必修2.3直线与斜率.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.1,直线的倾斜角和斜率,1,一次函数的图象有何特点,?,给定函数,y=2x+1,如何作出它的图像,?,一般地,一次函数,y=,kx+b,的图象是一条直线,它是以满足,y=,kx+b,的每一对,x,、,y,的值为坐标的点构成的,.,复习回顾,2,问题：在直角坐标系中，过点,P,的一条直线,绕点,P,旋转，不管旋转多少周，他对,x,轴的相对位置有几种情形，请画出,来？,3,2,、直线的倾斜角与斜率,在平面直角坐标系中,当直线,l,与,x,轴相交时，取,x,轴作为基准，,x,轴正向与直线,l,向上方向之间所成的角,叫做直线,l,的,倾斜角,.,当直线和,x,轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为,0,0,.,倾斜角不是,90,0,的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的,斜率,，常用,k,来表示,.,4,下列哪些说法是正确的,（）,A,、,任一条直线都有倾斜角，也都有斜率,B,、,直线的倾斜角越大，斜率也越大,C,、,平行于,x,轴的直线的倾斜角是,0,或,D,、,两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等,E,、,两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等,F,、,直线斜率的范围是,R,G,、,过原点的直线，斜率越大，越靠近,y,轴。,E、F,5,练习,l,1,l,2,l,3,6,3,、斜率公式,公式的特点,:,(1),与两点的顺序无关,;,(2),公式表明,直线对于,x,轴的倾斜度,可以通过直线上任意两点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角,;,(3),当,x,1,=x,2,时,公式不适用,此时直线与,x,轴垂直,=90,0,7,例,1,如下图，已知,A(3,，,2),B(-4,，,1),C,（,0,，,-1,）,求,直线,AB,，,BC,，,CA,的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。,例题分析,O,x,y,A,C,B,8,例,2,、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为,1,，,-1,，,2,和,-3,的直线,。,例题分析,O,x,y,A,3,A,1,A,2,A,4,9,新课讲授,1,、直线方程的概念,如果以一个方程的解为坐标的点都上某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条,直线的方程,，这条直线就叫做这个,方程的直线,.,10,下列哪些说法是正确的,（）,A,、,任一条直线都有倾斜角，也都有斜率,B,、,直线的倾斜角越大，斜率也越大,C,、,平行于,x,轴的直线的倾斜角是,0,或,D,、,两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等,E,、,两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等,F,、,直线斜率的范围是,R,练习,11,（,3,）如图，直线,l,1,的倾斜角,1,=30,0,，,直线,l,1,l,2,，求,l,1,、,l,2,的斜率,.,1,2,x,y,练习,12,复习回顾,已知,A,（,0,，,3,），,B,（,-1,，,0,），,C,（,3,，,0,），求,D,点的坐标，使四边形,ABCD,为直角梯形（,A,、,B,、,C,、,D,按逆时针方向排列）。,.,.,.,A,C,B,O,x,y,D,D,13,1,、直线的点斜式方程：,已知直线,l,经过已知点,P,1,（,x,1,，,y,1,），,并且它的斜率是,k,求直线,l,的方程。,O,x,y,l,.,P,1,设点,P,（,x,，,y,）,是直线,l,上,不同于,P,1,的任意一点。,根据经过两点的直线斜率,公式，得,由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。,新课：,P,.,14,小结：,直线上任意一点,P,与这条,直线上,一个定点,P,1,所确定的斜率都相等。,当,P,点与,P,1,重合时，有,x=x,1,，,y=y,1,，,此时满足,y-y,1,=k,（,x,-x,1,），,所以直线,l,上所有点的坐标都满足,y-y,1,=k,（,x-x,1,），,而不在直线,l,上的点，显然不满足（,y-y,1,）,/,（,x-x,1,）,=k,即,不满足,y-y,1,=k,（,x-x,1,），,因此,y-y,1,=k,（,x-x,1,）,是直线,l,的方程。