概率论第二章第一节.ppt

单击此处编辑母版标题样式,第二章 一维随机变量及其分布,一、随机变量及其分布,二、离散型随机变量的分布函数,三、离散型随机变量的概率函数,四、连续型随机变量及其概率密度,五、随机变量的函数的分布,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的,，,为了更方便有力的研究随机现象,，,就要用数学分析的方法来研究,，,因此为了便于数学上的推导和计算,，,就需将任意的随机事件数量化,当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时,，,就建立起了随机变量的概念,二、随机变量的分布函数,一、随机变量的概念,三、小结,第一节 随机变量及其分布,实例,1,在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色,.,=,红色、白色,白色,一、随机变量的概念,这样便将非数量的,=,红色，白色,数量化了,.,红色,白色,实例,2,某公共汽车站每隔,5,分钟有一辆汽车通过,如果某人到达该车站的时刻是随机的,则,是一个随机变量,.,且,X,(,w,),的所有可,能取值为,:,定义,设,E,是一随机试验，,是它的样本空间，,则称,上的单值实值函数,X,(,),为随机变量,随机变量一般用,X,Y,Z,或小写希腊字母,表示,若,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因此随机变量的取值也有一定的概率规律,.,(2),随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数,但它与普通的函数有着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的,(,样本空间的元素不一定是实数,).,2.,说明,(1),随机变量与普通的函数不同,(3),随机事件可以用随机变量表示,实例,1,掷一个硬币,观察出现的面,共有两个,结果,:,即,X,(,w,),是一个随机变量,.,事件 和 就可分别用 和,表示,实例,2,抛掷骰子,观察出现的点数,.,=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是实数,恒等,变换,则有,就可以用 表示，并且,随机变量的分类,(1),离散型,随机变量所取的可能值是有限多个或,无限可列个,叫做离散型随机变量,.,(2),连续型,随机变量所取的可能值可以连续地充,满某个区间,叫做连续型随机变量,.,说明,离散型随机变量的分布律,定义,离散型随机变量的分布律也可表示为,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量,X,只可能取,0,与,1,两个值,它的分布律为,则称,X,服从,(01),分布,或,两点分布,.,1.,两点分布,实例,1,“,抛硬币”试验,观察正、反两面情况,.,随机变量,X,服从,(01),分布,.,其分布律为,实例,2,200,件产品中,有,190,件合格品,10,件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,取得不合格品,取得合格品,.,则随机变量,X,服从,(0 1),分布,.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布,.,说明,两点分布随机数,演示,2.,离散型均匀,分布（等可能分布）,如果随机变量,X,的分布律为,实例,抛掷骰子并记出现的点数为随机变量,X,则有,均匀分布随机数,演示,n,重,伯努利试验,伯努利资料,3.,二项分布,称这样的分布为,二项分布,.,记为,二项分布,两点,分布,二项分布的图形,二项分布随机数,演示,例如,在相同条件下相互独立地进行,5,次射击,每次射击时击中目标的概率为,0.6,则击中目标的次数,X,服从,b,(5,0.6),的二项分布,.,二项分布随机数,演示,解,因此,例,3,例,3,告诉我们：一个事件尽管在一次实验中发生的概率很小，但在大量的独立重复试验中这个事件几乎是一定发生的，也就是说：小概率事件在大量独立重复试验中是不可忽视的。,4.,泊松分布,泊松资料,泊松分布的图形,泊松分布随机数,演示,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察,与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他,们做了,2608,次观察,(,每次时间为,7.5,秒,),发现放射,性物质在规定的一段时间内,其放射的粒子数,X,服从泊松分布,.,在生物学,、,医学,、,工业统计、保险科学及,公用事业的排队等问题中,泊松分布是常见的,.,例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电,话呼唤次数等,都服从泊松分布,.,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客数,地震,火山爆发,特大洪水,上面我们提到,单击图形播放,/,暂停,ESC,键退出,二项,分布,泊松分布,例,4,为了保证设备正常工作,需配备适量的维修,工人,(,工人配备多了就浪费,配备少了又要影响生,产,),现有同类型设备,300,台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是,0.01.,在通常情况下一台设备,的故障可由一个人来处理,(,我们也只考虑这种情况,),问至少需配备多少工人,才能保证设备发生故障,但不能及时维修的概率小于,0.01?,解,所需解决的问题,使得,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于,0.01.,故至少需配备,8,例,5,设有,90,台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是,0.01,且一台设备的故障能由一个人处理,.,考虑两种配备维修工人的方法,其一是由三人维护,每人负责,30,台,;,其二是由,3,人共同维护台,90.,试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小,.,解,按第一种方法,设 为第,i,人负责的台设备发生故障而不能及时,维修事件,.,表示第,i,个人负责的,30,台设备中,同时发生故障的设备台数,按第二种方法,故,90,台中发生故障而不能及时维修的概率为,5.,几何分布,若随机变量,X,的分布律为,则称,X,服从,几何分布,.,实例,设某批产品的次品率为,p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止,(,在此之前抽到的全是正品,),那么所抽到的产品数,X,是一个随机变量,求,X,的分布律,.,几何分布随机数,演示,所以,X,服从几何分布,.,说明,几何分布可作为描述某个试验“,首次成功,”,的概率模型,.,解,(6),超几何分布,设有产品 件，其中正品 件，次品 件（）,，从中随机地不放回抽取 件，记,X,为抽到的 正品件数，求,X,的分布律,.,此时抽到 件正品的概率为,k,=0,，,1,，,，,称,X,服从,超几何分布,.,记,可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应,用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似,(7),负二项分布（,Pascal,分布,),(,自学,),(8),截塔（,Zipf,）,分布,(,自学,),定义了一个,x,的实值函数，称为随机变量,X,的,分布函数,，记为,F,(,x,),即,定义,设,X,为随机变量,对每个实数,x,随机事件,的概率,2.,分布函数的定义,说明,(1),分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况,.,（,3,）,分布函数完整地描述了随机变量的统计规律,性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概,率分布情况,.,证明,二、分布函数的性质,证明,即任一分布函数处处,右连续,.,所以,重要公式,证明,F,(,x,),是分段阶梯函数，在,X,的可能取值,x,k,处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点,.,二、离散型随机变量的分布函数,解,例,3,离散型随机变量的分布,两点分布,均匀分布,二项分布,泊松分布,几何分布,二项分布,泊松分布,两点分布,三、小结,Jacob Bernoulli,Born:,27 Dec 1654 in Basel,Switzerland,Died:,16 Aug 1705 in Basel,Switzerland,伯努利资料,泊松资料,Born:,21 June 1781 in,Pithiviers,France,Died:,25 April 1840 in,Sceaux,(near Paris),France,Simon,Poisson,定义了一个,x,的实值函数，称为随机变量,X,的,分布函数,，记为,F,(,x,),即,定义,设,X,为随机变量,对每个实数,x,随机事件,的概率,2.,分布函数的定义,说明,(1),分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况,.,（,3,）,分布函数完整地描述了随机变量的统计规律,性，或者说，分布函数完整地表示了随机变量的概,率分布情况,.,证明,二、分布函数的性质,证明,即任一分布函数处处,右连续,.,所以,重要公式,证明,F,(,x,),是分段阶梯函数，在,X,的可能取值,x,k,处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点,.,二、离散型随机变量的分布函数,解,例,3,