【点集拓扑学】§2.7 拓扑空间中的序列.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.7 拓扑空间中的序列,定义2.7.1,设,X,是一个拓扑空间每一个映射,S:X，,叫做,X,中的一个序列我们常将序列,S,记作 ；或者 ，或者干脆记作 有时我们也将记号 简化为 ，但这时要警惕不要与单点集相混,定义2.7.2,设 是拓扑空间,X,中的一个序列，,xX,如果对于,x,的每一个邻域,U，,存在,M ,使得当,iM,时有 ,U，,则称点,x,是序列 的一个极限点(或极限)，也称为序列收敛于,x，,记作,lim,x,或 ,x(i),如果序列至少有一个极限，则称这个序列是一个收敛序列,定义2.7.3,设,X,是一个拓扑空间，,S,：X,是,X,中的两个序列如果存在一个严格递增的映射,N：(,即对于任意 ，如果 ，则有,N()N()，,使得 ，则称序列 是序列,S,的一个子序列,定理2.7.1,设 是拓扑空间,X,中的一个序列则,(1)如果 是一个常值序列，即对于某一个,xX，,有 =,x,i ，,则,lim,=x；,(2),如果序列 收敛于,xX，,则该序列 的每一个子序列也收敛于,x,定理2.7.2,设,X,是一个拓扑空间，,A X,x X,如果有一个序列 在,A-x,中(此意即，对于每一个,i,有 ,A-x)，,并且收敛于,x，,则,x,是集合,A,的一个凝聚点,例,2.7.1,定理,2.7.2,的逆命题不成立,这个例子表明，在一般的拓扑空间中不能像在数学分析中那样通过序列收敛的性质来刻画凝聚点,定理2.7.3,设,X,和,Y,是两个拓扑空间，,f:XY,则,(1)如果,f,在点 ,X,处连续，则,X,中的一个序列 收敛于 蕴涵着,Y,中的序列 收敛于,f()；,(2),如果,f,连续，则,X,中的一个序列 收敛于,xX,蕴涵着,Y,中的序列 收敛于,f(x),例,2.7.2,定理,2.7.3,的逆命题不成立,此外，在度量空间中，序列的收敛可以通过度量来加以描述,定理2.7.4,设(,X，),是一个度量空间，是,X,中的一个序列，,xX,则以下条件等价：,(1)序列 收敛于,x；,(2),对于任意给定的实数,0，,存在,N,使得当,iN,时,(,x)；,(3),lim,(,x)=0(i),作业:,P88 1,3(,记住习题3的结论),本章总结：,1本章的研究对象是一个任意的集合，在其上定义了一个“开集”族结构(为了能够运算，所定义的开集必须满足,P48,定义221)这个集合就成了“拓扑空间”(注意它与通常的实数空间不同),2在拓扑空间中由开集衍生定义出邻域,闭集,闭包,导集,序列等概念(要掌握这些概念的等价命题),3为了进一步研究开集的结构,又引进了基与子基的概念(要掌握基与开集的关系),4此时拓扑空间的序列有哪些性质?与实数空间的序列有哪些不同?,5两个空间的关系用一个映射来联系,怎样的映射是连续的?有几种方法可以判断映射是连续的?,6为了向实数空间看齐,可以在集合中引进“度量”这个概念度量空间有哪些性质?,按以上这些要点复习一遍然后记住以下几个常见的空间的性质:,实数空间,平庸空间,离散空间,有限补空间,可数补空间；,开集,闭集,邻域是怎样的?,