lec2 n阶行列式及其性质.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2016/9/21,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,几何与代数,2010,年国家级精品,课程,2013,年,国家级,精品资源共享课程,行列式和线性方程组的求解,教 学 内 容,学时数,1.1,二阶、三阶行列式,1,1.2,n,阶行列式,1,1.3,行列式的性质和计算,4,1.4,线性方程组的求解,2,2,问题,1,：,2,元线性方程组的,Cramer,法则能否推广到,n,元？,问题,2,：,n,阶行列式的定义和计算？,问题式预习提纲,3,1.,行列式的几何含义是,什么,？（参考思考题）,2.,n,阶行列式,是,n,2,个数还是一个数？,“,|,”是一个表示符号还是一个运算符号？,3.,行列式的众多性质中哪几个是基本性质,？,4.,化为三角形,行列式的一般顺序是怎样的,？,趣味,思考题一,试证明在二维平面上，,2,阶,行列式 的绝对值是以,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),为邻边的平行四边形的面积。,提示：在二维平面上，,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),(1),试计算,=,(,a,12,a,22,)=,=,(,a,11,a,21,),时的平行四边形面积；,(3),试说明,与,D,的关系；,(2),试说明,与,D,的关系；,4,趣味思考题,试证明在二维平面上，,2,阶,行列式 的绝对值是以,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),为邻边的平行四边形的面积。,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),证明：,5,趣味思考题,试证明在二维平面上，,2,阶,行列式 的绝对值是以,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),为邻边的平行四边形的面积。,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),(1),试计算,=,(,a,12,a,22,)=,=,(,a,11,a,21,),时的平行四边形面积；,(3),试说明,与,D,的关系；,(2),试说明,与,D,的关系；,平行四边形退化成一条线段，面积为,0.,(,),逆时针方向为正，顺序针方向为负,若,(,),逆时针方向为正,则,(,),顺时针方向为负,D,1,=D,6,a,11,a,12,a,21,a,22,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,=,a,11,a,22,a,12,a,21,行列式的几何含义,=,(,a,11,a,21,),=,(,a,12,a,22,),=,以,为邻边的平行四边形的,有向,面积,其中,(,),逆时针方向为正，顺序针方向为负,=,以,为邻边的,平行六面体的,有向,体积,构成右手法则体积为正，左手法则体积为负,n,阶行列式就是,n,个,n,维向量构成的平行多面体的有向体积。,7,1.,二阶、三阶,行列式如何计算？,1.1-1.2,二阶、三阶、,n,阶,行列式,2.,如何将二、三阶行列式的计算推广到,n,阶,行列式？,对角线法则,由列标排列的逆序数确定符号,逆序数：排在数,i,k,之前,(,后,),比,i,k,大,(,小,),的数的个数,.,对换,(,变成,12,n,),的次数称为逆序数,.,2.,对换,对换,:,对调,排列中的任,两个,元素,其余元素不动,.,相,邻对换,:,将,相邻,的两个元素对换,.,定理,1.1.,每一个对换都改变排列的奇偶性,.,推论,.,n,2,时,n,个,元素的所有排列中,奇、偶,排列各占一半,即各有,n,!/2,个,.,注,:,任一相邻对换都,改变,排列的,奇偶性,.,任一对换都可通过,奇数次,相邻对换来实现,.,a,1,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,a,1,a,l,a,b,b,1,b,m,c,1,c,n,a,1,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,a,1,a,l,a,b,1,b,m,-1,b,b,m,c,1,c,n,a,1,a,l,b,a,b,1,b,m,c,1,c,n,a,1,a,l,b,b,1,a,b,m,c,1,c,n,对换,m,次,对换,m,+1,次,共对换,2,m,+1,次,a,1,a,l,a,b,b,1,b,m,a,1,a,l,b,a,b,1,b,m,若,a,b,则,a,=,a,b,=,b,1,若,a,b,则,a,=,a,+,1,b,=,b,=,1.,=,+1.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,9,9,1.,二阶、三阶,行列式如何计算？,1.1-1.2,二阶、三阶、,n,阶,行列式,2.,如何将二、三阶行列式的计算推广到,n,阶,行列式？