,如果直线,l,过,P,1,且平行于,Y,轴，此时它的,倾斜角是,90,0,，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜,式表示，但这时直线上任一点的横坐标,x,都等于,P,1,的横坐,标所以方程为,x=x,1,如直线,l,过,P,1,且平行于,x,轴，则它的斜率,k=0,，,由点斜式,知方程为,y=y,0,;,P,为直线上的任意一点，它的,位置与方程无关,O,x,y,P,1,P,15,应用：,例,1,：一条直线经过点,P,1,（,-2,，,3,），,倾斜角,=45,0,，求,这,条直线的方程，并画出图形。,解：这条直线经过点,P,1,（,-2,，,3,），,斜率是,k=tan45,0,=1,代入点斜式得,y,3 =x +2,，,即,x,y+5=0,O,x,y,-5,5,P,1,例,2,：一条直线经过点,A,（,0,，,5,），,倾斜角为,0,0,，,求这直线方程,解：这条直线经过点,A,（,0,，,5,）,斜率是,k=tan0,0,=0,代入点斜式，得,y -5 =0,O,x,y,5,16,直线的斜截式方程：,已知直线,l,的斜率是,k,，与,y,轴的交点是,P,（,0,，,b,），,求,直线方程。,代入点斜式,方程，得,l,的直线方程：,y -b =k,（,x -0,）,即,y =k x +b,。,(2),17,例,3,：斜率是,5,，在,y,轴上的截距是,4,的直线方程。,解：由已知得,k=5,，,b=4,，,代入斜截式方程,y=5x +4,即,5 x -y +4 =0,4,18,例,5,：求过点（,1,，,2,）且与两坐标轴组成一等腰直角,三角形的直线方程。,解：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ,k=1,直线过点（,1,，,2,）代入点斜式方程得,y-2 =x -1,或,y,（,）,即,0,或,0,例,6,：已知直线,l,过,A,（,3,，,-5,）和,B,（,-2,，,5,），,求直,线,l,的方程,解：直线,l,过点,A,（,3,，,-5,）和,B,（,-2,，,5,）,将,A,（,3,，,-5,），,k=-2,代入点斜式，得,y,(,5)=,2 (x,3),即,2x +y,1 =0,19,巩固：,经过点（,-,，,2,）倾斜角是,30,0,的直线的方程是,（,A,）,y,=,（,x,2,）（,B,）,y+2=,（,x,）,（,C,）,y,2=,（,x,）（,D,）,y,2=,（,x,）,已知直线方程,y,3=,（,x,4,），,则这条直线经过的已知,点，倾斜角分别是,（,A,）（,4,，,3,）；,/3,（,B,）（,3,，,4,）；,/6,（,C,）（,4,，,3,）；,/6,（,D,）（,4,，,3,）；,/3,直线方程可表示成点斜式方程的条件是,（,A,）,直线的斜率存在 （,B,）,直线的斜率不存在,（,C,）,直线不过原点 （,D,）,不同于上述答案,20,总结：,直线的点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时才可以应,用。,直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。,21,3.,2.2,直线的两点式方程,22,课前,提问：,若直线,l,经过点,P,1,（,1,，,2,），,P,2,（,3,，,5,），,求直线,l,的方程,.,直线方程的,两点式,已知直线上两点,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),（,其中,x,1,x,2,y,1,y,2,），,如何求出通过这两点的直线方程呢？,思考：,经过直线上两点,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),（,其中,x,1,x,2,y,1,y,2,）,的直线方程叫做直线的,两点式方程,，简称,两点式,。,23,说明,(1),这个方程由直线上两点确定,;,(2),当直线没有斜率或斜率为,0,时,不能用,两点式求出它们的方程,.(,此时方程如何得到,?),24,例题分析,例,1,、已知直线,l,与,x,轴的交点为,A(a,0),与,y,轴的交点为,B(0,b),其中,a0,b0,求这条直线,l,的方程,.,说明,:,（,1,）直线与,x,轴的交点,(a,0),的横坐标,a,叫做直线在,x,轴的截距，此时直线在,y,轴的截距是,b;,x,l,B,A,O,y,(3),截距式适用于横、纵截距都存在且都不为,0,的直线,.,(2),这个方程由直线在,x,轴和,y,轴的截距确定,所以叫做直线方程的,截距式方程,;,25,例,2,、三角形的顶点是,A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),，,求,BC,边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程,.,x,y,O,C,B,A,.,.,.,.,M,26,补充练习,27,已知两点,A(-3,4),B(3,2),过点,P(2,-1),的直线,l,与线段,AB,有公共点,.,(1),求直线,l,的斜率,k,的取值范围,(,2),求直线,l,的倾斜角,的取值范围,补充练习,28,3.,2.3,直线的一般式方程,29,温故知新,复习回顾,直线方程有几种形式？