第2章 时域离散信号和系统的频域分析.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,章 时域离散信号和系统的频域分析,2.1,引言,2.2,序列的傅里叶变换的定义及性质,2.3,周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式,2.4,时域离散信号的傅里叶变换与模拟 信号傅里叶变换,之间的关系,2.5,序列的,Z,变换,2.6,利用,Z,变换分析信号和系统的频域特性,重点：,（,1,）序列的傅里叶变换,DTFT,；,（,2,）,Z,变换；,（,3,）利用,Z,变换分析系统和信号频域特性。,本章学习,内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础,2.1,引言,信号和系统的分析方法有两种,：,即时域分析方法和变换,(,频率,),域分析方法。,在模拟信号和系统中,，,信号一般用连续变量时间,t,的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。,在时域离散信号和系统中,，,信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述,。,频域分析是用,Z,变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。,在时间域中，时域离散信号,(,序列,),x,(,n,),是序数,n,的函数，这里,n,可看成时间参量。时域离散系统的单位脉冲响应是系统在时间域的描述，线性,常系数差分方程是时域离散系统输入输出之间关系的描述,2.2.1,序列的傅立叶变换的定义,正变换,FT,或,DTFT,:,2.2,序列的傅立叶变换,(,DTFT),的定义及性质,序列,x(n),的傅里叶变换,-,X,(e,j,),是,x(n),的,频谱函数。,可以用,FT,(Fourier Transform),缩写字母表示。,频谱函数可用下式表示：,FT,x,(,n,),存在的充分必要条件是序列,x,(n,),满足绝对可和的条件,，即满足式：,反变换,IFT,（,Inverse Fourier Transform):,用,e,jn,乘,FT,式两边，并在,-,内对,进行积分,推导：,x(n),和,X(e,j,),是一对,傅立叶变换对,FT,存在的充分必要条件是：,如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，其傅立叶变换可用冲激函数的形式表示出来，如周期序列。,例,已知,x(n)=(n),，,利用傅立叶变换求它的频谱函数。,解,按照频谱函数式,因为只有在,n,=0,时，,(,n,)=1,，,而对其他的,n,，,(,n,)=0,，,因此将,n,=0,带入上式中，可得到,说明,:,(,n,),的频谱函数在整个频率轴上保持一个常数,1,。所有的频率分量均相等，相位函数在整个频率轴上为,0,。,(,n,),的幅度特性,:,例,2.2.1,设,x(n)=R,N,(n),，求,x(n),的,FT,解：,图,2.2.1 R,4,(n),的幅度与相位曲线,N=4,时，幅度与相位随,变化曲线,:,x(n)=,R,N,(n,),序列,Fourier,变换的,MATLAB,实现,function,X,magX,angX,=,FourierTran(n,x,definition,),if,nargin,3,definition=600;,end,k=-definition:definition;w=(pi/definition)*k;,X=x*(exp(-j).(n*w);,magX,=abs(X);,angX,=angle(X);,figure(1),subplot(211),plot(w/pi,magX,r,LineWidth,2),xlabel,(,频率（单位,）,);,ylabel(,|X(e,jomega)|,),title(,幅频特性,),subplot(212),plot(w/pi,angX/pi,r,LineWidth,2),xlabel,(,频率（单位,）,);,ylabel,(,弧度,/,),title(,相频特性,),%,计算离散序列的,Fourier,变换，并画出幅频特性和相频特性图,%,调用格式,:,X,magX,angX,=,FourierTran(n,x,),%,其中,%n-,x(n,),的序号向量,%x-,时域序列,x(n,),%,definiton,-,图像分辨率,(,默认值每周期,600,点,),%X-,x(n,),的,Fourier,变换,X(ejw,),%,magX,-,X(ejw,),的模,%,angX,-,X(ejw,),的幅角,2.2.2,序列的傅立叶变换的性质,1,、,FT,的周期性,2,、,FT,的线性,3,、,FT,的时移和频移特性,4,、,FT,的对称,性,5,、,时域卷积定理,6,、,频域卷积定理,7,、,帕斯维尔,(,Parseval,),定理,1.DT,FT,的周期性,由序列的傅立叶变换公式,：,M,取整数，可以把频率分成两部分,因此,序列的傅里叶变换是频率,的周期函数,，,周期是,2,。