第二章欧氏平面的拓广.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 欧氏几何平面的拓广,2.1,中心投影（透视）与理想元素,一,.,直线平面的中心投影：,1.,两直线间的中心投影：,l,与 是平面内的两直线。,且,如,图：,l,上的点,A,、,B,与 上的点 、对应,。,称 、是从,l,到,在以,O,为投影中心下,A,、,B,的,透视点,或,中心射影,。,OA,、,OB,是,投影线,。,自对应点,：,R,且,称,P,为,l,上的,没影点,P,在 上无中心投影,。,称,Q,为 上的,没影点,Q,在,l,上无中心投影。,中心射影下的对应不是一一对应的。,反过来，点,A,、,B,称为是从,到,l,的在以,O,为投影中心下 、,的投视点或,中心投影。,2.,两平面间的中心投影：,空间中两个不同的平面 、,O,点为不在这两平面上的空,间,中的任意点。过,O,引,直线交 、于点,P,、,。,O,为投影中心。,P,、,互为透视点。且,过,O,作平面 。与 相交于直线,时，与,g,平行。则 上任意一点在,上,没有透视点，如 ，则,则,M,为 上的没影点。直线 为 上没,影点的,集合，称为 面上的没影线。,O,P,A,B,R,同样 上也有一条没影线过,O,作平面,W,与 平行交,于,直线,l,，则,l,为 上的没影线。,点,P,的中心射影与射影心的位置有关。,无穷远点（理想点）,：,在平面内对任何一组平行线引入唯一的点与之对应。记为无穷远点或理想点。,该点在该组,中的每一直线上，而不在组外的直线上。,空间平行线组只有一个公共的无穷远点。,或一组,平行线交于无穷远点。,二,.,理想元素：,1.,2.,无穷远直线：,空间里一组平行平面相交于一条无穷远直线。,3.,无穷远平面,：,原有的平面称为有穷远平面。,平面内的一切无穷远点的集合。,空间一切无穷远点的集合。,P,、,，在,P,上任取一,上，这时,P,。,所以,P,在,上的,中心射影为,上的,中心射影 、相交于 ，亦即,解：如图：过,a,b,之,交点,P,作一直,线,l,平行于平面,点,O(,与,P,不同），则以,O,为射影中,心将,a,b,射影到平面,为没影点。因为,OP,平行,即,a,b,在,平行。,a,b,例,1,：已知两平面 和 。,a,、,b,为 内两相交直线。试求一射影,中心将,a,b,射影为平面 内的二平行直线。,2.2,射影平面,仿射直线,：在欧氏直线上添加上一个无穷远点以后便得到,若在仿射,直线上不区别有穷远点与无穷远点，则这条仿射直线,定义,1,：,一条新的直线,由于添加一个无穷远点得到的。所以射影直线是,封闭,的。,如果把欧氏平面圆周上一点,O,看作投影中心，则圆周上任一点,P,在直线,l,上都有它的对应点，且这种对应是,一一对应,。,称为射影直线。（一维射影空间）,余的点,对应直线,l,上的有穷远点，在欧氏平面上，圆可看作射影,当 时，点,P,的对应 点,为 上的 。而圆周上的其,直线的一个模型。,定义,2,：在欧氏平面上添加一条无穷远直线，称为仿射平面,（,或为扩大平面）。如果在仿射平面上对有穷远元素和无穷,远元素不加以区别，则称这种仿射平面为射影平面。（称,为二维射影空间）。,如果在射影平面内固定一条直线为无穷远直线，则,变为仿射平面。,将,射影平面沿一条直线剪开，则为欧氏平面。,一条,直线不能把射影平面分为两部分。,2,条相交直线把它分为两部分。,3,条,直线把射影平面分成几部分？,2.3,图形的射影性质,在直线上添加无穷远点后，两直线间的中心射影建立了这,两,条,直线上的点之间一一对应，这时,l,上的影消点,P,对应,上的无穷远点 。,通过中心射影建立的二直线上点之间的一一对应叫透视射影,对应。简称,透视对应,。,定义,1,：,l,上的无穷远点 的象是,上的影消,点 。,同样，在平面上引入无穷远元素后，可通过中心射影建立二平面,点之间的一一对应，也称为透视对应。,定义,3,：图形经过中心射影不变的性质叫做图形的射影性质,定理,1,：中心射影保留同素性，即点对应点，直线对应直线,定理,2,：中心射影保持接合性。