中北大学课程-7_离散时间信号与系统的z域分析.ppt

7,离散时间信号与系统的,Z,域分析,第,7,章 离散时间信号与系统的,Z,域分析,7.1,离散信号的,Z,变换,7.4 Z,变换与拉普拉斯变换,傅里叶变换,的关系,7.3 Z,变换的基本性质和定理,7.2 Z,反变换,7.5,序列的,傅里叶变换,的定义和性质,7.6,利用,Z,变换求解差分方程,7.7,离散系统的系统函数和频率响应,7.8,离散系统的信号的流图,7.1,离散信号的,Z,变换,x(n),的单边,z,变换,:,7.1.1 z,变换的定义,x(n),的,双边,z,变换,:,7.1.2 Z,变换的收敛域,1,预备知识,1,）收敛条件：,X(z),收敛的充要条件是,绝对可和。,2),阿贝尔定理,:,满足,0|z|R,的,z,级数必绝对收敛。,R,为最大收敛半径。,级数,在,处收敛,那么,同样,对于级数 ，满足,的,z,，,级数必绝对收敛。,R,为最小收敛半径。,1).,有限长序列,2,不同序列的收敛域,x,(n),n,0,n,1,1,.,2),右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为,z,的负幂级数,收敛域,第一项为有限长序列,其收敛域为,|z|;,第二项为,z,的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为,R,x-,|z|;,两者都收敛的域亦为,R,x-,|z|;,R,x-,为最小收敛半径。,3),左边序列,x,(n),0,第二项为有限长序列,其收敛域,;,第一项为,z,的正幂次级数，根,据阿贝尔定理,其收敛域为,;,为最大收敛半径,.,4),双边序列,0,n,x,双边序列指,n,为任意值时,x,(,n),皆有值的序列，即,左边,序列,和,右边,序列之和。,第二项为左边序列，其收敛域为：,第一项为右边序列,(,因果,),其收敛域为,：,当,R,x-,|z|,时，这是无穷递缩等比级数，收敛。,收敛域：,*收敛域一定在模,最小,的极点所在的,圆内,。,4),反向指数序列,5),斜变序列,x,n,0,n,已知：,两边同时乘以,z,-1,，,可得,7.2 Z,反变换,7.2.1,部分分式展开法,1,z,变换式的一般形式,因此，,X(z),可以展成以下部分分式形式,其中，,MN,时，才存在,B,n,；,Z,n,为,X(z),的各单极点，,Z,0,为,X(z),的一个,r,阶极点。而系数,A,n,，,C,n,分别为：,解：,的z反变换。,例,利用部分分式法，求,7.2.2,幂级数展开法,（是,一个,z,的幂级数）,例,试用长除法求,收敛域为环状，极点,z=1/4,对应因果序列，极点,z=4,对应左边序列,(,双边序列,),*双边序列可分解为因果序列和左边序列。,*应先展成部分分式再做除法。,7.2.3,留数法,由留数定理可知,：,为,c,内的第,n,个极点，为,c,外的第,m,个极点，,Res,表示极点处的留数。,2,、当,Z,r,为,l,阶,(,多重,),极点时的留数：,留数的求法：,1,、当,Z,r,为,一,阶极点时的留数：,7.3 Z,变换的基本性质和定理,1,线性性质,ROC,：,一般情况下，取二者的重叠部分,线性组合中某些零点与极点相抵消，,则收敛域,可能扩大,。,例,已知,求其,z,变换。,2,时移性质,（,1,）双边,z,变换,若,Z,则,Z,Z,原序列不变，只影响在时间轴上的位置。,（,2,）单边,z,变换,若,x,(,n,),为双边序列，其单边,z,变换为,1,),左移位,若,x,（,n,）是双边序列，,1,),右移位,若,x,（,n,）,是双边序列，,3,),若,x,n,是因果序列，右移序列的单边,z,变换为,左移序列的单边,z,变换不变，仍为,Z,例,求序列,x,(n,)=u(n)-u(n-3),的,z,变换。,3.,尺度变换,(,乘以指数序列,),如果,，则,证明：,4.,序列的线性加权,(Z,域求导数,),如果,，则,证明：,如果,，则,证明：,5.,共轭序列,6.,翻褶序列,如果,，则,证明：,7.,初值定理,证明：,8.,终值定理,证明：,又由于只允许,X(z),在,z=1,处可能有一阶极点，故,因子（,z-1),将抵消这一极点，因此,(z-1)X(z),在,上收敛。所以可取,z 1,的极限。,9.,有限项累加特性,证明：,10.,序列的卷积和,(,时域卷积定理,),证明：,例：,其中,C,是在变量,V,平面上，,X(z/v),H(v,),公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。,（证明从略）,11.,序列相乘,(Z,域卷积定）,例：,如果,则有,:,12.,帕塞瓦定理,其中“*”表示复共轭，闭合积分围线,C,在公共收敛域内。,（证明从略）,7.4 Z,变换,与拉普拉斯变换、,傅里叶变换,的关系,7.4.1Z,变换与拉普拉斯变换的关系,1.,理想抽样信号的拉氏变换,设 为连续信号，为其理想抽样信号，,则,序列,x,(n,),的,z,变换为 考虑到,显然，当 时，序列,x,(n,),的,z,变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。,2.,Z,变换与拉氏变换的关系,(S,、,Z,平面映射关系）,S,平面用直角坐标表示为：,Z,平面用极坐标表示为：,又由于,所以有：,因此，,;,这就是说，,Z,的模只与,S,的实部相对应,Z,的相角只与,S,虚部,相对应。