第1章：离散时间信号与系统2.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4,离散时间系统,系统的属性：,线性、时不变、线性时不变系统；,因果性、稳定性,系统的差分方程描述,1.4,离散时间系统,T,离散时间系统,x(n)y(n),一个,离散时间系统,在数学上的定义是将输入序列,x(n),映射成输出序列,y(n),的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其,本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。,y(n,)=Tx(n),对,T,加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。,T.,1.,线性系统,若系统的输入为,x,1,(n),和,x,2,(n),时，输出分别为,y,1,(n),和,y,2,(n),，,即,y,1,(n),=Tx,1,(n),，,y,2,(n),=Tx,2,(n),如果系统输入为,ax,1,(n),+bx,2,(n),时，输出为,ay,1,(n),+by,2,(n),，,其中,a,，,b,为任意常数，则该系统为线性系统。所以，线性系统的条件为,Tax,1,(n),+bx,2,(n),=aTx,1,(n),+bTx,2,(n),=ay,1,(n),+by,2,(n),2.,时不变系统,如果,Tx,(n,),=,y,(n,),，则,Tx(n-n,0,)=y(n-n,0,)(n,0,为任意整数,),系统的特性不随时间而变化。,例,:,设一系统的输入输出关系为,y,(,n,),=,x,2,(,n),试判断系统是否为线性？,解：输入信号,x,(,n,),产生的输出信号,Tx,(,n,),为,T,x,(,n,)=,x,2,(,n),输入信号,ax,(,n,),产生的输出信号,Tax,(,n),为,Tax,(,n),=,a,2,x,2,(,n),除了,a,=,0,1,情况，,T,ax,(,n),aTx,(,n,),。,故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。,3.,线性时不变系统,(n),h(n),x(n)y(n,)?,离散卷积,3.,线性时不变系统,线性时不变系统,既满足迭加原理又具有时不变性的系统。,线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。,我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和,如令,h(n,),为系统对单位脉冲序列的响应，,h(n,),=,T(n,),则系统对任一输入序列,x(n),的响应为,由于系统是线性的，满足迭加定理,因此,该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应,h(n,),来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。,又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。,注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示,令,m=n-m,，,做变量代换，则卷积公式变为,因此，,x(m),与,h(n-m),的位置可对调,即输入为,x(n,),、单位脉冲响应为,h(n,),的线性时不变系统与输入为,h(n,),、单位脉冲响应为,x(n,),的线性时不变系统具有同样的输出）,离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”，以区别其他种类的卷积。,离散,卷积过程,：,对,h,(,m,),绕纵轴折叠，得,h,(-,m,),；,对,h(,-,m,),移位得,h(n-m,),；,将,x,(,m,),和,h,(,n-m,),所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果,y(n,),。,4,、系统的稳定性与因果性,线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。,稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，即,因果系统：系统的输出,y,(n,),只取决于当前以及过去的输入，即,x,(n,),，,x,(n-1),，,x,(n-2),。,非因果系统：如果系统的输出,y,(n,),取决于,x,(n+1),，,x,(n+2),，,，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统,(,不可实现,),。,因果系统的充要条件,h,(n),0,，,n0,例：分析单位脉冲响应为,h,(n,),=,a,n,u,(n,),的线性时不变系统的因果性和稳定性。,既然，,n0,时，,h,(n,),=0,，,系统是因果的,如果,|,a,|1,则,如果,|,a,|1,则,s ,，,级数发散。故系统仅在,|,a,|1,时是稳定的,稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可和的，即,5,、系统的差分方程描述,系统输入输出之间的运算关系,一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量,n,是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。,其,N,阶线性常系数差分方程的一般形式：,其中,a,i,、,b,i,都是常数。,离散系统差分方程表示法有两个主要用途：,由差分方程得到系统结构；,求解系统的单位脉冲响应；,例：用途一，由一阶差分方程画网络结构,y(n,)=,ay,(n-1),+,x,(n),由此得到它的网络结构如图,T,a,网络结构,用途二,在给定输入和给定初始条件下，用递推的方法求系统瞬态解,例，一阶差分方程系统：,其输入为,解：,初始条件为,y(n,)=0,，,n0,，,y(n,)=0,将上述差分方程,改写成,y(n-1)=2 y(n)-1.5x(n),此时,y(0)=2 y(1)-1.5x(1)=0,依此类推，得到,非因果、不稳定系统,、,两式所表示的两个不同的单位脉冲响应，虽满足同一差分方程，但由于初始条件不同，它们代表不同的系统，也即用差分方程描述系统时，只有附加必要的制约条件，才能唯一地确定一个系统的输入和输出关系。