,10,对角线法则,由列标排列的逆序数确定符号,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,排列,j,1,j,2,j,n,的逆序数,1.,n,阶行列式的定义,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,注,:,(1),n,阶行列式是,n,!,项的代数和,.,四,.,n,阶行列式的定义（,D,eterminant,）,(3),n,阶行列式是定义在,n,n,个数集合,(,n,阶方阵,),上的一个,函数,，即,f,(,A,)=det,A,:,R,n,n,R,.,(2),当,n,=1,时,一阶行列式,|,a,11,|=,a,11,有正负号,.,排列,j,1,j,2,j,n,的逆序数,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,11,(4),定义只能计算一些简单的行列式。,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,11,2.,几个特殊的行列式,a,11,0 0,0,a,22,0,0 0 ,a,nn,0 0,a,1,n,0,a,2,n,1,0,a,n,1,0 0,=,a,11,a,22,a,nn,a,1,n,a,2,n,1,a,n,1,(1),对角行列式,12,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,12,(2),上,(,下,),三角形行列式,a,11,a,12,a,1,n,0,a,22,a,2,n,0,0,a,nn,=,a,11,a,22,a,nn,=,a,11,0 0,a,21,a,22,0,a,n,1,a,n,2,a,nn,a,11,a,1,n,-1,a,1,n,a,21,a,2,n,-1,0,a,n,1,0,0,=,a,1,n,a,2,n,-1,a,n,1,0,0,a,1,n,0 ,a,2,n,-1,a,2,n,a,n,1,a,1,n,-1,a,nn,13,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,13,例,2,.,证明,f,(,),是,的,n,次,多项式,并求,n,n,1,的系数及常数项,.,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,f,(,)=,d,1,=(,a,11,)(,a,22,)(,a,nn,),f,(0),=(,1),n,|,A,|,=(,1),n,=|,A,|,14,f,(0),第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,A,的,迹,记为,tr,A,14,例,3.,已知,，求,x,3,项的系数。,解,:,第一二行的,x,必取，故含,的项有两项,即,所以,x,3,项的系数,为,5,。,问题：一定要先将行标排,好顺序吗,？,15,例,3.,已知,，求,x,3,项的系数。,问题：一定要先将行标排,好顺序吗,？,元素对换时，,行,标,列标,逆序数之和的奇偶性不变,元素对换,行标,列标,同时对换,16,3.,n,阶行列式的另外一种定义,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,证明：,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,行标,列标,逆序,数之和的奇偶性不变,17,17,4.,行列式的转置,(Transpose),性质,1,|,A,T,|,=|,A|,.,记,|,A|,=,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,a,11,a,21,a,n,1,a,12,a,22,a,n,2,a,1,n,a,2,n,a,nn,|,A,T,|,=,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.2,n,阶行列式,或,|,A,|,=,=|,B|,18,说明：行列式中行与列的地位相同，凡对行成立的性质，对列同样成立。,18,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,a,31,a,32,a,33,a,21,a,22,a,23,a,11,a,12,a,13,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,性质,2,.,互换,行列式中的两行,(,列,),值变号,.,=,a,31,a,32,a,33,a,21,a,22,a,23,a,11,a,12,a,13,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,a,31,a,21,a,11,a,32,a,22,a,12,a,33,a,23,a,13,a,11,a,21,a,31,a,12,a,22,a,32,a,13,a,23,a,33,列,(column),行,(row),19,几何：有向,体积,反号。