,=0,即,S,平面的虚轴,r=1,即,Z,平面单位圆；,0,即,S,的左半平面,r0,即,S,的右半平面,r1,即,Z,的单位圆外。,j,0,0,(1).r,与,的关系,=0,，,S,平面的实轴，,=0,，,Z,平面正实轴；,=,0,(,常数,),，,S:,平行实轴的直线，,=,0,T,Z:,始于 原点的射线；,S:,宽 的水平条带，,整个,z,平面,.,(2).,与,的关系（,=T,）,jImZ,ReZ,0,7.4.2 Z,变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即,我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴,S=j,的特例,因而映射到,Z,平面上为单位圆。因此,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的,Z,变换,就等,于理想抽样信号傅氏变换。,用数字频率,作为,Z,平面的单位圆的参数，,表示,Z,平面的辐角，且 。,所以，序列在单位圆上的,Z,变换为序列的傅氏变换。,7.5,序列的,傅里叶变换,的定义和性质,7.5.1,序列的傅氏变换的定义,正变换,:,反变换,:,（,1,）周期性,1),周期性,由序列的傅立叶变换公式：,其中的,M,为整数。因此序列的傅立叶变换是频率的周期函数。,7.5.2,序列傅氏变换的性质,（,2,）,DTFT,的线性,设,那么,式中,a,和,b,为常数。,（,3,）,DTFT,的时移和频移特性,(4),对称性,共轭对称序列,设一复序列，如果满足,则称序列为共轭对称序列。,设一复序列，如果满足,则称序列为共轭反对称序列,任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和,其中，,1.,序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部,证明：,2.,序列的,j,倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部,证明：,3.,序列的偶部的傅氏变换等于其傅氏变换的实部,证明：,4.,序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以,j,证明：,（,5,）时域卷积定理,设,则,（,6,）频域卷积定理,设,则,1,周期序列的傅里叶级数,对上式进行抽样，得：,导出周期序列,DFS,的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的：,7.5.3,周期序列的离散傅里叶级数和傅里叶变换表示式,因 是离散的，所以 应是周期的。,，代,入,而且，其周期为 ，因此,应是,N,点的周期序列。,又由于,所以求和可以在一个周期内进行，即,这就是说，当在,n=0,1,.,N-1,求和与在,n=N,.,2N-1,求和所得的结果是一致的。,的表达式,将式 的两端乘,，然后从,n=0,到,N-1,求和，则：,的DFS,通常将定标因子,1/N,移到 表示式中。,即：,7.6,利用,Z,变换求解差分方程,1,零输入响应的,Z,域求解,对方程做,Z,变换,例：,已知某线性时不变系统数学模型如下：,初始状态,y(-1)=4,，,y(-2)=1,，求,零输入响,y(n,),。,2,零状态响应的,Z,域求解,n,阶线性时不变离散系统的差分方程：,对方程做,Z,变换,例：,已知某线性时不变系统数学模型如下：,且,求,零输入,y(n,),3,全响应的,Z,域求解,n,阶线性时不变离散系统的差分方程：,对方程做,Z,变换,则方程两边取单边,Z,变换：,7.7,离散系统的系统函数和频率响应,系统函数,H,(z),与,单位样值响应,h(n,),是一对,z,变换。,对,上式取,z,逆变换：,7.7.1,因果稳定系统,对于稳定系统，只要输入是有界的，,输出必定是有界的。,时域稳定性判据,:,稳定性定义：,离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。,离散系统稳定的充分必要条件：,H,(,z,),的收敛域必须包含单位圆。,对于因果系统，系统稳定的充要条件为：,H,(,z,),的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内,:,。,z,域：收敛域在圆外,系统因果性,的判断方法,因果稳定系,统,的系统函数收敛域为,1,|z,|,，,也就是说,其全部极点必须在单位圆内。,线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为,上式两边取,z,变换得,7.7.2,系统函数与差分方程的关系,若,x,(,n,),为因果信号，且系统处于零状态,7.7.3,系统的频率响应,系统的单位抽样响应,h(n),的傅氏变换也即单位上的变换 称作系统频率响应。,对于线性移不变系统：,系统的频率响应特性 是系统函数在单位圆上的,z,变换，即,7.8,离散系统的信号的流图,线性时不变离散系统输入和输出的差分方程,用,表示相加器；,用,表示乘法器；,用,表示一位延时单元。,x,(n,),b,0,-,a,1,y(n-1),y(n,),-,a,1,y(n-1),b,0,x,(n)-a,1,y(n-1),b,0,x,(n,),例：,差分方程,表示的系统结构为：,