,0,5,10,15,20,25,30,35,40,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,n,幅度,用,MATLAB,计算差分方程输出,1.5,系统的频率响应与系统函数,一、定义,在上一节中曾讨论过用单位脉冲响应,h,(,n,),来表示一个线性时不变离散系统，,y,(n,)=,x,(n,),*,h,(n,),两边取,z,变换,Y,(,z,)=,X,(,z,),H,(,z,),则 定义为系统函数,1,）单位脉冲响应的,z,变换。可以用单位脉冲响应的,z,变换来描述线性时不变离散系统。,2,）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应,可以证明，它是单位脉冲响应,h,(,n,),的,DTFT,。,因果系统：单位脉冲响应,h(n,),是因果序列的系统，其系 统函数,H(z),的收敛域包括,点,，即收敛域为一个圆的外部,Rx-|Z|,稳定系统：单位脉冲响应,h,(n,),满足绝对可和的系统，即,稳定系统的,H(z,),必在单位圆上收敛，即 存在，,系统稳定的充要条件是,H(z,),的,收敛域包含,z,平面上的单位圆,。,二、几种常用系统,因果稳定系统：最普遍最重要的一种系统，其系统函数,H(z,),在从单位圆到的整个区域收敛。即,1Z|,H(z,),的,全部极点必在单位圆以内。,三、,系统的零极点表示,线性时不变离散系统也可用差分方程表示，考虑,N,阶差分方程,两边取,z,变换：,于是,上式也可用因子的形式来表示,式中,c,i,d,i,是,H(z,),在,z,平面上的零点和极点，,A,为比例常数。,整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。,用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。,一个,N,阶的系统函数可用它的零极点表示为,系统的频响为,:,在,z,平面上,e,j,-c,i,可用一个由零点,c,i,指向单位圆上,e,j,点的向量 来表示，而,e,j,-d,i,可用极点,d,i,指向,e,j,的向量 表示,于是,令,分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向,e,j,点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的辐角来确定，当频率,由,02,时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。,其基本原理是，当单位圆上的,e,j,点在极点,d,i,附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点,d,i,越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当,d,i,处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现,，这相当于在该频率处出现无耗（,Q=,）,谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。,对于零点位置，频响将正好相反，,e,j,点越接近某零点,c,i,，,频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。,这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。,例 求一阶系统,y(n)-ay(n-1)=,x(n,),的频率响应特性。,0,0,*,x,Rez,a,Imz,解：因果系统的系统函数等于,例,有限长单位脉冲响应,0a1,求其频率响应特性。,解：,如果,a,为正实数，,H(z,),的零点为,这些零点分布在,|z|=a,的圆周上，对圆周进行,M,等分，它的第一个零点,k=0,，,恰好与分母上的极点,(z-a),抵消，因此，整个函数,H,（,z,）,共有,下图给出,M=8,，,0a0,）,上收敛，因此对于,FIR,系统，,H(z,),在有限,z,平面上不能有极点。如分子、分母无公共可约因子，则,H(z,),分母中全部系数,b,i,（,i=1,，,2,，,，,N,）,必须为零，故,只要,b,i,中有一个系数不为零，在有限,z,平面上就会有极点，这就属于,IIR,系统。,b,i,不为零就说明需要将延时的输出序列,y(n-i),反馈回来，所以，,IIR,系统的结构中都带有反馈回路。这种带有反馈回路的结构称为“递归型”结构，,IIR,系统只能采用“递归型”结构，而,FIR,系统一般采用非“递归型”结构。但是，采用极、零点抵消的方法，,FIR,系统也可采用“递归型”结构。,数字滤波器分类,IIR,：只要前面的输出有值，后面的点就不可能为零，所以是无限长响应：,AR MA,（自回归）,FIR,：输入的平均，同时，随着,n,的增加，响应,M+1,点不断向前移动，滑动平均,MA,小 结：,理想采样信号及其频谱特点、采样定理,Z,变换定义、,Z,变换收敛域、,Z,变换性质,逆,Z,变换、常用序列,Z,变换,因果稳定系统,线性时不变系统输入、输出的关系,系统函数、系统频响及其几何确定方法,作业,1.1,，,1.2,，,1.5,，,1.6(1-2),，,1.7(1-4),1.8(1-2),1.10(1-2),1.12(1),1.13,1.16(1-4),1-21,1-22,实验,1,(2):d,e;,(7),已知系统的差分方程如下：,y(n)-0.25y(n-1)=0.5x(n)+0.45x(n-1)+0.35x(n-2),且在,n0,时,y(n,)=0,。求以下输入序列时的输出,y(n,):,（,1,）,（,2,）,实验,2,6,已知 ，画出 的图形并验证其共轭对称性。,思考题,2,3,