,X(e,j,),可,以展成傅里叶级数，,x(n),是其傅里叶级数系数。,由于,FT,的周期性，一般只分析,之间或,02,之间的,FT,时域的离散导致频域的周期延拓,数字频率,与模拟频率,的区别与联系：,1,）,=T,，,模拟频率的单位为,rad/s,，,而数字频率的单位为,rad,，,代表在一个采样间隔,T,上正弦序列相位的变化量。,2,）,、,所代表的信号变化快慢有所不同：对模拟频率，,越大，模拟正弦信号变化越快；而对数字频率,，,正弦序列对,的变化呈现,2,周期性，当,=2M,时，变化最慢，当,=(2M+1),时，变化最快。所以,将,=0,附近称为数字低频，将,=,附近称为数字高频,.,举例：图,2.2.2,cosn,的波形,=2,M,，,M,为整数，,序列的直流分量,=,（,2M+1,）,，,一个时间波形变化愈快，意味着它包含的频,率愈高，对于序列变化最快的波形,2.DTFT,的线性,设,那么,式中,a,和,b,为常数,。,满足比例叠加,性,3.DTFT,的时移和频移特性,设,那么,傅立叶变换的时移性,:,如果信号,延时,n,0,，,那么它的傅立叶变换相应地增加,相位移,-,n,0,；,傅立叶变换的频移性,:,如果信号的傅立叶变换在,频率轴上位移,0,，,那么,时间域信号相应地增加相角,0,n,。,例,在例,2.2.1,中已求出,x,(,n,)=,R,N,(,n,),的傅立叶变换为,试求,y,(,n,)=,x,(,n,-,n,0,)=,R,N,(,n,-,n,0,),的傅立叶变换。,解,令,n,=,n,-,n,0,即,n,=,n,+,n,0,则,按照傅立叶变换的基本定义，可以得到,:,4.DTFT,的对称性,1,）概念,共轭,:,复数,x,=,a,+,jb,，,式中,a,、,b,是实常数，如果取它的共轭，则得到,x,*=,a,-,jb,。,复序列,x,(,n,)=,e,jn,=,cos(,n,)+jsin,(,n,),，,取它的共轭，则得到,x,*(,n,)=,e,-jn,=,cos,(,n,)-j sin(,n,),。,y,(,n,)=,je,j,n,，,取共轭则得到,y,*(,n,)=-,je,-jn,。,对称：,序列,x,(,n,),如果服从公式,:,x,(,n,)=,x,(-,n,),，,则称,x(n),是一个对称序列,2,）,共轭对称序列与共轭反对称序列（,1,）定义,如果序列,满足,为,共轭对称序列,用,x,e,(,n,),表示,。,如果序列,满足,为,共轭反对称序列,用,x,o,(,n,),表示,。,（,2,）性质,A,共轭对称序列的,实部是偶函数,，,虚部是奇函数,证明：,将,x,e,(,n,),用实部和虚部,表示：,将上式两边,n,用,-n,代替，并取共轭，得到：,对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：,B,共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数,证明：,将,x,0,(,n,),用实部和虚部,表示：,将上式两边,n,用,-n,代替，并取共轭，得到：,对比上面两式，因为左边相等，故可以得到：,例,2.2.2,试分析,x,(,n,)=,e,jn,的对称性。,解 这是一个复序列。先分析是否具有对称性，将,x(n),的,n,用,-n,代替，得到,:,x,(-,n,)=,e,-jn,由于,x,(,n,),x,(-,n,),，,因此它不具有对称性。但对上式再取共轭，得到,:,x,*(-,n,)=,e,jn,将上式和原信号对比，得到,x,(,n,)=,x,*(-,n,),，,因此该信号具有共轭对称性。,将信号用欧拉公式展开，则得到：,x,(,n,)=,e,jn,=,cos,(,n,)+,j,sin(,n,),共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数,例,试分析,y,(,n,)=,je,jn,的对称性。