,定理,3,：中心射影保持圆锥曲线的对应为圆锥曲线。,注意：,1.,圆不具有射影性质。,2.,平行性不是射影 性质。,3.,简比不是中心射影的不变量。,作业,：,18,2.4,齐次坐标,一,.,点坐标：,1.,直线上,P,点的齐次坐标：。，,x,为,P,点,的非齐次坐标。,（，,0,）为无穷远点，（,0,，,0,）不表任何点 ，（,0,，,1,）,为原点,的齐次,坐标。,2.,平面上点的坐标；,点,P,的笛氏坐标为,P(x,y,).,令 ，（）,则点,P,的齐次坐标为,P(),则点,P,的非齐次坐标为,P(),(1).,，与 表示 平面上同,一点的齐次坐标。,（,2,）,.,为无穷远点的坐标，无穷远点无非齐次坐标。,（,3,）,.,（,0,，,0,，,0,）不代表任何点，（,1,，,0,，,0,）,x,轴上的无穷远,点。（,0,，,1,，,0,）,y,轴上的无穷远点（,0,，,0,，,1,）代表原点。,（,4,）,.,为无穷远点的特征。所以,为,无穷远线的方程。,直线：,齐次,式：,定理,1,：若直线为,y=,kx+b,则这条,直线上无穷远点的坐标,为（,1,，,k,0,）,y=,kx+b,两直线：,a:,b:,交点的坐标：,坐标为,(1),无穷远直线无非齐次坐标方程,（,2,）直线 上的无穷远点的坐标为,或写为 。,（,3,）与 平行，则有公共的无穷远点：,：,：,则 ，与 为同一个点。,即为无穷远点的坐标。,例,1:,求下列各直线上的无穷远点的坐标,:,(1)2x+y+1=0 (2)y-3=0 (3)y=,ax+b,(4),(5),解,:,(1)x+y-4=0,(2)(1,0,0),(1)(1,-2,0),(3)y=,ax+b,(4)(0,1,0),(5)(1,0,0),例,2:,求下列各直线的齐次方程,:,(2)y-6=0,(3)x+4=0,(4)2x+y=0,解,:,线,坐标：,定义,3,：在直线 的齐次点坐标方程,中 的系数 叫做该直线 的齐次线坐标。,记为,（,1,）对于任一实数 则 和,表示同一直线的齐次线坐标。,（,2,）不全为,0,的三个实数 。在平面,上确定唯一一条直线 而,不代表任何直线。,线,坐标 ，分别 表示,y,轴，,x,轴和无穷远直线。,（,3,）若 （直线不过原点）则 称为直线,所有不通过原点的直线方程可以写为,通过原点的直线只有齐次坐标，无非齐次坐标,（,4,）两点 ，联线的方程为,由,矢量共线得到,例,4,：下列各方程所表示什么图,（,1,）（,2,）,例,3,：求下列线坐标所表示直线的方程,(1)0,1,1 (2)1,0,1 (3)1,1,-1 (4)1,1,0,解：,(1),（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,3,）,解,:,(1),点（,1,，,0,，,0,）,（,2,）点（,1,，,1,，,1,）,（,3,）由,即为点（,1,，,-1,，,0,）和点（,1,，,-4,，,0,）,（,3,）,解,：,(1),（,2,，,4,，,-1,）的点方程为,（,2,）,-1,，,1,，,-1,的线方程是,（,3,）轴上的无穷远点（,1,，,0,，,0,）点方程为,（,4,）（,1,，,1,，,0,）其点方程为,定理,2,：一点,例,5,：确定下列各坐标的方程,（,1,）（,2,，,4,，,-1,）（,2,）,-1,，,1,，,-1,（,4,）,定理,3,：设经过点,定义,4,：,在点的,坐标采用齐次坐标后方程,（,1,）当 是变量，是常量时，方程是以,为线,坐标的直线方程。是这直线上的点的流动坐标，这,些点共在一直线,这,方程是以 为坐标的点方,（,2,）当 是变量，是常量时，根据习惯把方程写为,程，是过这个点的直线的流动坐标，这些直线只通过一,个点 。,作业,：,3,，,4,，,12,，,15,2.5,对偶原理,定义,1,：,“点”和“直线”称为射影平面上的对偶元素,定义,2,：,“过有一点作一直线”与“在一直线上取一点”叫做射影平面,上的对偶运算。