第3章 平面力系.ppt

第,3,章 平面力系,第二章,平面汇交力系,力,系,平面力系,空间力系,各力的作用线都在同一平面内的力系称为平面力系。,平面汇交力系,平面平行力系,平面力偶系,平面一般力系,各力的作用线不都在同一平面内的力系称为空间力系。,空间汇交力系,空间平行力系,空间力偶系,空间一般力系,作用线汇交于一点,平面汇交力系,平面汇交力系,平面汇交力系合成与平衡的几何法,一、平面汇交力系合成的几何法,1.,两个汇交力的合成,obc,称为力的三角形。这种合成方法称为力三角形法则。,F,R,F,1,A,F,2,b,c,o,平面汇交力系,2.,任意个汇交力的合成,F,3,F,4,F,1,F,2,F,R,A,a,F,1,b,F,2,c,F,3,d,F,4,e,平面汇交力系的合力为,力的,多边形,的逆封边,平面汇交力系,平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，合力作用线通过原力系各力的汇交点。,平面汇交力系,例同一平面的三根钢索边连结在一固定环上，如图示，已知三钢索的拉力分别为：,F,1,500N,，,F,2,1000N,，,F,3,2000N,。,试用几何作图法求三根钢索在环上作用的合力。,解,（,1,）选定力的比例尺如图。,（,2,）作力多边形，（先将各分力乘以比例尺得到各力的长度，然后作出力多边形图）,。,（,3,）,量得代表合力矢的长度，则,F,R,的实际值为,F,R,2700N,F,R,的方向可由力的多边形图直接量出，,F,R,与,F,1,的夹角为,7131,。,平面汇交力系,二、平面汇交力系平衡的几何条件,平面汇交力系的平衡的必要与充分的几何条件是：,力的多边形自行封闭,，或各力矢的矢量和等于零。,用矢量表示为,F,R,=,F=,0,平面汇交力系,平面汇交力系的平衡条件,：,力,的,多边形,的,自行封闭,F,5,F,R,F,3,F,4,F,1,F,2,A,a,F,1,b,F,2,c,F,3,d,F,4,e,平面汇交力系,F,5,平面汇交力系合成与平衡的解析法,一、平面汇交力系的解析法,式中,分别为,F,与,x,轴正向所夹的锐角。,y,F,F,y,x,b,a,a,b,1.,在坐标轴上的投影,F,x,力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。,平面汇交力系,两种特殊情形：,当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零。,当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于该力的大小。,平面汇交力系,力的投影,和,力的分量,是两个不同的概念。,投影是代数量,而分力是矢量,投影无所谓作用点,分力作用点必须作用在原力的作用点上,另外：仅在,直角坐标系中,在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。,平面汇交力系,已知,F,1,=,F,2,=,F,3,=,F,4,=100kN,，各力方向如图示，试分别计算在,x,轴和,y,轴上的投影。,y,O,x,F,2,60,45,F,1,30,F,3,F,4,F,1,的投影,F,1,x,=,F,1,cos45,0,=(1000.707)kN=70.7kN,F,1,y,=,F,1,sin45,0,=(1000.707)kN=70.7kN,F,2,的投影,F,2,x,=,F,2,cos60,0,=,(1000.5)kN=,50kN,F,2,y,=,F,2,sin60,0,=(1000.866)kN=86.6kN,平面汇交力系,y,O,x,F,2,60,45,F,1,30,F,3,F,4,F,3,的投影,F,3,x,=,F,3,cos30,0,=(1000.866)kN=86.6kN,F,3,y,=,F,3,sin30,0,=,(1000.5)kN=,50kN,F,4,的投影,F,4,x,=,F,4,cos90,0,=0,F,4,y,=,F,4,sin90,0,=(1001)kN=100kN,平面汇交力系,平面汇交力系,合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。,2.,合力投影定理,A,F,2,F,1,(a),F,3,F,1,F,2,F,R,F,3,x,A,B,C,D,(b),证明,：以三个力组成的共点力系为例。设有三个,共点力,F,1,、,F,2,、,F,3,如图。