,解,先分析它是否是对称函数，将式中的,n,用,-,n,代替，得到,:,y,(-,n,)=,j,e,-jn,y,(,n,),y,(-,n,),上式说明该函数不是对称函数。,如果再对,y,(-,n,),取共轭,得到,:,y,*(-,n,)=-,je,jn,y,(,n,)=-,y,*(-,n,),上式说明,y(n),是一个共轭反对称函数。,用欧拉公式展开，得到：,y,(,n,)=-sin(,n,)+j,cos,(,n,),共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数,3,）一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和来表示,（,1,）时,域,证明：,将上式中的,n,用,-n,代替，再取共轭，可得到下式：,利用上面的两个公式即可求得,x,e,(n,),和,x,o,(n),，,即,（,2,）频域,用时间域信号说明的共轭对称概念，对频域函数也有相同的共轭对称的概念。,如果频域函数,X,(,e,j,),服从,：,X,e,(,e,j,)=,X,e,*,(,e,-,j,),则称,X,e,(,e,j,),是一个,共轭对称函数,。,如果频域函数,X,(,e,j,),服从：,X,o,(e,j,)=-X,o,*,(e,-j,),则称,X,o,(e,j,),为,共轭反对称函数,。,对于频域，同样有：,讨论两种情况,：,A,、,将序列分成实部,x,r,(n,),和虚部,x,i,(n),将实部进行,FT,其实部具有共轭对称性,。,将虚部进行,FT,其虚部具有共轭反对称性,。,结论：,实部对应的,FT,具有共轭对称性，,虚部和,j,一起对应,的,FT,具有共轭反对称,性。,B,、,将序列分成共轭对称,x,e,(n,),部分与共轭反对称,x,o,(n),部分,且有：,对上面两式取,FT,，,得到,结论：,序列的共轭对称部分,x,e,(n,),对应,FT,的实部，,序列的共轭反对称部分,x,o,(n),对应,FT,的虚部,。,FT,FT,小结：,实因果序列对称性的讨论：,因为,h(n),是实序列，其,FT,只有共轭对称部分,H,e,(e,j,),，,共轭反对称部分为零。,H(e,j,)=,H,e,(e,j,),H(e,j,)=H,*,(e,-j,),因此,实序列的,FT,的实部是偶函数，虚部是奇函数，,用公式表示为,H,R,(e,j,)=H,R,(e,-j,),H,I,(e,j,)=-H,I,(e,-j,),分成共轭对称部分与共轭反对称部分：,h(n)=h,e,(n)+h,o,(n),h,e,(n)=1/2,h(n)+h(-n),h,o,(n)=1/2,h(n)-h(-n),因为,h(n),是实因果序列，按照上面两式,h,e,(n),和,h,o,(n),可以用下式表示：,(2.2.27),-,偶函数,(2.2.28),实因果序列,h(n),分别用,h,e,(n),和,h,o,(n),表示为,h(n)=h,e,(n)u,+,(n)(2.2.29),h(n)=h,o,(n)u,+,(n)+h(o)(n),(2.2.30),(2.2.31),h(n,),是实序列,因此,h,e,(n,),是偶函数,h,o,(n,),是奇函数,-,奇函数,例,2.2.3 x(n)=,a,n,u(n,);0a1;,求其偶函数,x,e,(n,),和奇函数,x,o,(n),。,解：,x(n)=,x,e,(n)+x,o,(n,),-,偶函数,-,奇函数,用,MATLAB,求共轭对称序列与共轭反对称序列,function,xe,xo,m=,eocompl(x,n,),%,将复序列分解成共轭对称序列与共轭反对称序列,m=-,fliplr(n,);,m1=min(m,n);m2=max(m,n);m=m1:m2;,nm=n(1)-m(1);n1=1:length(n);,x1=zeros(1,length(m);,x1(n1+nm)=x;x=x1;,xe,=0.5*(x+,fliplr(x,).);,xo=0.5*(x-,fliplr(x,).);,5.,时域卷积定理,设,则,证明：,令,k=n-m,，,则,定理说明：,在求系统的输出信号时，可以在时域用卷积来计算，也可以在频域先求输出的,FT,，,再作逆变换。,频域卷积定理,如果两个时域信号服从相乘的关系，它们分别的频域函数则服从卷积关系,设,则,证明：,交换积分和求和次序得到：,定理表明：,在时域两序列相乘，转换到频域服从卷积关系。