第二章极限.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,极 限,2.1,数列极限,2.2,收敛数列,2.3,函数极限,2.4,函数极限的定理,2.5,无穷大与无穷小,2.1,数列极限,在数学分析里除函数概念之外，另一个重要的基本概念就是极限概念。实际上，我们研究物质运动，仅仅知道有关的函数在变化过程中单个单个的取值如何，往往是很不够的。我们还需要弄清楚，函数变化的总体趋势及终极情况，以及是否隐含着某种“相对稳定”的性质等等。这类问题只有借助极限概念才能作出比较满意的描述和解答。,一、概念的引入,引例,1,如何用渐近的方法求圆的面积,S,？,用圆内接正多边形的面积近似圆的面积,S,.,A,1,A,2,A,3,A,1,表示圆内接正,6,边形面积,A,2,表示圆内接正,12,边形面积,A,3,表示圆内接正,24,边形面积,A,n,表示圆内接正,6,2,n,-1,边形面积,显然,n,越大,A,n,越接近于,S,.,因此,需要考虑当,n,时,A,n,的变化趋势,.,二、数列的定义,1.,定义：,数列是按次序排列的一列无穷多个数,L,L,2,1,n,x,x,x,数列是定义在自然数集,N,上的函数。即以,N,为定义域由小到大取值所对应的一列函数值,。,自变量：,函数值,:1,2 ,x,2006,x,n,n,x,，,表示为数列,为第,n,项或通项。,注意：,1.,数列对应着数轴上一个点列,.,可看作一动点在数轴上依次取,2.,数列是整标函数,例如：,数列极限来自实践，它有丰富的实际背景,.,我们的祖 先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念,例,1,战国时代哲学家庄周所著的,庄子,.,天下篇,引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根一尺 长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一列,如图所示,三、数列的极限,第一天截下,第二天截下,第,n,天截下,其长度组成的数列为,其随着,n,无限的增加,木棒的长度无限的趋近于零,x,y,o,1,2,.,.,.,1,.,.,.,.,.,2,3,n,问题,:,当,无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值,?,如果是,如何确定,?,问题,:,“无限接近”意味着什么,?,如何用数学语言刻划它,.,通过上面演示实验的观察,:,如果数列没有极限,就说数列是发散的,.,注意：,几何解释,:,其中,满足此不等式的,n,是正整数集,N,+,的无限子集,（从某个正整数以后的所有正整数），,不是唯一的，只需在此无限子集中任意取一个正整数作为,N,即可,.,使 时，,证明极限,只须证明,有,“,”,是证题者给出的，给出,之后，要找,有不等式成立,因此找,是证明数列极限问题的关键，,怎样找,应从解关于,n,的不等式,找,注意,1,：,数列极限的定义未给出求极限的方法,.,例1,证,所以,注意,2,：,例2,证,所以,说明,:,常数列的极限等于同一常数,.,小结,:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定,寻找,N,但不必要求最小的,N,.,例3,证,例4,证,1,、唯一性,定理,1,(,唯一性,),每个收敛的数列只有一个极限,.,证,由定义,故收敛数列极限唯一,.,2.2,收敛数列,一、收敛数列的性质,2,、,有界性,例如,有界,无界,定理,2(,有界性,),收敛的数列必定有界,.,证,由定义,注意：,有界性是数列收敛的必要条件,.,推论 无界数列必定发散,.,例,1,证,由定义,区间长度为,1.,不可能同时位于,长度为,1,的,区间内,.,3,、保序性,定理,3(,保序性,),若,与,且,则,有,推论,1,若,与,且,则,推论,2,若,且,则,二、收敛数列的四则运算,定,理,4,定,理,5,定,理,6,例,3.,求,例,4.,求,例,2.,证,三、数列的收敛判别法,1.,夹逼准则,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则,以后,可以推广到函数的极限,例,5,解,由夹逼定理得,2.,单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释,:,例,6,证,(,舍去,),例,7,证明数列,收,敛,证明,则,类似地,例,8,证明,:,若,则数列 发散,.,证法：由柯西收敛准则的否定叙述,.,证明,：,有,根据柯西收敛准则的否定叙述，数列,发散,.,(m,项,),四、子数列,注意：,例如，,定理,1,收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,定理,2,数列 收敛 奇子列 与偶子,列 都收敛，且它们的极限相等,.,证,明,证毕,定理,1,证明,x,x,y,y,o,o,1,1,1,1,.,.,.,.,.,2.3,函数极限,一、当 时函数 的极限,通过上面的观察,:,问题,:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”,.,1,、定义：,定义,2,、比较,：,3,、另两种情形,:,x,y,o,A,b,4,、几何解释,:,分析,例,1,证明,二、例：,例,2,证明,证,故,不妨设,|,x,|,1,，,而当,|,x,|,1,时,三、,当 时函数 的极限,先看一个例子,这个函数虽在,x,=1,处无定义，但从它的图形上可见，当点从,1,的左侧或右侧无限地接近于,1,时，,f,(,x,),的值无限地接近于,4,，我们称常数,4,为,f,(,x,),当,x,1,时,f,(,x,),的极限。