,平面汇交力系,合力,F,R,在,x,轴上投影：,F,1,F,2,F,R,F,3,x,A,B,C,D,(b),a,b,c,d,各力在,x,轴上投影：,推广到任意多个,力,F,1,、,F,2,、,F,n,组成的平面,共点力系，可得：,F,R,x,=F,1,x,+F,2,x,+,F,n,x,=,F,x,平面汇交力系,3,用解析法求平面汇交力系的合力,式中,为合力,F,R,与,x,轴所夹的锐角。,合力,F,R,的大小和方向可由下式确定：,A,F,2,F,1,F,3,F,R,x,y,平面汇交力系,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。,这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。,平面汇交力系平衡的解析条件,平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。,平面汇交力系,求平面汇交力系平衡问题的步骤：,1),选取研究对象；,2),作研究对象的受力图,。,当约束反力的指向未定时，可先假设其指向。,3),选取适当坐标系,。为简化计算，尽量使未知力作用线与坐标轴垂直；,4),建立平衡方程，求解未知力。,列方程时注意各力的投影的正负号。求出的未知力带负号时，表示该力的实际指向与假设指向相反。,平面汇交力系,如图轧路碾子自重,P,=20,kN,，,半径,R,=0.6 m,，,障碍物高,h,=0.08 m,碾子中心,O,处作用一水平拉力,F,，,试求,:(,1),当水平拉力,F,=,5,kN,时，碾子对地面和障碍物的压力；,(2),欲将碾子拉过障碍物，水平拉力至少应为多大；,(3),力,F,沿什么方向拉动碾子最省力，此时力,F,为多大。,例题,R,O,A,h,F,B,q,A,B,O,P,F,F,A,F,B,(b),F,P,F,A,F,B,(c),1.,选碾子为研究对象，受力分析如图,b,所示。,各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条件，力,P,，,F,，,F,A,和,F,B,组成封闭的力多边形。,由已知条件可求得,再由力多边形图,c,中各矢量的几何关系可得,解得,解：,例题,R,O,A,h,F,B,(a),q,P,2.,碾子能越过障碍的力学条件是,F,A,=0,，,得封闭力三角形,abc,。,a,F,F,min,P,F,B,b,c,3.,拉动碾子的最小力为,由此可得,例题,A,B,O,P,F,F,A,F,B,F,P,F,A,F,B,例,一圆球重,15kN,，用绳索将球挂于光滑墙上，绳与墙之间的夹角,=300,如图,2-13a,所示，求墙对球的约束反力及绳索对圆球的拉力,F,T,。,W,o,B,A,F,NA,F,TA,O,W,解 取圆球为研究对象，,设直角坐标系如图，列平衡方程,。,平面汇交力系,F,x,=0,F,N,-,F,T,cos,600=0,F,N,=,F,T,cos60,0,=(17.320.5)kN=8.66kN,F,y,=0,F,T,sin,600-,W,=0,同时作用在物体上的两个或两个以上的力偶，称为,力偶系。,作用在同一平面内的力偶系称为,平面力偶系,。,平面力偶系的合成与平衡条件,平面力偶系,一、平面力偶系的合成,平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩等于平面力偶系中各个力偶矩的代数和。用式子表示为：,式中,M,R,表示合力偶矩,表示原力偶系中各力偶的力偶矩。,平面力偶系,平面力偶系平衡的充要条件是,:,所有各力偶矩的代数和等于零。,二、平面力偶系的平衡条件,对于平面力偶系的平衡问题，利用平衡式可以求解一个未知量。,例,如图示的梁,AB,，受一力偶的作用，已知力偶，,M=20kNm,，梁长,l,=4m,梁自重不计，求,A,、,B,支座处反力。,解 取梁,AB,为研究对象。,梁在力偶和,A,、,B,两处支座反力作用下平衡。,M,4m,F,Ay,M,F,By,平面力偶系,例,两力偶作用在板上，尺寸如图，已知,=1.5KN,=1KN,求作用在板上的合力偶矩。,180,80,负号表明转向为,顺时针。,由式,则,【,解,】,例,长为,4,m,的简支梁的两端,A,、,B,处作用有二个力偶矩，各为,。,求,A,、,B,支座的约束反力。,。,(),60,4,(),故,解得,得,F,A,、,F,B,为正值，说明图中所示,F,A,、,F,B,的指向正确,。,作,AB,梁的受力图，如图（,b,）,所示。,AB,梁上作用,有二个力偶组成的平面力偶系，在,A,、,B,处的约束,反力也必须组成一个同平面的力偶（,，,）,与,之平衡。,【,解,】,由平衡方程,例,如图所示结构,ABCD,，,杆重及摩擦均可不计；在铰链,B,上作用着力 ，在铰链,C,上作用着力 ，方向如图。试求当机构在图示位置平衡时 和 两力大小之间的关系,。