一元二次不等式【高三重点复习】.ppt

一元二次不等式及其解法,1.,会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；,2.,通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系；,3.,会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图,.,1.,一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表：,判别式,0,=0,0,）的图象,一元二次方程,（,a0,）的根,（,a0,）的解集,（,a0,）的解集,或,有两相异实数根,（,x,1,0(a0),的求解过程用程,序框图表示为：,开始,解为,x,1,=x,2,解为,x,1,x,2,其中,x,1,x,2,无实数解,不等式的解集为,结束,是,是,否,否,不等式的解集为,不等式的解集为,R,【,即时应用,】,思考：上述不等式中若,a,0,时解集的情况又将如何？,提示：,若,a,0,则一般先将不等式进行转化，使,x,2,的系数转化为,正后再求解,但一定要注意转化过程中不等号的变化，,0,时,解集为,0,时解集为,x|x,1,x,x,2,.,一元二次不等式的解法,【,方法点睛,】,解一元二次不等式的一般步骤,(1),变形，使一端为,0,且二次项系数大于,0,；,(2),计算相应的判别式；,(3),当,0,时，求出相应的一元二次方程的根；,(4),根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集,.,【,提醒,】,当不等式的系数为字母时，需要对字母进行分类讨论,.,【,例,1】,解下列不等式：,(1)x,2,+3x+4,0,(2)-3x,2,-2x+80,(3)12x,2,-ax,a,2,(aR),2.,含参数的不等式解法：,解含参数的一元二次不等式,要把握好分类讨论的层,次，一般按下面次序进行讨论：,(1),根据二次项系数的符号,进行分类，,(2),根据根是否存在，即,的符号进行分类，,(3),在根存在时，根据根的大小进行分类讨论,.,讨论时对字,母的范围需要做到不重不漏,.,【,变式备选,】,解下列不等式：,(1)10 x-125x,2,(2)(1-ax),2,1,综上所述，当,a=0,时，原不等式的解集为,；,当,a0,时，原不等式的解集为,一元二次不等式恒成立问题,【,方法点睛,】,恒成立问题及二次不等式恒成立的条件,(1),解决恒成立问题一定要清楚主元和参数,.,一般地,已知范围的变量当主元,所求范围的变量就是参数,.,(2),对于二次不等式恒成立问题,恒大于,0,就是相应的二次函数的图象在给定的区间上恒在,x,轴上方,恒小于,0,就是相应的二次函数的图象在给定的区间上恒在,x,轴下方,.,(3),一元二次不等式恒成立的条件,ax,2,+bx+c,0(a0),恒成立的充要条件是：,a,0,且,b,2,-4ac,0(xR).,ax,2,+bx+c,0(a0),恒成立的充要条件是：,a,0,且,b,2,-4ac,0(xR).,【,例,2】,已知不等式,mx,2,-2x-m+1,0,，,(1),若对任意实数,x,不等式恒成立,求,m,的取值范围,.,(2),若对一切,m-2,2,不等式恒成立,求,x,的取值范围,.,【,解题指南,】,(1),结合二次函数图象对,m,讨论求解,.,(2),变换主元将其看成关于,m,的一元一次不等式,利用其定,义范围,-2,2,求参数,x,的取值范围,.,【,规范解答,】,(1),不等式,mx,2,-2x-m+1,0,恒成立,即函数,f(x,)=mx,2,-2x-m+1,的图象全部在,x,轴下方,.,当,m=0,时,不等式变为,1-2x,0,，对任意实数,x,不恒成立,故,m,0,不满足；,当,m0,时,函数,f(x,)=mx,2,-2x-m+1,为二次函数,需满足图象开口向下且方程,mx,2,-2x-m+1,0,无解,即 则,m,无解,.,综上可知不存在这样的,m,使不等式恒成立,.,(2),设,g(m,)=(x,2,-1)m+(1-2x),当,x,2,-1=0,时，即,x=,1,检验得,x=1,时符合题意,当,x,2,1,时,则其为一个以,m,为自变量的一次函数,其图象是直线,由题意知该直线当,-2m2,时在,x,轴下方,即,解,得,解,得,由,得 