,1,x,y,o,4,1,、定义,定义：,设 在点 的附近,(,可能除去 点本身,),有定义 是常数。若对 当,时，有 则称,是,在,点的极限，记为,:,或,左极限,:,右极限,:,2,、左右极限,3,、几何解释,:,注意：,函数极限的演示,d,d,目的,：,对任意的,要找,使得,时，有,即,d,d,这样的,d,也能用,看来有一个,d,符合要求,就会有无穷多个,d,符合要求,!,4,、小结,函数极限的统一定义,(,见下表,),过 程,时 刻,从此时刻以后,过 程,时 刻,从此时刻以后,例,3,证明,因为,e,0,d,0,当,0,|,x,-,x,0,|,d,时,都有,|,f,(,x,),-,b,|,|,c,-,c,|,0,e,分析,:,|,f,(,x,),-,b,|,|,c,-,c,|,0,.,e,0,d,0,当,0,|,x,-,x,0,|,d,时,都有,|,f,(,x,),-,A,|,e,.,四、例,分析,|,f,(,x,),b,|,|,x,x,0,|,e,当,0,|,x,x,0,|,d,时,有,d,e,因为,e,0,证明,只要,|,x,x,0,|,e,.,要使,|,f,(,x,),b,|,e,e,0,例,4,|,f,(,x,),b,|,|,x,x,0,|,分析,|,f,(,x,),b,|,|(2,x,1),1|,2|,x,1|,例,5,因为,0,证明,|,f,(,x,),b,|,|(2,x,1),1|,2|,x,1|,e,e,0,当,0,|,x,1|,时,有,/2,只要,|,x,1|,e,/2,要使,|,f,(,x,),b,|0,=,e,当,0,|,x,1|,d,时,有,例,6,e,0,只要,|,x,1|,e,要使,|,f,(,x,),b,|,e,例,7,证,例,8,证明,证,不妨设,注,在利用定义来验证函数极限时,也可考虑对,|,f,(,x,),A|,进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在 的附近考察问题的,.,左右极限存在但不相等,例,9,证,在前面一节中我们引进的六种类型的函数,极限，它们都有类似于数列极限的一些性质，这里仅以 为代表叙述,并证明这些性质，至于其它类型的性,质与证明，只要相应作一些修改即可,.,2.4,函数极限的定理,一、函数极限的性质,定理,1,(,惟,一性,),1,、的基本性质,若函数 在 存在极限,则它,的极限是唯一的,.,证,不妨设 以及,.,由极限的定义，对于任意的正数,存在正数,由,的任意性，推得,b,=,c.,这就证明了极限是惟,一的,.,令,当 时,(1),与,(2),式,均成立,所以,定理,2,（局部有界性）,由此得,证明,:,对,存在 ，当 时,若,则存在,，在 上有界,.,这就证明了 在,某个空心邻域,上有界,.,这就证明了 在,某个空心邻域,上有界,.,注：,试与数列极限的有界性定理（定理,2,）,作一,(2),有界函数不一定存在极限；,说明定理中“局部”这两个字是关键性的,.,比较；,定理,3.(,保序性,),若 与 且,则,有,.,证明：,已知 与,则 使得,有,即,推论,1,若 与,且 有,(,或,),则,(,或,).,推论,2,若,且,(,或,),则有,(,或,).,在,点,x,0,的极限也,存在,且,都存在,则,在点,x,0,的极限也存在,定理,4,（四则运算法则）,若,并有,此定理的证明类似于数列极限中的相应定,理,这,里将证明留给读者,.,在下一节学过归结原,则之后,就可以知道这些定理是显然的,.,推论,1,常数因子可以提到极限记号外面,.,推论,2,注,1:,定理的条件：,存在,商,的情形还须加上分母的极限不为,0,注,2:,定理简言之即是：,和、差、积、商的极限,等于极限的和、差、积、商,注,3:,定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对,任何一个过程都成立,定理,5,(,复合函数极限,),设有复合函数 若,1)2)3),则,证,由,极限定义得,此定理表明：,则可作,代换,极限过程的转化,注,1,可得类似的定理,注,2,定理中的限制条件,不能少,例如,令,例,1,解,2,、例,小结,:,例,2,解,(,消去零因子法,),例,3,解,(,无穷小因子分出法,),例,4,求,利用公式,求,A,和,B.,例,5,已知,例,6,解,二、函数极限与数列极限的关系,定理,6,(,海涅归结原理,),对任意数列 且 有,证,(,必要性,),设,则对,任给,设 那么对上述 存在,所以,这就证明了,(,充分性,),（,下面的证法很有典型性，大家必须学,恒有,时,不以,b,为极限,则存在正数,设,任给,会这种方法,.,）,现分别取,存在相应的,使得,对于任意正数,使得,另一方面,所以,这与,矛盾,.,注,归结原理重要应用：,推论,2:,若,但,不,存在,.,推论,1:,：若,且 而 