,A,B,C,D,分析铰,B,有：,（,1,）,分析铰,C,有：,（,2,）,由（,1,）（,2,）两式得：,B,C,B,x,y,x,y,C,作,B,铰、,C,铰的受力图,【,解,】,例,如图所示，机构 ，在图示位置平衡。已知：,OA,400,mm,，,600,mm,，,作用在,OA,上的力偶矩之大小 ,1,Nm,。,试求力偶矩 的大小和杆,AB,所受的力,F,。,各杆的重量及各处摩擦均不计。,A,B,B,A,A,O,B,分析,OA,杆，有,分析 杆，有,作,AB,、,AO,及 杆的受力图，,AB,杆为二力构件,【,解,】,平面一般力系,各力作用线在同一平面内且任意分布的力系称为,平面一般力系,。,平面一般力系,第一节 平面一般力系向作用面内任一点简化,一、,力的平移定理,作用于物体上某点的力可以平移到此物体上的任一点，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的。,o,d,A,F,F,F,o,A,F,M,F,F,平面一般力系,o,A,F,力的平移定理揭示了力与力偶的关系：,力 力,+,力偶。,说明：,力,平移的条件是附加一个力偶,M,，且,M,与,d,有关，,M=,Fd,力的平移定理是力系简化的理论基础。,平面一般力系,应用力的平移定理时，须注意：,1,）平移力,F,的大小与作用点位置,无关,，,但附加力偶矩,M,=,Fd,的大小和转向与作用点的位置,有关,。,O,点可选择在物体上的任意位置，而,F,的大小都与原力,F,相同。而附加力偶矩的力臂,d,值会因作用点位置的不同而变化。,平面一般力系,2,）力的平移定理说明作用于物体上某点的一个力可以和作用于另外一点的一个力和一个力偶等效，反过来也可将同平面内的一个力和一个力偶化为一个合力，这个力,F,与,F,大小相等、方向相同、作用线平行，作用线间的垂直距离为,平面一般力系,二、平面任意力系向作用面内任意一点简化,设刚体受到平面任意力系,F,1,、,F,2,、,、,F,n,的作用。取,O,点为简化中心,(,F,1,、,F,2,、,F,3,、,、,F,n,),(,F,1,、,F,2,、,F,3,、,、,F,n,),(,M,1,、,M,2,、,M,3,、,、,M,n,),(,F,R,M,o,),F,1,A,1,A,2,F,2,A,n,F,n,o,o,x,y,F,2,F,n,F,1,M,1,M,2,M,n,o,x,y,平面一般力系,汇交于,O,点的平面汇交力系,F,1,、,F,2,、,、,F,n,且,F,1,F,1,、,F,2,F,2,、,、,F,n,F,n,附加力偶系,M,1,、,M,2,、,、,M,n,且,M,1,M,o,(F,1,),、,M,2,M,o,(F,2,),、,、,M,n,M,o,(,F,n,),作用于点,O,的,F,R,力偶,M,O,平面一般力系,F,R,F,1,+,F,2,+,F,n,F,1,+,F,2,+,+,F,n,F,主矢,F,R,称为该力系的,主矢,，它等于原力系各力的矢量和，与简化中心的位置无关。,式中,为合力,F,R,与,x,轴所夹的锐角。,平面一般力系,各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心,O,之矩，即,M,O,M,1,+,M,2,+,M,n,M,o,(,F,1,),+M,o,(,F,2,),+,M,o,(,F,n,),原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原力系对简化中心的,主矩,。,可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶的力偶臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简化中心的位置有关。,主矩,M,O,M,O,(,F,),平面一般力系,结论：,平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一力和一个力偶,。,这个力的作用线过简化中心，其力矢等于原力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系对简化中心的主矩。,平面一般力系,思考：,平面任意力系向不同点（,O,点和,A,点）简化时：,1.,得到的力是否相同？,2.,得到的力偶是否相同？,平面一般力系,平面任意力系向,O,点简化,，一般得一个力和一个力偶。可能出现的情况有四种：,三、,简化结果分析,说明原力系可以合成为一个合力偶，合力偶矩,M,O,=,M,0,(,F,),，,由于力偶对其平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。