,7.,帕斯维尔,(,Parseval,),定理,帕斯维尔定理说明：,信号时域的总能量等于频域的总能量,，这里频域总能量是指,|X(e,j,)|,2,在一个周期中的积分再乘以,1/(2),。,证明：,表,2.2.1,序列傅里叶变换的性质,表,2.2.1,序列傅里叶变换的性质,习题,1,2.3,周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表示式,问题的提出：,因为周期序列不满足绝对可和的条件，因此,FT,不存在，但周期序列可以展开成离散傅立叶级数，引入,奇异函数,(),，周期序列的,FT,可用公式表示。,2.3.1,周期序列的离散傅立叶级数,(DFS),设 是,以,N,为周期的周期序列，其傅立叶级数为：,将周期序列展开成,N,个谐波分量的和的形式,如何确定傅立叶级数的系数,a,k,？,基波分量：,K,次谐波分量：,两边同乘 ，并对,n,在一个周期中求和,对式,确定傅立叶级数的系数,a,k,：,DFS,变换对,也是一个以,N,为周期的周期序列,，称为 的离散傅里叶级数，用,DFS(Discrete Fourier Series),表示,物理意义：,周期序列 可分解成,N,次谐波：,第,k,个谐波频率为,k,=(2/N)k,k=0,1,2 N-1,，,幅度为（,1/N,）,。,基波分量的频率是,2/N,，,幅度是（,1/N,）,。,一个周期序列可以用其,DFS,表示它的频谱分布规律。,例,2.3.1,设,x(n)=R,4,(n),，将,x(n),以,N=8,为周期，进行周期延拓，得到如图所示的周期序列,，,周期为,8,，求 的,DFS,。,解：,按照,DFS,定义式,图,2.3.1,例,2.3.1,图,幅度特性,2.3.2,周期序列的傅立叶变换表示式,1.,复指数序列的傅立叶变换表示法,模拟系统中,复指数函数,离散系统,复指数序列,上式表示复指数序列的,FT,是在,0,+2r,处的单位冲激函数，强度为,2,，这个结果是否成立？则须考察它的反变换必须存在，且唯一等于,e,j,0n,按照反变换的定义,在,区间，只包括一个冲激函数，故等式右边为,证明：,2.,一般周期序列的傅立叶变换式,对于一般的周期序列 展成离散傅立叶级数,类似复指数序列的,FT,，,周期序列第,k,次谐波,的,FT,为：,因此 的,FT,为：,如果,k,在,之间变化，上式可简化成,表,2.3.2,基本序列的傅里叶变换,例,2.3.2,求例,2.3.1,中周期序列的,DTFT,。,解：,将例,2.3.1,中得到的 代入下式中得到,得：,图,2.3.3,例,2.3.2,图,幅频特性,对比图,2.3.1,，对于同一个周期信号，其,DFS,和,DTFT,分别取模的形状是一样的，不同的是,DTFT,用单位冲激函数表示,(,用带箭头的竖线表示,),。因此周期序列的频谱分布用其,DFS,或者,DTFT,表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。,图,2.3.1,例,2.3.1,图,DTFT,DTFT,DFS,例,2.3.3,令 ，,2/,0,为有理数，求其,FT,。,解：,将 用欧拉公式展开,(2.3.11),图,2.3.4 cos,0,n,的,FT,cos,0,n,的,FT,：,是在,=,0,处的单位冲激函数，强度为,，,且以,2,为周期进行延拓。,2.4,时域离散信号和模拟信号的傅立叶变换之间的关系,模拟信号,x,a,(t,),的傅立叶变换用,X,a,(,j,),表示：,傅立叶变换对：,采样信号,的傅立叶变换用 表示,傅立叶变换对：,（见教材,p23,）,序列的傅立叶变换（即时域离散信号的傅立叶变换）与,模拟信号的,傅,立叶变换之间的,关系如何,？,数字频率、模拟频率的,关系如何,？,离散信号的傅立叶变换,DTFT,模拟信号的傅立叶反变换为：,取,t=,nT,时，则有,由于时域离散序列,x(n),是采样信号 构成,，,所以有,1,式与,2,式方程左边数值相同，由于方程右边的积分上下限不同，故无法得到,X(e,j,),和,X,a,(j,),之间的关系,。,1,式,2,式,将,上式变成无数个小区间之和，区间间隔为,2,/T,又,=T,=,/,f,s,，,所以,比较等式：,可得,结论：,时域离散信号的傅立叶变换仍然是模拟信号的傅立叶变换,X,a,(,j,),以,周期,s,=2,/T,进行的周期延拓。