图。求角速度,w,与角,q,的关系。,解：以杆,AB,为研究对象。,杆,AB,匀速转动,杆上距,A,点为,x,的微元段,dx,的加速度的大小为,微元段的质量,d,m,P,d,x,/,gl,。在该微元段虚加惯性力,d,F,I,它的大小为,x,d,x,d,F,I,a,n,q,w,B,A,C,y,x,于是整个杆的惯性力的合力的大小为,x,d,x,d,F,I,a,n,q,w,B,A,C,y,x,设,R,Q,的作用点到点,A,的距离为,d,由合力矩定理有,即,假想地加上惯性力,由质点系的达朗贝尔原理,代入,R,Q,的数值,有,q,B,A,x,d,P,F,Ax,F,Ay,R,Q,11.3,刚体惯性力系的简化,对于,刚体这种特殊的质点系,，每个质点均受到惯性力的作用，这些惯性力形成一个力系，利用静力学的力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩，给解题会带来方便，这里讨论,刚体平移,、,定轴转动,和,平面运动,时惯性力系的简化。,以,F,IR,表示惯性力系的主矢，则,该式对任何质点系做任意运动都成立，当然适用于做,平移、定轴转动与平面运动,的刚体。,主矢的大小和方向与简化中心的位置,无关,，主矩一般与简化中心的位置,有关,，下面对刚体做平移、定轴转动、平面运动时的惯性力系简化的,主矩,进行讨论。,1,、刚体作平移,若选质心,C,为,简化中心，则,r,C,=0,，,有：,故平移刚体的惯性力系可以简化为,通过质心的合力,，其力大小等于刚体质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向相反。,作平移时，刚体任一点,i,的加速度,a,i,与质心的加速度,a,C,相同，如图，,以,O,为简化中心,，有,O,2.,刚体绕定轴转动,刚体定轴转动时,设其角速度为,w,角加速度为,a,刚体内任一质点的质量为,m,i,到转轴的距离为,r,i,则刚体内任一质点的惯性力为,F,I,i,-,m,i,a,i,。,在转轴上任选一点,O,为简化中心,建立直角坐标系如图,质点的坐标为,x,i,y,i,z,i,现分别计算惯性力系对三个坐标轴的矩,M,I,x,M,I,y,M,I,z,。,w,a,r,i,m,i,O,x,y,z,i,j,k,x,i,y,i,z,i,q,i,F,I,i,a,i,a,i,质点的惯性力,F,I,i,m,i,a,i,可以分解为切向惯性力,F,I,i,t,与法向惯性力,F,I,i,n,它们的方向如图,大小分别为,w,a,x,y,O,x,i,y,i,r,i,F,n,I,i,F,t,I,i,q,i,惯性力对,x,轴的矩为,x,y,z,r,i,x,i,y,i,z,i,q,i,m,i,F,t,I,i,F,n,I,i,i,j,k,O,记,为,对,z,轴的惯性积,它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况。,于是,F,I,i,a,i,w,a,x,y,O,x,i,y,i,r,i,F,n,I,i,F,t,I,i,q,i,x,y,z,r,i,x,i,y,i,z,i,q,i,m,i,F,t,I,i,F,n,I,i,i,j,k,O,惯性力对,x,轴的矩为,综合上述结果得,同理可得惯性力对,y,轴的矩为,惯性力对,z,轴的矩为,由于各质点的法向惯性力均通过轴,z,F,I,i,a,i,w,a,x,y,O,x,i,y,i,r,i,F,n,I,i,F,t,I,i,q,i,x,y,z,r,i,x,i,y,i,z,i,q,i,m,i,F,t,I,i,F,n,I,i,i,j,k,O,惯性力系简化的主矩为,如果刚体有质量对称面且该平面与转轴,z,垂直,简化点,O,取为此平面与转轴,z,的交点,则,工程中绕定轴转动的刚体常常有质量对称平面。,2.,刚体绕定轴转动,当刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时,惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积,方向与质心加速度方向相反,作用线通过转轴,;,这个力偶的矩等于,刚体对转轴的转动惯量,与角加速度的乘积,转向与角加速度相反。,a,C,O,w,a,C,F,I,R,M,I,O,2.,刚体绕定轴转动,现在讨论以下三种特殊情况：,2.,当刚体作匀速转动时,0,若转轴不过质心,惯性力系简化为一惯性力,F,IR,且,F,IR,ma,C,同时力的作用线通过转轴,O,。,1.,当转轴通过质心,C,时,a,C,0,F,IR,0,M,IO,J,C,。此时惯性力系简化为一惯性力偶。,3.,当刚体作匀速转动且转轴通过质心,C,时,F,IR,0,M,IO,0,惯性力系自成平衡力系。,i,O,r,i,w,M,I,O,F,IR,2.,刚体绕定轴转动,3.,刚体作平面运动,(,平行于质量对称面,）,工程中,作平面运动的刚体,常常有质量对称平面,且平行于此平面运动,。当刚体作平面运动时,其上各质点的惯性力组成的空间力系,可简化为,在质量对称平面内的平面力系,。,取质量对称平面内的平面图形如图所示,取,质心,C,为基点,设质心的加速度为,a,C,绕质心转动的角速度为,w,角加速度为,a,与刚体绕定轴转动相似,此时惯性力系向质心,C,简化的,主矩,为,F,I,R,C,M,I,C,a,C,w,a,有质量对称平面的刚体,平行于此平面运动时,刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。,这个力通过质心,其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积,其方向与质心加速度的方向相反,;,这个力偶的矩等于,刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴,的转动惯量与角加速度的乘积,转向与角加速度相反。,11.3,刚体惯性力系的简化,讨论书中例题,14-4,