,平面一般力系,说明力系与通过简化中心的一个力等效，即原力系合成为一个合力，合力的大小、方向和原力系的主矢,F,R,相同，作用线通过简化中心。,根据力的平移定理的逆过程，可以将简化结果进一步合成为一个作用于另一点,0,的合力,F,R,。,平面一般力系,合力,F,R,的大小和方向与原力系的主矢,F,R,相同，而合力作用线至简化中心的距离,d,为,合力,F,R,在,O,点的哪一侧，由,F,R,对,O,点的矩的转向应与主矩,M,0,的指向相一致来确定。,平面一般力系,说明力系平衡,。,综上所述，不平衡的平面一般力系，其简化的结果只能是一个力，或是一个力偶。,例题,在长方形平板的,O,，,A,，,B,，,C,点上分别作用着有四个力：,F,1,=1,kN,，,F,2,=2,kN,，,F,3,=,F,4,=3,kN,（,如图），试求以上四个力构成的力系对,O,点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。,F,1,F,2,F,3,F,4,O,A,B,C,x,y,2m,3m,30,60,求向,O,点简化结果,解：,建立如图坐标系,Oxy,。,所以，主矢的大小,1,.,求主矢,。,F,1,F,2,F,3,F,4,O,A,B,C,x,y,2m,3m,30,60,2.,求主矩,M,O,由于主矢和主矩都不为零，所以,最后合成结果是一个合力,F,R,。,如右图所示。,主矢的方向：,合力,F,R,到,O,点的,距离,y,F,R,O,A,B,C,x,M,O,d,M,O,四、,合力矩定理,平面一般力系的合力对作用平面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。,平面一般力系,解,例,已知,F,1,=4kN,，,F,2,=3kN,，,F,3,=2kN,，试求下图中三力的对,O,点的力矩及合力对,O,点的矩。,第三节 沿直线平行分布力的简化,物体所受的力，往往是分布作用于物体体积内（如重力、万有引力等）或物体表面上（如梁上的荷载、坝或闸门上的静水压力等），前者称为,体力,，后者称为,面力,。体力和面力都是,分布力。,沿直线狭长面积分布的平行力通常可以简化成为沿直线分布的平行力，简称为,线分布力,或,线分布荷载,。,例如：作用于坝上的水荷载和作用于梁上的荷载，均为线分布荷载。,水压力的简化,梁上面力荷载的简化,第三节 沿直线平行分布力的简化,表示力的分布情况的图形称为,荷载图,。某一单位长度上所受的力，称为分布力在该处的,荷载集度,。如果分布力的集度处处相同，则该分布力称为匀布力或,匀布荷载,；否则，就称为,非匀布力或非匀布荷载,。,用,q,代表线分布力的集度。集度,q,定义为某一微小长度,L,上所受的力,Q,与,L,之比当,L,0,时的极限，即,第三节 沿直线平行分布力的简化,线分布力集度的单位是,N/m,、,kN/m,等。,则，线段,AB,上所受的分布力的,合力,Q,的大小,为：,=,线段,AB,上荷载图的面积,第三节 沿直线平行分布力的简化,设图中的,AabB,为直线段,AB,上的荷载图。取直角坐标系,Oxy,，使,y,轴平行于分布力。命与原点相距,x,处的荷载集度为,q,，则在该处微小长度,x,上的力的大小为,Q,=,q,x,亦即等于,x,上荷载图的面积,A,。,其次求,合力,Q,的作用线的位置,。利用平面力系的合力矩定理，可得,第三节 沿直线平行分布力的简化,综上所述，可知,同向的线分布力的合力的大小等于荷载图的面积（注意这一面积具有力的单位），合力通过荷载图面积的形心。,如果荷载图的,图形较为复杂,：可分成几个简单的图形，分别求每一简单图形所代表的分布力的合力；如果分布力的集度是连续变化的，则可用积分法求其合力。,可见，,x,C,就是荷载图面积的形心的坐标。,（,1,）集中荷载的单位，即力的单位为（,N,kN,),。,荷载的单位,分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。,（,2,）体分布荷载的单位：,（,3,）面分布荷载的单位：,（,4,）线分布荷载的单位：,如图所示的均布荷载，其合力为：,作用线则通过梁的中点。,（,1,）均布荷载：集度为常数的分布荷载。,分布荷载的计算方法,F,q=10.91kN/m,16 m,图,如图所示坝体所受的水压力为非均布荷载。,（,2,）非均布荷载：荷载集度不是常数的荷载。,y,A,B,C,图,水平梁,AB,受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大集度为,q,，,梁长,l,。,试求合力作用线的位置。