,模拟频率与数字频率值对应定标关系：,=T=/,f,s,=2,f,/,f,s,归一化频率,f,=,f,/,f,s,或,=/,s,，,=/2,，因为,f,、,和,，,都是无量纲，刻度是一样的，,f,、,、,、,f,、,、,的定标值对应关系,:,模拟折叠频率,f,s,/2,对应数字频率,满足采样定理,:,f,c,f,s,/2,不满足采样定理：,=,或,f=,0.5,f,c,附近引起混叠,【,例,】,设,x,a,(t,)=cos(2,f,0,t),，,f,0,=50 Hz,以采样频率,f,s,=200 Hz,对,x,a,(t,),进行采样，得到采样信号 和时域离散信号,x,(n),求,x,a,(t,),和 的傅里叶变换以及,x,(n),的,FT,。,解：,X,a,(j,),是,=2f,0,处的单位冲激函数，强度为,。,以,f,s,=200 Hz,对,x,a,(,t,),进行采样得到采样信号,，,与,x,a,(t,),的关系,式,为：,傅里叶变换：,即以,s,=2f,s,为周期，是,X,a,(j,),的周期延拓,(2.4.9),将采样信号转换成序列,x(n),，,用下式表示：,x(n)=,x,a,(nT,)=cos(2f,0,nT),x(n),的,FT,：,实际上只要将,=/T=,f,s,代入 中即可。,将,f,s,=200 Hz,，,f,0,=50 Hz,，,代入上式，求括弧中公式为零时的,值，,=2k/2,，,因此,X(e,j,),用下式表示：,强度不同,如同拉氏变换对于连续时间信号与系统，,Z,变换在离散,时间信号与系统的分析中起着非常重要的作用。,对于连续时间信号,x,a,(,t,),，其频谱为,=,若积分不存在，则,x,a,(,t,),的频谱不存在，无法分析信号，但许多有用信号的傅立叶变换的是不存在的例如阶跃、正（余）弦等。为分析这类信号，借助一衰减因子,e,-,t,2.5,序列,的,Z,变换,2.5.1.Z,变换的定义,频谱,(j,),复频谱,(,s,),傅立叶变换,拉氏变换,推广,特例,定义,的拉氏变换,对于离散时间信号,x,(,n,),，其频谱为,=,若级数不收敛，则,x(n),的频谱不存在。仿照连,续时间信号复频谱分析，同样借助衰减因子,r,-n,例如，分析阶跃序列,u(n),的频谱,u(n,),若,，则级数收敛,但,要求,若,，,则级数收敛，但要求,对于任意一个序列,x(n),定义,x(n),的,Z,变换,z,再如，,其,频谱不存在，而,可见，通过将序列乘以一个衰减因子，便可以分析一些有用信号的频谱特性，但此时的,频谱不仅与数字频率,有关，且与,r,有关，,构成了一个复频域,Z,域，,z,频谱,(j,),复频谱,(,z,),Z,变换：,序列的,Z,变换，在讨论序列的频率特性同时要讨论,r,的取值范围,以保证,Z,变换级数收敛。,1.,双边,Z,变换与单边,Z,变换的定义,(2.5.1),式中,z,是一个复变量，它所在的复平面称为,z,平面,。,在定义中，对,n,求和是在,之间求和，称为,双边,Z,变换,。,单边,Z,变换,的定义：,单边,Z,变换的求和限是从零到无限大,，,因此对于因果序列，用两种,Z,变换定义计算出的结果是一样的。,本书中如不另外说明，均用双边,Z,变换对信号进行分析和变换,。,(2.5.2),序列,x(n),的,Z,变换,定义,为,使,(2.5.3),式成立，,z,变量取值的域,称为,收敛域,。,2.,收敛域,(,ROC,：,region of convergence),的定义,(1),收敛域的定义：,Z,变换存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，,即,(2.5.3),若级数不收敛，,Z,变换无意义；,若给定,X(z),，,必须同时给定收敛域才能唯一地确定,x,(,n,),。,一般收敛域可用环状域表示：,R,x-,|z|R,x+,例,1,例,2,但,为使,X,1,(z),存在，要求,|z|R,x-,为使,X,(z),存在，要求,R,x-,|z|R,x+,3.DTFT,和,ZT,之间的关系,序列的傅里叶变换定义式,Z,变换定义式,DTFT,和,ZT,之间的关系，用下式表示,：,(2.5.4),式中,z=e,j,表示在,z,平面上,r=1,的圆，该圆称为单位圆,。,(2.5.4),式表明,单位圆上的,Z,变换就是序列的傅里叶变换,如果已知序列的,Z,变换，可用,(2.5.4),式，很方,便的求出序列的,DTFT,，,条件是,收敛域中包含单位圆,。,序列傅立叶变换,推广,特例,Z,变换,例,2.5.1 x(n)=u(n),，求其,Z,变换。,解：,X(z),存在的条件是,|z,-1,|1,，,|z|1,由,x(z),表达式表明，极点是,z=1,，,单位圆上的,Z,变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆。因此其傅里叶变换不存在。如果引进奇异函数,(),，,其傅里叶变换可以表示出来,(,见表,2.3.2),。,该例同时说明,:,一个序,列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内,Z,变换是存在的。,4.Z,变换的表示,常用,Z,变换是有理式，可用两个多项式之比表示：,分子多项式,P(z,),的根是零点，,分母多项式,Q(z,),的根是极点。,在极点处,Z,变换不存在，收敛域中应无极点。,收敛域总以极点限定起边界。,2.5.2,序列特性对收敛域的影响,序列的特性决定其,Z,变换收敛域，了解序列特性与收敛的一些一般关系，对使用,Z,变换是很有帮助的。,1.,有限长序列,如序列,x(n),满足下式：,x(n,),n,1,nn,2,x(n)=,0,其它,序列,x(n),从,n,1,到,n,2,序列值不全为零，此范围之外序列值为零，这样的序列称为,有限长序列,。,有限长序列,Z,变换为：,设,x(n),为有界序列，由于是有限项求和，除,0,与,两点是否收敛与,n,1,、,n,2,取值情况有关外，整个,z,平面均收敛,-,收敛域是有限的,Z,平面。,如果,n,2,0,，,则,收敛域不包括,z=0,点,；,如果是,因果序列，收敛域包括,z=,点,。,具体有限长序列的收敛域表示如下：,n,1,0,，,n,2,0,时，,0z,n,1,0,时，,00,时，,0z,例,2.5.2,求,x(n)=R,N,(n),的,Z,变换及其收敛域,解：,这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为,0z,。,由结果的分母可以看出似乎,z=1,是,X(z,),的极点，但同时分子多项式在,z=1,时也有一个零点，极零点对消，,X(z,),在单位圆上仍存在。,求,R,N,(n,),的,DTFT,，可将,z=,e,j,代入,X(z,),得到，其结果和例题,2.2.1,中的结果,(2.2.5),公式是相同的,。,2.,右序列,右序列是在,nn,1,时，序列值不全为零，而其它,nn,1,，,序列值全为零。,如果,n,1,-1,第一项为有限长序列,其收敛域为,0|z|,。,第二项为因果序列,其收敛域为,R,x-,|z|,R,x-,是第二项最小的收敛半径,。,将两收敛域相与,其收敛域为,R,x-,|z|,圆外,如果,n,1,0,因果序列,其收敛域为,R,x-,|z|,R,x-,是最小的收敛半径。,圆外,因果序列是最重要的右序列,:n0,x(n),0,收敛域定为,R,x-,|z|,。,例,2.5.3,求,x(n)=,a,n,u(n,),的,Z,变换及其收敛域,解：,在收敛域中必须满足,|a,z,-1,|a|,。,圆外,3.,左序列,左序列是在,nn,2,时，序列值不全为零，而在,nn,2,，,序列值全为零的序列。左序列的,Z,变换表示为,如果,n,2,0,：,z=0,点收敛，,z=,点不收敛，其收敛域是在某一圆,(,半径为,R,x+,，,R,x+,是最大的收敛半径,),的,圆内,，收敛域为,0|z|0,：,第一项为正幂级数,其收敛域为,0,|z|R,x+,R,x+,是第一项最大的收敛半径。,第二项为有限长序列,收敛域为,0,|z|,将两收敛域相与,其收敛域为,0|z|R,x+,圆内,例,2.5.4,求,x(n)=-a,n,u(-n-1),的,Z,变换及其收敛域,X(z),存在要求,|a,-1,z|1,，,即收敛域为,|z|R,x-,，其收敛域为,R,x-,|z|R,x+,，这是一个环状域，,如果,R,x+,R,x,-,，,两个收敛域没有公共区域，,X(z,),没有收敛域，因此,X(z),不存在。,例,2.5.5 x(n)=a,|n|,，,a,为实数，求,x(n),的,Z,变换及其收敛域。,解：,第一部分收敛域为,|,az,|1,得,|z|a|,-1,第二部分收敛域为,|az,-1,|a|,。,如果,|a|1,两部分的公共收敛域为,|a|z|a|,-1,其,Z,变换如下式：,|a|z|a|,-1,如果,|a|1,，,则无公共收敛域，因此,X(z),不存在。,当,0aa,，,求其逆,Z,变换,x(n),。,为了用留数定理求解，先找出,F(z),的极点：,极点有：,z=a;,当,n0,时，,z=0,是一个,n,阶极点,当,n0,时，,z=0,不是极点。,分成,n0,和,n0,两种情况求,x(n),。