不存在极限，则 在点 处也不存在极限,.,例,7,都,不存在,.,解,故,不存在,.,故,不存在,.,密集的等幅振荡,当然不会趋于一个固定的值,.,为,了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原,则,我,们写出,时的归结原则如下：,-1,-0.5,0.5,1,1,-1,的,图象在,x,=,0,附近作无比,从几何上看，,义,则,定理,的某,空心右邻域,有定,作为一个例题,下面给出定理 的另一种形式,.,义.,的,充要条件是任给严格递减,的,例,8,的某,空心右邻域,上有定,设,设,证,必要性应该是显然的,.,下面我们证明充分性,.,f,(,x,),不以,b,为极限,.,则存在正数,这样就得到一列严格递减的数列,这与条件矛盾,.,三、函数极限存在判别法,定理,7,(,两边夹定理,),若,，有,则：,.,证法：应用海涅极限定理和数列极限的两边夹定理,.,定理,8,若,有,且 则,证,所以,不等式中的三个表达式均是偶函数,故当,例,9:,证明,：,解,所以,即,例,10,求,例,11,解,例,12,解,证,我们只需证明：,例,13,:,证明,：,例,14,解,一般地,解一,解二,例,15,求,例,6,求极限,解：,例,16,求极限,解：,例,17,求,解：,例,18,求,.,定理,9,(,柯西收敛准则,):,极限 存在,证（必要性）,则对于任意,(,充分性,),这样就证明了,:,存在且相等,.,由归结原则,存在,.,注,由柯西准则可知,不存在的充要条件,但是,例如,存在,这样就证明了对于任意的,存在且相等,.,由归结原则,存在,.,但是,注,由柯西准则可知,不存在的充要条件,2.5,无穷小量与无穷大量,本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍无穷小。,一、无穷小,在实际应用中，经常会遇到极限为,0,的变量。,对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义,定义,若,则称函数,是无穷小,.,无穷小有以下几个性质：,性质,1,若函数 都是无穷小，则函数 也是无穷小,.,性质,2,若函数 是无穷小,函数,在 的某去心邻域 有界，则,是无穷小,.,特别是，,若函数 都是无穷小，则函数 也是无穷小,.,性质,3,极限 其中 是无穷小,.,证明,:,性质,3,指出,:,任何形的函数极限总可将这个函数表为它的极限与无穷小的和，反之亦然,.,通常在论证问题时，要去掉极限符号变为等号，要应用性质,3.,因此极限问题实质是无穷小问题,.,因,此函数极限的性质与无穷小量的性质在本质上是,相同的,.,所以有人把,“,数学分析,”,也称为,“,无,穷小分析,”,.,二、无穷大量,定义,设函数 在 有定义,.,若,有 ，,则称函数 是,无穷大,，有时也称函数,在 的,“,极限,”,是无穷大，表为,若将上述定义中的不等式 分别改为,则分别称函数 是,正无穷,与,负无穷大,，,并分别表为,与,无穷大，正无穷大和负无穷大列表对比如下：,在上述这三个“无穷大”的定义之中,将,改为 可定,义不同形式的“,无穷大,”。,例,1.,证明,证明,例,2.,证明,证明,例,3.,证明,证明,例如,:,性质,1,若函数 都是无穷大，则函数 是无穷大,.,证明,性质,2,若函数 是无穷大，是有界量，则函数 也是无穷大,.,性质,3,若函数 是,无穷小,(,或无穷大,),且,则函数 是,无穷大,(,或无穷小,).,例,4,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,小结,:,无穷小分出法,:,以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,.,两个相同类型的无穷小量，它们的和,、,差,、,给,出如下定义,.,察,两个无穷小量之间趋于零的速度的快慢，我,们,定的,.,这与它们各自趋于零的速度有关,.,为了便于,考,积仍,是无穷小量，但是它们的商一般来说是不,确,三、无穷小的比较,例如：,2.,若存在正数,K,和,L,，,使得在,a,的某一空心邻域,内，有,根据函数极限的保号性，特别当,时，这两个无穷小量一定是同阶的,.,例如,:,与,是,同阶无穷小量,;,则称,与,是,时的,同阶无穷小量,.,3.,若两个无穷小量在,内,满足,:,则记,当,时，,x,与,是,同阶无穷小量,.,我们记,应当注意，若,为,时的同阶无,穷小量，当然有,反之不一定成立,例如,但是这两个无穷小量不是同阶的,.,注意：,这里的,和通常的等式是不同的，这两个式子的,右边，本质上只是表示一类函数例如,表示 的所有高阶无穷小量的集合,等价无穷小量，记作,也就是说，这里的“,=”,类似于,根据等价无穷小量的定义，显然有如下性质：,前面讨论了无穷小量阶的比较,值得注意的是,并,这是因为,不是任何两个无穷小量都可作阶的比较,.,例如,与,均为,时的无穷小量,却不能,按照前面讨论的方式进行阶的比较,.,这是因为,是,一个无界量，并且,下面介绍一个非常有用的定理：,定理,设,函数,f,g,h,在,内有,定义,且,证,所以,上述定理 告诉我们，在求极限时，乘积中的因子,例,5,解,所以,(2),可以类似地证明,.,可用等价无穷小量代替，这是一种很有用的方法,.,例,6,解,