,例题,A,B,q,x,l,在梁上距,A,端为,x,的微段,d,x,上，作用力的大小为,q,d,x,，,其中,q,为该处的载荷集度，由相似三角形关系可知,因此分布载荷的合力大小,解,x,A,B,q,x,d,x,h,l,F,x,A,B,q,x,d,x,h,l,F,设合力,F,的作用线距,A,端的距离为,h,，,根据合力矩定理，有,将,q,和,F,的值代入上式，得,重力坝断面如图示，坝的上游有泥沙淤积。已知水深,H,=46m,，泥沙厚度,h,=6m,，单位体积水重,=9.8kN/m,3,，泥沙在水中的容重,=8kN/m,3,。又,1m,长坝段所受重力为,W,1,=4500kN,，,W,2,=14000kN,。试将该坝段所受的力系向,O,点简化，并求出简化的最后结果。,第三节 沿直线平行分布力的简化,例题,解：,作用于坝上游面的水压力和泥沙压力为平行分布力，上游坝面所受分布荷载的荷载图为两个三角形。,设水压力合力为,P,1,，则,P,1,通过该三角形的形心，即与坝底相距,H,/3=46/3m,。,第三节 沿直线平行分布力的简化,泥沙压力的合力设为,P,2,，则,P,2,与坝底相距,h/,3=2m,。,将,P,1,、,P,2,、,W,1,、,W,2,四个力向,O,点简化。,求主矢量：,第三节 沿直线平行分布力的简化,负号表示主矩,M,O,的转向与图示转向相反，即应为顺时针向。,合力作用线与,x,轴交点,A,的,x,坐标值为：,第三节 沿直线平行分布力的简化,对,O,点的主矩：,故原力系有合力,第二节 平面一般力系的平衡方程及其应用,一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程,平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢,F,R,和力系对作用面内任一点的主矩,M,o,都等于零，即,于是有,F,x,=0,F,y,=0,M,0,(,F,)=0,上式称为平面一般力系平衡方程的基本形式，其中前两式称为投影方程，第三式称为力矩方程。,当满足平衡方程时，物体即不能移动，也不能转动，物体就处于平衡状态。因此平面一般力系有三个独立的平衡方程。,当物体在平面一般力系的作用下平衡时，可应用这三个独立的平衡方程求解三个未知量。,F,x,=0 ,F,y,=0 ,M,0,(,F,)=0,A,、,B,的连线不和,x,轴相垂直。,二、平衡方程的其它形式,1.,二力矩形式的平衡方程,F,R,A,B,x,平面一般力系,A,、,B,、,C,三点不共线。,2.,三力矩形式的平衡方程,F,R,A,B,C,平面一般力系,平面一般力系的平衡方程虽有三种形式，但不论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程，任何第四个平衡方程都是力系平衡的必然结果，不再是独立的。可以利用这个方程来校核计算的结果。,应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系和物体的平衡位置等问题。,平面一般力系,解题步如下：,（,1,）确定研究对象。,（,2,）分析受力并画出受力图，在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力根据约束类型来画。,（,3,）列平衡方程求解未知量。,平面一般力系,例,长为,4,m,的简支梁的两端,A,、,B,处作用有二个力偶矩，各为,。,求,A,、,B,支座的约束反力。,。,(),60,4,(),例,如图所示，机构 ，在图示位置平衡。已知：,OA,400,mm,，,600,mm,，,作用在,OA,上的力偶矩之大小 ,1,Nm,。,试求力偶矩 的大小和杆,AB,所受的力,F,。,各杆的重量及各处摩擦均不计。,A,B,B,A,A,O,B,分析,OA,杆，有,分析 杆，有,作,AB,、,AO,及 杆的受力图，,AB,杆为二力构件,【,解,】,例：钢筋混凝土梁,AB,的计算简图如图所示，梁,AB,长,l=4m,，其上作用有均布荷载,q=2kN/m,，以及集中力,F1=F2=1kN,。已知,a=0.5m,，,b=1m,，试求,A,B,两处的支座反力,解：取整个钢筋混凝土梁为研究对象，画出受力图。,列平衡方程，求解未知量，如图所示选直角坐标系，列平衡方程：,求解得：,自重为,W=100kN,的,T,字形刚架,ABD,，置于铅垂面内，荷载如图所示，其中,M=20kN.m,，,F=400kN,，,q=20kN/m,，,l=1m,。试求固定端的约束反力。,解：以,T,字形刚架为研究对象，受力图如图所示，,选取直角坐标系如图所示，列平衡方程：,解方程得：,平面平行力系,：各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。