,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,3 2,1 0,1 5 6 2,0 1 7 3,3 2 1 0,例,4,.,=_.,3 2,1 0,1 5 6 2,0 1 7 3,3 2 1 0,3 2,1 0,1 5 6 2,0 1 7 3,3 2 1 0,=,推论,.,若行列式,D,中有两行,(,列,),完全,相同,则,D,=0,.,0,20,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,a,11,a,12,a,1,n,k,a,21,k,a,22,k,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,性质,3,.,行列式的,某一行,(,列,),的公因子可以,提到行列式记号外,.,=,k,几何：有向,体积变为,k,倍。,21,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,性质,3,.,行列式的,某一行,(,列,),的公因子可以,提到行列式记号外,.,k,a,11,k,a,12,k,a,1,n,k,a,21,k,a,22,k,a,2,n,k,a,n,1,k,a,n,2,k,a,nn,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,=_,.,k,n,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,=(,1),n,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,6 4,2 0,1 5 6 2,0 1 7 3,3 2 1 0,例,5,.,=_.,3 2,1 0,1 5 6 2,0 1 7 3,3 2 1 0,=,2,性质,4,.,若行列式,D,中有,两行,(,列,),成比例,则,D,=0,.,0,推论,.,若行列式,D,中有某行,(,列,),全为,0,则,D,=0.,23,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,a,11,+,b,11,a,12,a,1,n,a,21,+,b,21,a,22,a,2,n,a,n,1,+,b,n,1,a,n,2,a,nn,几何：有向,体积为两个体积的,和。,24,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,a,11,+,b,11,a,12,a,1,n,a,21,+,b,21,a,22,a,2,n,a,n,1,+,b,n,1,a,n,2,a,nn,b,11,a,12,a,1,n,b,21,a,22,a,2,n,b,n,1,a,n,2,a,nn,+,.,a,11,a,12,a,1,n,a,21,a,22,a,2,n,a,n,1,a,n,2,a,nn,=,几何：有向,体积为两个体积的,和。,25,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,性质,5,.,行列式可按,某一行,(,列,),拆成,两个行列,式之和,.,a,+,u,b,+,v,c,+,x,d,+,y,=.,+,a,b,c,d,(A),u,v,x,y,例,6,.,+,u,b,x,d,(B),u,v,x,y,+,a,b,c,d,a,v,c,y,+,a,b,+,v,c,d,+,y,u,b,+,v,x,d,+,y,=,+,(B),26,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,例,7,.,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,+,k,a,11,a,32,+,k,a,12,a,33,+,k,a,13,=,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,+0,=,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,+,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,k,a,11,k,a,12,k,a,13,27,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.3,行列式的性质,例,7,.,性质,6,.,将行列式中,某一行,(,列,),的,k,倍加到另,一行,(,列,),行列式,值不变,.,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,a,32,a,33,k,a,11,a,12,a,13,a,21,a,22,a,23,a,31,+,k,a,11,a,32,+,k,a,12,a,33,+,k,a,13,=,变化行,参照行,=,28,1.3,行列式的性质及计算,4.,5.,6.,第一章 行列式和线性方程组的求解,1.,|,A,T,|,=|,A|,2.,3.,行列式性质汇总,二,.,行列式的主要计算方法,1.3,行列式的性质及计算,一,.,行列式的性质,1.,化为三角形,行列式,|,A,T,|,=|,A|,.,3.,行列式按行,(,列,),展开,2.,箭形行列式的计算,4.,降阶递推法,5.,分解行列法,30,1.3,行列式的性质及计算,例,8,.,(1),1 