,n0,时，,解：,n0,时，增加,z=0,的,n,阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查,(2.5.10),式是,否满足，此处,n0,，只要,N-M 0,，,(2.5.10),式就满足。,该题围线外无极点,，,n0,x(n)=0,图,2.5.4,例,2.5.6,中,n|a,-1,|,，,对应的,x(n),是右序列；,(2)|a|z|z,-1,|,，,对应的,x(n),是双边序列；,(3)|z|a,-1,|,收敛域是因果的右序列，无须求,n0,时的,x(n),。,当,n0,时，围线积分,c,内有,二个极点,z=a,和,z=a,-1,，,因此,最后表示成：,x(n)=(a,n,-a,-n,)u(n),。,(2),收敛域,|z|a|,这种情况原序列是左序列，无须计算,n0,情况，,当,n0,时，围线积分,c,内没有极点，因此,x(n)=0,。,n0,时，,c,内只有一个极点,z=0,，,且是,n,阶极点，改求,c,外极点留数之和,最后将,x(n),表示成,x(n)=(a,-n,-a,n,)u(-n-1),(3),收敛域,|a|z|a,-1,|,这种情况对应的,x(n),是双边序列。根据被积函数,F(z),，按,n0,和,n0,两情况分别,求,x(n),。,n0,时，,c,内极点,z=a,x(n)=,Res,F(z),a,=a,n,n0,时，,c,内极点有二个，其中,z=0,是,n,阶极点，改求,c,外极点留数，,c,外极点只有,z=a,-1,，,因此,x(n)=-,Res,F(z),a,-1,=a,-n,最后将,x(n),表示为,a,n,n,0,x(n)=,x(n,)=a,|n|,a,-n,n3,可知,x(n)-,右边序列,例 已知,X,(,z,),及其收敛域，求,x,(,n,),有二个极点,z=3,和,z=1/3,可见，,X,(,z,),为,z,和,z,-1,的幂级数，各项的系数即为对应的序列值。,一般地，,X,(,z,),为有理分式形式，可通过长除把它展开为幂级数。在展开之前，首先应考察,X,(,z,),的收敛域，判断对应的是左边序列还是右边序列。,如果,x(n),是右序列，级数应是负幂级数；,如果,x(n),是左序列，级数则是正幂级数。,（,2,）幂级数法,(,长除法,),1-az,-1,例,2.5.8,已知,用长除法求其,逆,Z,变换,x(n),。,解：,由收敛域判定这是,一个,右序列,用长除法将其展成负幂级数,降幂排列,例,2.5.9,已知,求 其逆,Z,变换,x(n),。,解：,由收敛域判定，,x(n),是左序列，用长除法将,X(z),展成,z,正幂级数,-az,-1,+1,升幂排列,求,的反变换，,（a）,（b）,例,求,的反变换，,解：,（,a,）,对应右边序列,（,长除,-,负幂级数,）,（b）,对应左边序列,（,长除,-,正幂级数,）,例 已知,X,(,z,),及其收敛域，求,x,(,n,),解：由,ROC:,|z|,可知,x(n),左边序列,升幂,(3),部分分式展开法,对于大多数,单阶极点,的序列，常常用这种部分分式展开,法求逆,Z,变换,。,设,x(n),的,Z,变换,X(z),是有理函数，分母多项式是,N,阶，分子多项式是,M,阶，将,X(z),展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表,(,参考表,2.5.1),求得各部分的逆变换，再相加,即得到原序列,x(n),。,设,X(z),只有,N,个一阶极点，可展成,:,观察上式，,X(z)/z,在,z=0,的极点留数就是系数,A,0,，在,z=,z,m,的极点留数就是系数,A,m,。,(2.5.13),(2.5.14),求出,A,m,系数,(m=0,1,2,N),后，很容易示求得,x(n),序列,例,2.5.10,已知 ，求逆,Z,变换,解,:,因为收敛域为,2|z|2,。,第二部分极点,z=-3,，,收敛域应取,|z|,z,ROC,得右边因果序列：,),(,),(,),(,),(,3,1,2,1,2,1,n,u,n,u,n,x,n,-,=,（,2,）,3,1,1,:,z,ROC,得双边序列：,),(,),(,),1,(,),(,3,1,2,1,2,1,n,u,n,u,n,x,n,-,-,-,-,=,（,3,）,3,1,:,z,ROC,得左边序列：,),1,(,),(,),1,(,),(,3,1,2,1,2,1,-,-,+,-,-,-,=,n,u,n,u,n,x,n,表,2.5.1,常见序列,Z,变换,1,表,2.5.1,常见序列,Z,变换,2,求：,h(n,),2.5.4 Z,变换的性质和定理,Z,变换有许多重要的性质和定理，下面进行介绍。