,定义,3,：,设一射影平面图象,F,由某些点和直线所成，则将图形,F,中各,元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算。所得,的图形,称为图形,F,的对偶图形。,F,为 的对偶图形，故对偶图形是相互的。,例,1,：点列：属于一条直线的所有点,A,，,B,，,C,的集合,.,线束：属于一定点的所有直线的集合,.,定义：,对偶命题：,设为射影平面上仅与点线的结合性有关的一个命题，则命题,中各元素换为它的对偶元素各运算换为它相应的对偶运算，,从而形成一个新的命题 ，称 为命题的,对偶命题,。,如果两个命题一致，称为,自身命题,。,对偶命题是相互的,“三点共线”的对偶命题：“三线共点,“三点及其两两连线组成一三点形,”,与“三线及其两两交点组成一三,线形”为自身对偶命题，为同一个三角形。,对偶原理,：,在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。,例,1,：试作出下图的对偶图形,1.,M,c,a,b,Q,N,C,B,A,q,m,n,三线相交,三点,相连,2.,B,C,A,D,a,c,d,b,同一平面上无三点共线的四,点,A,B,C,D,中两两相连而得的六,条,直线。,同一平面上无三 线共点的四条,直线,a,b,c,d,中两两相交而得的六个,点。,3.,a,b,c,M,N,P,q,n,m,p,A,B,C,不共线三点,M,N,P,以及两两连,线,b,a,c,且在直线,b,上有一点,Q,不共点的三,直线,m,n,p,以及两两,的,交点,A,B,C,且过点,B,另有一直线,Q,例,2,：写出命题“设,A,，,B,，,C,三点在一直线 上，三点在另一直线 上，则交点,共线于,m,的对偶命题，并画出对偶命题。,解：对偶命题：“设 三直线通过一点,L,，三直线通过另一点 ，则三条直线,共点于,M”,。,Q,A,B,C,a,b,c,M,L,作业,：,6,，,7,（,2,）,m,a,b,c,L,M,2.6,复元素,定义,1.,以复数为坐标的点或直线称为复点或复直线。,2.,共轭点（直线）：若两点（或直线的线坐标）的坐标为共轭,复数。,3.,复射影平面：所有复点的集合。,例如：点（,1,，,0,，,2,）（,2i,，,0,，,4i,）,表示同,一实,点（,1,，,0,，,2,）。（对应量成比例）,.,若 ，点 为无穷远复点。,.,若 与三个不全为,0,的实数成比例。规定为一实点的,.,不与任何三个不全为,0,的实数成比例，则,（为任何非,0,的复数）为一虚点的坐标。,复点与复,直线 相结合的条件：,齐次 坐标,(1).,在 中若 是流动线坐标，则,它是复点的,方程。,（,2,）,.,若 是流动的点坐标，则它是复直线的方程。,定理,1.,若复点,x,在复直线 上，则,x,的共,轭复,点 在,u,的共轭复直线 上。,说明：因为点,x,在直线,u,上，所以 。,取,共轭复数，则：。,所以：,此式即,表示点 在直线 上。,定理,2.,一对共轭复点的连线是实直线。,证明：设 与,a,是两共轭复点,连接,a,和 确定的直线为,u,。由,定理,1,知,a,在,u,上,所以 在 ，,在,u,上,所以,a,在 上,.,所以,u,和 是同一条直线。,所以，,u,的非齐次坐标 为实数，所以,u,是实直线。,定理,3.,一对共轭复直线的交点是实点。,定理,4.,一条虚直线上有唯一实点，这个实点是这条虚直线和它共轭,虚,直线的交点。,由,定理,2,知，,l,与 的交点为一实点,P,。若,l,上还有另一实点,Q,，,则,l,将为一条实直线而与假设矛盾。故,l,上有唯一实点,P,。,定理,5,：每一条复直线上至少有一虚点。,例,1,：求通过点 的实直线的方程。,解：为共轭复点。,两点的连线为实,直线。,方程为：,说明：设,l,为一条虚直线，是,l,的共轭虚直线。,说明：设,l,为一条虚直线，是,l,的共轭虚直线。,l,上的实点的坐标为（,2,，,-1,，,2,）。,例,2,：求复直线 上的实点。,解：复直线,l,上的实点是,l,与 的交点。,交点的方程为：,作业,：,8,，,10,