,图示一受平面平行力系作用的物体，如选轴与各力作用线垂直，显然有：,平面平行力系的平衡方程,这样，平面平行力系的平衡条件可写为：,F,y,=0,M,O,（,F,）=0,F,1,y,o,x,F,2,F,n,平面一般力系,F,1,y,o,x,F,2,F,n,平面平行力系平衡方程的二矩式为,注意：,A,、,B,两点的连线不能与各力的作用线平行。,平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。,平面一般力系,例,塔式起重机如图示。机架重,W,1,=220kN,，作用线通过塔架的中心。最大起重量,W,2,=50kN,，最大悬臂长为,12m,，轨道,AB,的间距为,4m,。平衡锤重,W,3,，到机身中心线距离为,6m,。试问：（,1,）保证起重机在满载和空载时都不致翻倒，平衡锤重,W,3,的范围；（,2,）如平衡锤重,W,3,=20kN,时，求满载时轨道,A,、,B,给起重机轮子的反力。,平面一般力系,解,取起重机为研究对象。作用在机上的力有：载荷的重力,W,2,、机架的重力,W,1,、平衡锤重,W,3,，以及轨道的约束反力,F,Ay,和,F,By,，其受力图如图所示。,（,1,）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的所有力满足平衡条件。,当,满载,时，为使起重机不绕,B,点翻倒，这些力必须满足平衡方程,M,B,（,F,）,=0,。在临界情况下，,F,Ay,=,0,。此时求出的,W,3,值是所允许的最小值。,平面一般力系,由,M,B,(,F,)=0,W,3min,（,6+2,）,+,W,1,2-,W,2,（,12-2,）,=0,由,M,A,（,F,）,=0,，,W,3max,（,6-2,）,-,W,1,2=0,当,空载,时，,W,2,=0,。为使起重机不绕点,A,翻倒，所受的力必须满足平衡方程,M,A,（,F,）,=0,。在临界情况下，,F,By,=0,。这时求出的,W,3,值是所允许的最大值。,平面一般力系,起重机实际工作时不允许处于将翻倒的临界状态，要使起重机不翻倒，平衡锤重,W,3,的范围应是：,7.5kN,W,3,110kN,（,2,）当,W,3,=20kN,且满载时，,起重机在力,W,1,、,W,2,、,W,3,、,F,Ay,及,F,By,的作用下平衡。应用平面平行力系的平衡方程,求约束反力。,由,M,B,（,F,）,=0,F,Ay,4-,W,2,（,12-2,）,-,W,3,（,6+2,）,-,W,1,2=0,由,F,y,=0,F,Ay,+,F,By,-W,1,-,W,2,-,W,3,=0,F,By,=220+50+20-25=265kN,平面一般力系,第三节 物体系统的平衡问题,在工程中，常常遇到几个物体通过一定的约束联系在一起的所谓物体系统平衡问题,-,物体系统也称物系,当物体平衡时，系统内的每一个物体或任一个局部系统也处于平衡状态，因此，在求解物体系统的平衡问题时，不仅要研究整个系统的平衡，而且要研究系统内某个局部或单个物体的平衡。,在求解过程当中，注意作用力与反作用力的关系,求解物体系统的平衡问题时，首先要注意选择合适的研究对象，然后选择合适的平衡方程，解出未知力。,平面一般力系,一、静定与超静定问题,对每一类型的力系来说，独立平衡方程的数目是一定的，能求解的未知数的数目也是一定的。,如果所考察的问题的未知数目恰好等于独立平衡方程的数目，这类问题称为,静定问题,；,如果所考察的问题的未知力的数目多于独立平衡方程的数目，这类问题称为,超静定问题,或,静不定问题,。,图是超静定平面问题的几个例子。,在图,a,、,b,中，物体所受的力分别为平面汇交力系和平面平行力系，平衡方程都是个。而未知反力是个，任何一个未知力都不能由平衡方程解得。,图,超静定问题的例子,在图,c,中，两铰拱所受的力是平面任意力系，平衡方程是个，而未知反力是个，虽然可以利用,M,iA,求出,F,By,，,再利用,M,iB,或,F,iy,求出,F,Ay,，,但,F,ax,及,F,Bx,却无法求得，所以仍是超静定的。,图,超静定问题的例子,说明：结构之所以成为超静定的，是因为静力学中把物体抽象成为刚体，略去了物体的变形；如果考虑到物体受力后的变形，在平衡方程之外，再列出某些补充方程，问题也就可以解决。,超静定结构比静定结构较经济地利用材料，,也较牢固，工程上很多结构都是超静定的。,南京长江大桥的铁路正桥是三跨连续的桁架梁，是超静定结构,。,图（,a,）,是静定的；图（,b,）,是一次超静定；图（,c,）,又是静定的；图（,d,),是二,次超静定。