2 4,2 2 1,3 4 2,1 2 4,0,6 7,3 4 2,1 2 4,0,6 7,0 10 14,1.,化为三角形,行列式,1 2 4,0,6 7,0 0 7/3,=1 6 (7/3),=14.,第一章 行列式和线性方程组的求解,二,.,行列式的主要计算方法,r,2,+2,r,1,r,3,+3,r,1,r,3,5/3,r,2,(2),31,1.3,行列式的性质及计算,3 1 1 1,1 3 1 1,1 1 3 1,1 1 1 3,(3),6 6 6 6,1 3 1 1,1 1 3 1,1 1 1 3,1 1 1 1,1 3 1 1,1 1 3 1,1 1 1 3,=,6,=48.,第一章 行列式和线性方程组的求解,r,1,+,r,2,+,r,3,+,r,4,r,2,r,1,r,3,r,1,r,4,r,1,1 1 1 1,0 2 0 0,0 0 2 0,0 0 0 2,6,32,1.3,行列式的性质及计算,a,b,c,d,a,a,+,b,a,+,b,+,c,a,+,b,+,c,+,d,a,2,a,+,b,3,a,+2,b,+,c,4,a,+3,b,+2,c,+,d,a,3,a,+,b,6,a,+3,b,+,c,10,a,+6,b,+3,c,+,d,(4),a,b,c,d,a,b,c,d,0,a,a,+,b,a,+,b,+,c,=,a,4,.,0,a,3,a,+,b,6,a,+3,b,+,c,0,a,2,a,+,b,3,a,+2,b,+,c,0,a,a,+,b,a,+,b,+,c,0 0,a,3,a,+,b,0 0,a,2,a,+,b,a,b,c,d,0,a,a,+,b,a,+,b,+,c,0 0 0,a,0 0,a,2,a,+,b,第一章 行列式和线性方程组的求解,r,4,r,3,r,3,r,2,r,2,r,1,r,4,r,3,r,3,r,2,r,4,r,3,33,1.3,行列式的性质及计算,例,9.,设,D,=,a,11,a,1,m,a,m,1,a,mm,D,1,=,证明,:,D,=,D,1,D,2,.,证明,:,对,D,1,自下而上,施行,r,i,+,kr,j,化为,下三角行列式,=,p,11,p,m,1,p,mm,.,.,.,=,p,11,p,mm,D,2,=,b,11,b,1,n,b,n,1,b,nn,a,11,a,1,m,0 0,a,m,1,a,mm,0 0,c,11,c,1,m,b,11,b,1,n,c,n,1,c,nm,b,n,1,b,nn,a,11,a,1,m,a,m,1,a,mm,D,1,=,对,D,2,从左向右,施行,c,i,+,kc,j,把,D,2,化为下三角形行列式,:,b,11,b,1,n,b,n,1,b,nn,D,2,=,=,q,11,q,n,1,q,nn,.,.,.,=,q,11,q,nn,第一章 行列式和线性方程组的求解,34,1.3,行列式的性质及计算,于是对,D,的前,m,行,自下而上,施行,r,i,+,kr,j,再对,D,的后,n,列,从左向右,施行,c,i,+,kc,j,运算,可得,:,p,11,p,m,1,p,mm,c,11,c,1,m,q,11,c,n,1,c,nm,q,n,1,q,nn,.,=,.,.,.,.,.,0,=,p,11,p,mm,q,11,q,nn,a,11,a,1,m,0 0,D,=,a,m,1,a,mm,0 0,c,11,c,1,m,b,11,b,1,n,c,n,1,c,nm,b,n,1,b,nn,=,D,1,D,2,.,第一章 行列式和线性方程组的求解,本题结论可以直接应用,.,35,二,.,行列式的主要计算方法,1.3,行列式的性质及计算,1.,化为三角形,行列式,|,A,T,|,=|,A|,.,3.,行列式按行,(,列,),展开,2.,箭形行列式的计算,4.,降阶递推法,5.,分解行列法,36,1.,行列式的几何含义是,什么,？,2.,n,阶行列式,是,n,2,个数还是一个数？,“,|,”是一个表示符号还是一个运算符号？,3.,行列式的众多性质中哪几个是基本性质,？,4.,化为上三角形,行列式的一般顺序是怎样的,？,n,阶,行列式是,n,个,n,维向量构成的平行多面体的有向体积。,f,(,A,)=det,A,:,R,n,n,R,.,“,|,”既是表示符号又是运算符号。,对换行使,a,11,0,以第一行为基准做,r,i,+,kr,j,将其余行的首项化为,0,；以下对第二行做类似操作使得,a,22,0(,如果存在,),，且,a,22,以下元素化为,0,，,重复上述过程直到最后一行。,1.2-3,n,阶,行列式及其性质,38,二,.(A),1(5-7),2(1-5,),(B),4(1,3,4,6),5(1),39,作业,及问题式预习,2.,如何应用行列式的展开定理计算行列式？,3.,如何由某行（列）的展开式构造一个行列式？,1.,除定义外，二三阶行列式还有其他共性能推广到,n,阶行列式？,趣味思考题,二、,若行列式,D,=0,，则,D,都可能是什么类型的行列式？,三、,设,D,=,a,11,a,1,m,a,m,1,a,mm,D,1,=,证明,:,D,=,(,1,),mn,D,1,D,2,.,D,2,=,b,11,b,1,n,b,n,1,b,nn,0 0,a,11,a,1,m,0 0,a,m,1,a,mm,b,11,b,1,n,c,11,c,1,m,b,n,1,b,nn,c,n,1,c,nm,40,