,1.,线性,设,X(z)=ZT,x(n),R,x-,|z|R,x+,Y(z)=ZT,y(n),R,y,-,|z|,R,y,+,m(n)=ax(n)+by(n),则,M(z)=ZT,m(n),=,aX(z)+bY(z,)(,R,m,-,|z|R,x-,R,y+,R,y-,时，则,M(z),不存在。,*,2.,序列的移位,设,X(z)=ZT,x(n),R,x-,|z|R,x+,则,ZT,x(n-n,0,),=,R,x-,|z|R,x+,(2.5.16),3.,乘以指数序列（,Z,域尺度变换）,设,X(z)=ZT,x(n),R,x-,|z|R,x+,y(n)=,a,n,x(n,),a,为常数,则,Y(z)=ZT,a,n,x(n,),=X(a,-1,z)|a|R,x-,|z|a|R,x+,(2.5.17,）,证明,因为,R,x-,|a,-1,z|R,x+,，,得到,|a|R,x-,|z|a|R,x+,。,4.,序列乘以,n,（,Z,域微分性质）,设,则,(2.5.18),证明,5.,复序列的共轭,设,则,证明,(2.5.19),*,6.,初值定理,设,x(n),是因果序列,，,X(z)=ZT,x(n),(2.5.20),证明,:,因此,证明,因为,x(n),是因果序列，,7.,终值定理,若,x(n),是因果序列，其,Z,变换的极点，除可以有一个一阶极点,在,z=1,上，其它极点均,在单位圆内，则,(2.5.21),序列的移位,终值定理也可用,X(z),在,z=1,点的留数求，因为,(2.5.22),因此,如果单位圆上，,X(z),无极点，则,x()=0,。,因为,(z-1)X(z),在单位圆上无极点，上式两端对,z=1,取极限,初值定理,确定因果序列的初始值,x,(,0,),终值定理,确定序列的收敛值,x,(,),注意,:,使用这两个定理是有条件的：,初值定理,是针对因果序列而言的；,终值定理,则只允许,X,(,z,),在,z,=1,处有一个一阶极点（或没有极点），其它的极点都集中在单位圆内。,例题：,已知因果序列,x(n,),的,z,变换,X(z,),，求序列的初值和终值,x,(0)=0,x,(,)=2,8.,序列卷积,则,设,证明,W(z),的收敛域就是,X(z),和,Y(z),的公共收敛域。,线性,移不变系统的分析方法：,z,线性移不变,h,(,n,),H(z,),时域,复频域,z,z,例,2.5.11,已知网络的单位取样响应,h(n)=,a,n,u(n),|,a,|1,，,网络输入序列,x(n)=u(n),，,求网络的输出序列,y(n),。,解：,求,y(n),可用二种方法，一种直接求解线性卷积，另一种,是用,Z,变换法,。,(1),直接求解线性卷积,y(n,)=,h(n,)*,x(n,),由收敛域判定,y(n)=0,n0,。,n0 y(n)=,Res,Y(z)z,n-1,1,+,Res,Y(z)z,n-1,a,将,y(n),表示为,(2)Z,变换法,9.,复卷积定理,如果,ZT,x(n),=X(z),，,R,x-,|z|R,x+,ZT,y(n),=Y(z),R,y-,|z|R,y+,w(n)=x(n)y(n),则,W(z),的收敛域,(2.5.24),式中,v,平面上，被积函数的收敛域为,(2.5.24),(2.5.25),(2.5.26),证明,由,X(z),收敛域和,Y(z),的收敛域，得到,因此,例,2.5.12,已知,x(n)=u(n),y(n)=a,|n|,，,若,w(n,)=x(n)y(n),，求,W(z)=ZT,w(n),解：,W(z),收敛域为,|a|z|,；,被积函数,v,平面上收敛域为,max(|a|,0)|v|min(|a,-1,|,|z|),，,v,平面上极点：,a,、,a,-1,和,z,c,内极点,z=a,。,10.,帕斯维,尔,(,Parseval,),定理,那么,v,平面上，,c,所在的收敛域为,(2.5.28),式还可以表示成下式：,(2.5.28,),令,w(n)=x(n)y*(n),按照,(2.5.24),式，得到,R,x-,R,y-,|z|R,x+,R,y+,，,按照假设，,z=1,在收,敛域中，令,z=1,代入,W(z),中。,利用复卷积定理可以证明重要的帕斯维尔定理,X,证明,如果,x(n),和,y(n),都满足绝对可和，即单位圆上收敛，在上式,中令,v=e,j,，,得到,(2.5.29),令,x(n)=y(n),得到,上面得到的公式和在傅里叶变换中所讲的,帕斯维尔,定理,(2.2.34),式是相同的。,序列,Z,变换,收敛域,线性,移