弹性力学-13.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,1,弹性力学,(,第,13,讲,),武汉理工大学工程结构与力学系,翟鹏程,pczhai pczhai,2,一、曲梁的纯弯曲,3,问题及其描述,矩形截面曲梁：内半径为,a,，外半径为,b,，在两端受有大小相等而转向相反的弯矩,M,作用（梁的厚度为单位,1,），,O,为曲梁的曲率中心，两端面间极角为,。,取曲梁的曲率中心,O,为坐标的原点，并按图示建立坐标系。,由于各截面上弯矩,M,相同，因而可假定各截面上应力相同，构成一轴对称问题（对称轴为,z,轴）。,应力分量,4,边界条件,自然满足,（,1,）,（,2,）,将应力分量代入，有,（,a,）,（,b,）,注：,此处为单连体问题，,（,3,）,端部：,（,c,）,（,d,）,由轴对称问题应力分量式,将其代入式（,c,）,5,（,c,）,（,d,）,轴对称问题应力分量式：,代入式（,c,），有,代入式（,d,），有,（分部积分）,6,将其代入，有,整理，有,（,d,）,（,a,）,（,b,）,联立求解式（,a,）（,b,）（,d,）,可求得：,7,其中：,将其代入应力分量式，有,（,f,）,其截面上的应力分布如图：,8,讨论：,（,1,）,（,2,）,中性轴（）距内侧纤维较近，离外侧较远，,中性轴不过截面形心,。,（,3,）,中性轴,与材料力学中比较：,关于截面不再成线性分布，而是成双曲线分布。但在曲率不大时这种影响较小；,挤压应力 实际不为零；,9,曲梁的位移,假定：,（,4-13,）,代入位移分量式（,4-13,），确定得,代回位移分量式（,4-13,），即得相应的位移分量。这里只给出环向位移：,10,将上式对变量,r,求导，得,由上式可知：当,一定时，曲梁截面任意径向线段,dr,转角都相同，即,平面 保持平面,。,表明：材力中纯弯曲曲梁的平面保持平面假设是正确的。,11,问题：,图示为带有一微小张角,a,缺口的圆环，若将此圆环焊成一整环，试求此时环内的内力矩,M,。,解：,要使该圆环焊成一整环，需在两端加上一对平衡力矩,M,。,M,M,使其产生环向位移为：,由两端受力偶作用时的环向位移计算式：,由前面系数,B,的计算式：,代入应力分量式，可求出圆环中的装配应力。,12,将其代入应力分量式,将,1,cm,厚钢板卷成直径,2m,的圆筒，则,a,=1,，,b,=1.01,，最大应力发生在,r=1.0,处，为：,13,二、圆盘在匀速转动中的应力与位移,14,a,由问题的几何形状与外力（体力）均对称于轴,O,，因而为轴对称问题。,x,y,O,r,A,等厚度圆盘，半径为,a,，均匀旋转的角速度为,，回转轴为,O,，圆盘的密度为,，求：圆盘内的应力与位移。,问题的描述,圆盘内任一点具有加速度（径向）：,圆盘内任一点具有惯性力（径向）：,由此可见，该问题为一变体力的问题，体力分量为：,沿,r,方向线性变化的体力,所以有：,15,平衡方程、相容方程与应力函数,平衡方程：,（,a,）,将上式两边同乘以,r,有,引入函数 ，,使得：,（,b,）,这里也称 为应力函数。,应力分量计算式,（但不是常体力下的应力函数）,16,相容方程：,（变形协调方程）,轴对称问题的,几何方程,为：,（,c,）,在式（,c,）中消去位移分量，有：,应变表示的变形协调方程（相容方程）,由平面应力情形下的物理方程：,（,b,）,代入上式，有,再将应力分量式（,b,）代入，并整理得,（,d,）,17,（,d,）,两边同除,r,2,也可简写成：,将上式对,r,积分一次，得：,两边同乘以,r,，,并积分，得：,应力函数表示的相容方程,应力函数：,18,再将应力函数代入应力分量式（,b,），有,（,e,）,式中：,A,、,B,为任意常数。由定解条件确定。,应力分量,应力有界条件：,对实心圆盘，为保证,r,=,0,处应力的有界性，应取：,边界条件：,自动满足,代入式（,e,），有,a,x,y,O,r,A,19,（,f,）,最大应力点位于圆盘的中心：,位移分量,由几何方程，可得：,（,g,）,最大位移点位于圆盘的边缘：,a,x,y,O,r,A,20,最大位移点位于圆盘的边缘：,2.,变厚度圆盘,作为自学（一般了解）内容,a,x,y,O,r,A,21,钢材、半径,10cm,：,转速,1000rpm,：最大应力,0.36MPa,转速,20000rpm,：最大应力,141MPa,22,作 业,补充题：,试求匀速转动的圆环薄板（内、外半径中分别为,a,、,b,）的应力和位移。,