指明它们的条件及应用范围,.,点斜式,yy,1,=k（xx,1,）,斜截式,y=,kx,+b,两点式,截距式,什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系,?,30,例题分析,直线的,一般式方程,:,Ax+By+C=0,（,A,，,B,不同时为,0,）,注意,对于直线方程的一般式，一般作如下约定：,x,的系数为正，,x,y,的系数及常数项一般不出现分数，一般按含,x,项，含,y,项、常数项顺序排列,.,例,1,、已知直线经过点,A,（,6,，,-4,），,斜率为 ，,求直线的点斜式和一般式方程,.,31,例,2,、把直线,l,的方程,x,2y+6=0,化成斜截式，求出,直线,l,的斜率和它在,x,轴与,y,轴上的截距，并画图,.,例题分析,x,y,O,B,A,.,.,32,例,3,、设直线,l,的方程为,（,m,2,-2m-3,）,x+,（,2m,2,+m-1,）,y=2m-6,，,根据下列,条件确定,m,的值：,（,1,）,l,在,X,轴上的截距是,-3,；,（,2,）斜率是,-1.,33,例,4,、利用直线方程的一般式，求过点,(0,3),并且,与坐标轴围成三角形面积是,6,的直线方程,.,练习：,1,、直线,Ax+By+C=0,通过第一、二、三象限，则（）,(A)AB0,AC0 (B)AB0,AC0,(C)AB0 (D)AB0,AC0,例题分析,34,2,、设,A,、,B,是,x,轴上的两点，点,P,的横坐标为,2,，且,PA=PB,，,若直线,PA,的方程为,x-y+1=0,，,则直线,PB,的方程是,(),A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0,C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0,35,3.3.1,两条直线的交点坐标,36,(,一）新,课,引入：,二元一次方程组的解有三种不同情况（唯一解，无解,无穷多解），同时在直角坐标系中两条直线的位置关系也有三种情况（相交，平行，重合），下面我们通过二元一次方程组解的情况来讨论直角坐标系中两直线的位置关系。,37,（二）讲解新课：,两条,直线的交点：,如果两条直线,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,和,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定,是它们的方程组成的方程组,的解；反之，如果方程组,只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,和,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,的交点。,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,38,例,1,：求下列两条直线的交点：,l,1,：,3x+4y,2=0,；,l,2,：,2x+y+2=0.,例,2,：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程,:,l,1,：,x,2y+2=0,，,l,2,：,2x,y,2=0.,解：解方程组,3x+4y2=0,2x+y+2=0,l,1,与,l,2,的交点是,M,（,-2,，,2,）,解：解方程组,x2y+2=0,2xy2=0,l,1,与,l,2,的交点是（,2,，,2,）,设,经过原点的直线方程为,y=k x,把（,2,，,2,）代入方程，得,k=1,，,所求方程为,y=x,x=2,y=2,得,x=2,y=2,得,39,例,3,：求直线,3x+2y,1=0,和,2x,3y,5=0,的交点,M,的坐标，并证明方程,3x+2y,1+,（,2x,3y,5,）,=0,（,为任意常数）表示过,M,点的,所有直线（不包括直线,2x,3y,5=0,）。,证明：联立方程,3x+2y1=0,2x3y5=0,o,x,y,(1,-1),M,解,得：,x=1,y=-1,代,入：,x+2y,1+,（,2x,3y,5,）,=0,得,0+0=0,M,点在直线上,A,1,x+B,1,y+C,1,+,（,A,2,x+B,2,y+C,2,）,=0,是,过直,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,和,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,的交点的直线系方程。,M（1，-1）,即,40,利用二元一次方程组的解讨论平面上两条直线的位置关系,已知方程组,A,1,x+B,1,y+C,1,=0 （1）,A,2,x+B,2,y+C,2,=0 （2）,当,A,1,，,A,2,，,B,1,，,B,2,全不为零时,（,1,）,B,2,（,2,）,B,1,得（,A,1,B,2,A,2,B,1,）,x=B,1,C,2,B,2,C,1,讨论：当,A,1,B,2,A,2,B,1,0,时，方程组有唯一解,x=,B,1,C,2,B,2,C,1,A,1,B,2,A,2,B,1,y=,A,1,B,2,A,2,B,1,C,1,A,2,C,2,A,1,当,A,1,B,2,A,2,B,1,=0,，,B,1,C,2,B,2,C,1,0,时，方程组无解,当,A,1,B,2,A,2,B,1,=0,，,B,1,C,2,B,2,C,1,0,时，方程组有无,穷多解。