,图（,a,）,图（,b,）,图（,c,）,在下面各图中，并没有给出结构的主动载荷的形式，试问主动载荷会对结构的静定与否产生影响吗？指出哪些是静定，哪些是超静定，并给出超静定的次数。,图（,d,）,二、物体系统的平衡,实际研究对象往往是由若干个物体组成的物体系统。系统内各物体之间的联系构成,内约束,。而系统与其他物体的联系则构成,外约束,。,内约束处的约束力是系统内部物体之间相互作用的力，对整个系统来说，这些力是,内力,；而主动力和外约束处的约束力则是其他物体作用于系统的力，是,外力,。,土建工程上常用的三铰拱，由,AC,、,BC,两半拱组成，连接两半拱的铰,C,是内约束，而铰,A,及铰,B,则是外约束。对整个刚架来说，铰,C,处的约束力是内力，而主动力及,A,、,B,处的约束力则是外力。,图,三铰拱,注意：,外力和内力是相对的概念，是对一定的考察对象而言的。,对于某个物体系统，为了求出未知的力，可取系统中的任一物体作为考察对象。对于,平面力系问题,而言，根据一个物体的平衡，一般可以写出三个独立的平衡方程。如果该,系统共有,n,个物体，则共有,3n,个独立的平衡方程，,可 以求解,3n,个未知数。,在解答物体系统的平衡问题时，也可将整个系统或其中某几个物体的结合作为考察对象，以建立平衡方程。但是，对于一个受平面任意力系作用的物体系统来说，不论是就整个系统或其中几个物体的组合或个别物体写出的,平衡方程总共只有,3,n,个是独立的,。,注意：,此,3,n,个独立平衡方程，是就每一个物体所受的力都是平面任意力系的情况得出的结论，如果某一物体所受的力是平面汇交力系或平面平行力系，则平衡方程的数目也将相应减少。,联合梁支承及荷载情况如图所示。已知,F,P,1,10kN,，,F,P,2,20kN,，,试求约束反力。图中长度单位是。,附图,例题,解：,联合梁由两个物体组成，共有,6,个独立的平衡方程，而约束力的未知数也是,6,，所以是静定的。,首先以整个梁作考察对象，示力图如下：,由,F,ix,有,F,Ax,F,P,2,cos60,0,F,Ax,F,P,2,cos60,10kN,可得,取,BC,作为考察对象，作示力图。,F,ix,0,，,F,Cx,F,P2,cos60,0,F,Cx,F,P2,cos60,10,kN,M,Ci,0,，,F,B,3,m,sin601.5,m,0,F,B,8.66,kN,F,iy,，,F,B,F,Cy,F,P2,sin60,0,F,Cy,8.66,kN,再分析整体受力,图,，可写出两个平衡方程求解。,M,iA,0 F,D,4,m,F,B,9,m,F,P1,2,m,F,P2,sin607.5,m,解得,F,D,18,kN,F,iy,=,F,Ay,F,D,F,B,F,P1,F,P2,sin60,0,得,F,Ay,0.66,kN,例,如图示一起重架，由于,AC,、,BD,、,AE,通过,A,、,B,、,D,连接而成，,E,端为固定端支座，在横杆,AC,的,C,端悬一重物、其重量为,6kN,。,各杆的自重不计，试求固定端支座的反力及杆,BD,所受的力。,W,30,0,60,0,C,B,A,D,E,1m,0.5m,F,W,D,A,E,M,E,F,Ey,F,Ex,F,T,F,W,F,Ay,F,Ax,F,BD,F,T,F,Ax,F,Ay,C,B,A,F,Ex,F,Ey,C,B,A,D,E,60,0,a),b),c),d),M,E,W,30,0,60,0,C,B,A,D,E,1m,0.5m,平面一般力系,例 题,支架的横梁,AB,与斜杆,DC,彼此以铰链,C,连接，并各以铰链,A,，,D,连接于铅直墙上。如图所示。已知杆,AC=CB,；杆,DC,与水平线成,45,o,角；载荷,F=,10,kN,，,作用于,B,处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链,A,的约束力和杆,DC,所受的力。,A,B,D,C,F,例题,3-1,取,AB,杆为研究对象，受力分析如图。,F,F,C,F,Ay,F,Ax,l,l,A,B,C,解,：,解平衡方程可得,若将力,F,Ax,和,F,Ay,合成，得,A,B,D,C,F,外伸梁的尺寸及载荷如图所示，,F,1,=2,kN,，,F,2,=1.5,kN,，,M,=1.2,kNm,，,l,1,=1.5 m,，,l,2,=2.5 m,，,试求铰支座,A,及支座,B,的约束力。,F,1,A,B,l,2,l,1,l,l,F,2,M,例题,3-2,取梁为研究对象，受力分析如图。由平衡方程,解方程。,解：,F,1,A,B,l,2,l,1,l,l,F,2,M,F,Ax,A,B,x,y,F,Ay,F,1,F,By,F,2,M,如图所示为一悬臂梁，,A,为固定端，设梁上受强度为,q,的均布载荷作用，在自由端,B,受一集中力,F,和一力偶,M,作用，梁的跨度为,l,，,求固定端的约束力。