,41,上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的,什么位置关系？,当,时，两条直线相交，交点坐标为,A,1,A,2,B,1,B,2,当,=,时，两直线平行；,A,1,B,1,C,1,A,2,B,2,C,2,当,=,时，两条直线重合。,A,1,B,1,C,1,A,2,B,2,C,2,A,1,B,2,A,2,B,1,（,）,B,1,C,2,B,2,C,1,A,1,B,2,A,2,B,1,C,1,A,2,C,2,A,1,42,例,4,、判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标：,（,1,）,l,1,:x-y=0,l,2,:3x+3y-10=0;,（,2,）,l,1,:3x-y+4=0,l,2,:6x-2y=0;,（,3,）,l,1,:3x+4y-5=0,l,2,:6x+8y-10=0;,43,例,5,：求经过两条直线,x+2y,1=0,和,2x,y,7=0,的交点，,且垂直于直线,x+3y,5=0,的直线方程。,解法一：解方程组,x+2y1=0，,2xy7=0,得,x=3,y=1,这两条,直线的交点坐标为（,3,，,-1,）,又直线,x+2y,5=0,的斜率是,1/3,所求,直线的斜率是,3,所求,直线方程为,y+1=3,（,x,3,）,即,3x,y,10=0,解法二：所求直线在直线系,2x,y,7+,（,x+2y,1,）,=0,中,经,整理，可得（,2+,）,x+,（,2,1,）,y,7=0,=3,2+,21,解,得,=1/7,因此，所求直线方程为,3x,y,10=0,44,巩固：,两条,直线,x+my+12=0,和,2x+3y+m=0,的交点在,y,轴上，则,m,的值是,（,A,）,0,（,B,）,24,（,C,）,6,（,D,）,以上都不对,若直线,kx,y+1=0,和,x,ky,=0,相交，且交点在第二象限，,则,k,的取值范围是,（,A,）（,-1,，,0,）（,B,）（,0,，,1,（,C,）（,0,，,1,）（,D,）（,1,，）,若两直线（,3,a,）,x+4y=4+3a,与,2x+,（,5,a,）,y=7,平行，,则,a,的值是,（,A,）,1,或,7,（,B,）,7,（,C,）,1,（,D,）,以上都错,45,直线,A,1,x+B,1,y+C,1,=0,与直线,A,2,x+B,2,y+C,2,=0,重合，则必有,（,A,）,A,1,=A,2,，,B,1,=B,2,，,C,1,=C,2,（,B,）,（,C,）,两条直线的斜率相等截距也相等,（,D,）,A,1,=mA,2,，,B,1,=mB,2,，,C,1,=mC,2,，（,mR,，且,m0,）,46,例,1,、,求经过原点及两条直线,L,1,:x-2y+2=0,L,2,:2x-y-2=0,的交点的直线的方程,.,例题,47,例题,例,2,当 为何值时，直线,过直线 与 的交点,?,k,3,+,=,kx,y,5,+,=,x,y,0,1,2,=,+,-,y,x,48,例,4,、,两条直线,y=kx+2k+1,和,x+2y-4=0,的交点,在第四象限，则的取值范围是,例题,49,平行,重合,相交,无解,无穷多解,唯一解,解方程组,直线,2,1,2,1,2,1,2,1,l,l,l,l,l,l,l,l,知识梳理,问题,1,：方程组解的情况与方程组所表示的两条,直线的位置关系有何对应关系？,50,3.3.1,两直线的交点坐标,51,思考?,52,问题,1,：方程组解的情况与方程组所表示的两条,直线的位置关系有何对应关系？,53,问题,2,：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？,54,例,2,、判定下列各对直线的位置关系，若相交，,则求交点的坐标,例题分析,55,已知两直线,l,1,:x+my+6=0,l,2,:(m-2)x+3y+2m=0,，,问当,m,为何值时，直线,l,1,与,l,2,：,(1),相交，,(2),平行，,(3),垂直,练习,56,练习：求经过原点及两条直线,l,1,:3x+4y-2=0,l,2,:2x+y+2=0,的交点的直线的方程,.,探究:,57,3.3.2,两点间的距离,58,思考：,已知平面上两点,P,1,（,x,1,y,1,),，,P,2,（,x,2,y,2,),如何求,P,1,P,2,的距离,P,1,P,2,？,x,P,1,P,2,O,y,Q,M,1,N,1,M,2,N,2,在直角,P,1,QP,2,中，,59,特别地，原点,O,（,0,，,0,）,与任意一点,P(x,y),的距离为,例,1,、已知点,A,（,-1,，,2,），,B,（,2,，），在,x,轴上求一点,P,，,使 ，并求 的值。,60,例,2,、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。