,A,B,l,q,F,M,例题,3-3,由平衡方程,解方程得,取梁为研究对象，受力分析如图,解,：,A,B,l,q,F,M,q,A,B,x,y,M,F,F,Ay,M,A,l,F,Ax,P,2,F,A,P,1,P,3,P,F,B,A,B,3.0 m,2.5 m,1.8 m,2.0 m,例题,3-4,一种车载式起重机，车重,P,1,=26,kN,，,起重机伸臂重,P,2,=4.5,kN,，,起重机的旋转与固定部分共重,P,3,=31,kN,。,尺寸如图所示。设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起吊重量,P,max,。,取汽车及起重机为研究对象，受力分析如图。,由,平衡方程。,解：,P,P,2,F,A,P,1,P,3,F,B,A,B,3.0 m,2.5 m,1.8 m,2.0 m,不翻倒的条件是：,F,A,0,，,故,最大起吊重量为,P,max,=7.5,kN,联立求解,所以由上式可得,l,/8,q,B,A,D,M,F,C,H,E,l,/4,l,/8,l,/4,l,/4,例题,3-5,组合梁,AC,和,CE,用铰链,C,相连，,A,端为固定端，,E,端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：,l,=8 m,，,F,=5,kN,，,均布载荷集度,q,=2.5,kN/m,，,力偶矩的大小,M,=5,kNm,，,试求固端,A,，,铰链,C,和支座,E,的约束力。,C,E,1,.,取,CE,段为研究对象。受力分析如图。,解：,联立求解。,F,E,=2.5,kN,，,F,C,=,2.5,kN,F,1,M,3,l,/8,H,l,/8,F,C,F,E,由,平衡方程,l,/8,q,B,A,D,M,F,C,H,E,l,/4,l,/8,l,/4,l,/4,由,列平衡方程。,联立解之。,F,A,=15,kN,，,M,A,=,2.5,kN,m,M,A,F,2,l,/4,I,A,F,C,H,l,/8,l,/8,F,A,再,取,AC,段为研究对象，受力分析如图。,A,，,B,，,C,，,D,处均为光滑铰链，物块重为,P,，,通过绳子绕过滑轮水平地连接于杆,AB,的,E,点，各构件自重不计，试求,B,处的约束力。,例题,3-5,P,F,Ay,F,Ax,F,C,x,F,Cy,P,F,B,x,F,Ay,F,Ax,F,B,y,F,E,解,：,取整体为研究对象。受力分析如图，由平衡方程。,再,取杆,AB,为研究对象，受力分析如图。,由平衡方程,联立求解可得,解得,如图所示，已知重力,P,，,DC=CE=AC=CB,=2,l,；,定滑轮半径为,R,，,动滑轮半径为,r,，且,R=,2,r=l,=45,。,试求：,A,，,E,支座的约束力及,BD,杆所受的力。,D,K,C,A,B,E,P,例题,3-6,D,K,C,A,B,E,1.,选取,整体,研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程,解平衡方程,F,A,P,F,Ex,F,Ey,解：,2.,选取,DEC,研究对象，受力分析如图所示。列平衡方程,E,C,K,D,解平衡方程,F,K,F,Ey,F,Ex,D,K,C,A,B,E,P,显然,刚架结构如图所示，其中,A,，,B,和,C,都是铰链。结构的尺寸和载荷如图所示。试求,A,，,B,，,C,三铰链处的约束力。,P,q,A,B,C,b,a,a,/,2,a,/,2,M,例题,3-7,A,B,C,x,y,q,b,P,M,F,Ax,F,Ay,F,Bx,F,By,1.,取整体为研究对象，受力如图所示。由平衡方程,解方程得,解,：,2.,再取,AC,为研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程,A,C,x,y,q,b,F,Ax,F,Ay,F,Cy,F,Cx,解方程得,P,q,A,B,C,b,a,a,/,2,a,/,2,M,重为,P,=980 N,的重物悬挂在滑轮支架系统上，如图所示。设滑轮的中心,B,与支架,ABC,相连接，,AB,为直杆，,BC,为曲杆，,B,为销钉。若不计滑轮与支架的自重，求销钉,B,作用在与它相连接的每一构件上的约束力。,A,B,C,D,E,F,I,H,0.6 m,0.8 m,P,例题,3-8,取滑轮,B,为研究对象，受力分析如图。由平衡方程,解得,解：,B,H,F,F,Bx,F,By,P,A,B,C,D,E,F,I,H,0.6m,0.8m,P,A,B,C,D,E,F,I,H,0.6m,0.8m,再取销钉,B,为研究对象，受力分析如图所示。,由平衡方程,解得,B,在图所示悬臂平台