,C(a+b,c),D(b,c),B(a,0),A(0,0),y,x,建立坐标系，用坐标表示有关的量。,把代数运算结果“翻译”成几何关系。,进行有关的代数运算。,61,3.3.3,点到直线的距离,62,Q,P,y,x,o,l,思考,：已知点,P,0,(x,0,y,0,),和直线,l:Ax+By+C=0,怎样求,点,P,到直线,l,的距离,呢,?,点到直线的距离,如图，,P,到直线,l,的距离，就是指从点,P,到直线,l,的,垂线段,PQ,的长度，其中,Q,是垂足,.,63,当,A=0,或,B=0,时,直线方程为,y=y,1,或,x=x,1,的形式,.,Q,Q,x,y,o,x=x,1,P(x,0,y,0,),y,o,y=y,1,(x,0,y,0,),x,P,(x,0,y,1,),(x,1,y,0,),64,点,P(-1,2),到直线,3x=2,的距离是,_.,(2),点,P(-1,2),到直线,3y=2,的距离是,_.,练习,1,65,下面设,A0,B 0,我们进一步探求点到直线的距离公式,:,思路一,利用两点间距离公式,:,P,y,x,o,l,Q,66,Q,x,y,P(x,0,y,0,),O,L:Ax+By+C=0,思路二,构造直角三角形求其高,.,R,S,67,练习,2,3,、求点,P,0,（,-1,，,2,）,到直线,2x+y-10=0,的距离,.,1,、求点,A,（,-2,，,3,）,到直线,3x+4y+3=0,的距离,.,2,.,求,点,B,（,-5,，,7,）,到直线,12x+5y+3=0,的距离,.,P,0,(x,0,y,0,),到直线,l:Ax+By+C=0,的距离：,点到直线的距离：,68,例题分析,例,6:,已知点,A(1,3),B(3,1),C(-1,0),，,求的 面积,x,y,O,A,B,C,h,69,y,x,o,l,2,l,1,两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的,公垂线段,的长,.,两条,平行直线间的距离：,例,7,、求证：两条平行线,l,1,:Ax+By+C,1,=0,与,l,2,:Ax+By+C,2,=0,的距离是,Q,P,70,1.,平行线,2x-7y+8=0,和,2x-7y-6=0,的距离是,_;,2.,两平行线,3x-2y-1=0,和,6x-4y+2=0,的距离是,_.,练习,3,71,练习,4,1,、点,A(a,6),到直线,x+y+1=0,的距离为,4,，求,a,的值,.,2,、求过点,A,（,1,2,），,且与原点的距离等于,的直线方程,.,72,2.,两条平行线,Ax+By+C,1,=0,与,Ax+By+C,2,=0,的距离是,1.,平面内一点,P(x,0,y,0,),到直线,Ax+By+C=0,的距离公式是,当,A=0,或,B=0,时,公式仍然成立,.,小结,73,练习,4,1.,点,A(a,6),到直线,x+y+1=0,的距离为,4,，求,a,的值,.,2,.,求过点,A,（,1,2,），,且与原点的距离等于,的直线方程,.,74,3.3.4,两,点间的,距离,75,已知平面上两点,P,1,(x,1,y,1,),，,P,2,(x,2,y,2,),，,如何求,P,1,P,2,的距离,|P,1,P,2,|,呢,?,两点间的距离,(1),x,1,x,2,y,1,=y,2,(2),x,1,=,x,2,y,1,y,2,(3),x,1,x,2,y,1,y,2,76,已知平面上两点,P,1,(x,1,y,1,),，,P,2,(x,2,y,2,),，,如何求,P,1,P,2,的距离,|P,1,P,2,|,呢,?,两点间的距离,Q,(x,2,y,1,),y,x,o,P,1,P,2,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),(3),x,1,x,2,y,1,y,2,77,练习,1,、求下列两点间的距离：,(1),、,A(6,，,0),B(-2,，,0)(2),、,C(0,，,-4),D(0,，,-1),(3),、,P(6,，,0),Q(0,，,-2)(4),、,M(2,，,1),N(5,，,-1),78,例题分析,79,2,、求在,x,轴上与点,A(5,12),的距离为,13,的坐标；,练习,3,、已知点,P,的横坐标是,7,，点,P,与点,N(-1,5),间的距离等于,10,，求点,P,的纵坐标。,80,例题分析,例,4,、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。,y,x,o,(b,c),(,a+b,c,),(a,0),(0,0),A,B,D,C,81,用坐标法证明简单的平面几何问题的步骤：,第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量；,第二步：进行有关的代数运算；,第三步：把代数运算结果,“,翻译,”,所几何关系,.,82,练习,4,、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。,y,x,o,B,C,A,M,(0,0),(a,0),(0,b),83,平面内两点,P,1,(x,1,y,1,),P,2,(x,2,y,2,),的距离公式是,小结,84,