且,x1,综上得,x,的取值范围为,【,反思,感悟,】,解决不等式恒成立问题,通常有两种思路：,(1),转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目,要求的条件,构造含参数的不等式,(,组,),，求得参数范围；,(2),分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围,.,【,变式训练,】,已知,f(x,)=x,2,-2ax+2(aR),当,x-1,+),时,f(x)a,恒成立,求,a,的取值范围,.,【,解析,】,方法一：,f(x,)=(x-a),2,+2-a,2,此二次函数图象的对称轴为直线,x=a.,当,a(-,-1),时,f(x,),在,-1,+),上单调递增,f(x),min,=f(-1),=2a+3.,要使,f(x)a,恒成立,只需,f(x),min,a,即,2a+3a,解得,-3a,-1.,当,a-1,+),时,f(x),min,=,f(a,)=2-a,2,要使,f(x)a,恒成立,只需,f(x),min,a,即,2-a,2,a,解得,-1a1.,综上所述,a,的取值范围为,-3,1.,方法二：令,g(x,)=x,2,-2ax+2-a,由已知得,x,2,-2ax+2-a0,在,-1,+),上恒成立,即,=4a,2,-4(2-a)0,即,a,2,+a-20,，得,-2a1.,或 即,得,-3a0),个百分点，收购量能增加,2x,个百分点,.,试确定,x,的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的,78%.,【,解析,】,设税率调低后的税收总收入为,y,元，则,y=2 400m(1+2x%),(8-x)%,由题意知，,0 x8,要使税收总收入不低于原计划的,78%,，,有,y2 400m,8%,78%,整理得,x,2,+42x-880,解得,-44x2,又,0 x8,00,因为,或,或,或,5x8.2,1x5,或,5x8.2,1x5,时，,f(x,)8.2-5=3.2,所以当工厂生产,400,台产品时，盈利最大，,又,x=4,时，,(,万元,/,百台,),=240(,元,/,台,).,故此时每台产品的售价为,240,元,.,【,创新探究,】,一元二次不等式在二元二次方程中的应用,【,典例,】(2011,浙江高考,),若实数,x,、,y,满足,x,2,+y,2,+xy,1,则,x+y,的最大值是,_.,【,解题指南,】,本例可令,x+y,=t,，利用直线与曲线必有交点,即联立消元后方程必有解可求,亦可利用基本不等式放缩后解不等式求解,.,【,规范解答,】,方法一：令,x+y,=t,则,y=,t-x,，代入,x,2,+y,2,+xy=1,，整理得：,x,2,-tx+t,2,-1=0,则方程必有实根，即,=t,2,-4(t,2,-1)0,即 解得,故,x+y,的最大值为,方法二,：由,x,2,+y,2,+xy=1,得,1=(x+y),2,-xy,即 故,x+y,的最大值为,答案：,【,阅卷人点拨,】,通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨与备考建议：,创,新,点,拨,(1),结合不等式与解析几何及方程综合命制,把对一元二次不等式的考查以新的形式呈现，具有知识交汇、解法新颖的特点；,(2),通过曲线有交点转化为方程有根，从而转化为不等式求解,.,备,考,建,议,关于本类问题的解法，主要有以下备考建议：,(1),在解决此类不等式与方程与解析几何结合的综合问题时，要明确已知什么，求什么,应用到哪一块知识，采取何种方法,从而进行有效转化求解,.,(2),对于创新型命题,要抓住其万变不离其宗的特点,善于揭去其神秘的面纱，与已学的基础知识联系起来，如本例通过换元把问题转化为最基本的一元二次不等式问题求解,.,1.(2011,广东高考,),不等式,2x,2,-x-1,0,的解集是,(),【,解析,】,选,D.,由,2x,2,-x-1,0,得,(x-1)(2x+1),0,解得 或,x,1,从而得原不等式的解集为,2.(2011,江西高考,),若集合,A,x|-12x+13,则,AB,(),(A)x|-1x,0 (B)x|0,x1,(C)x|0 x2 (D)x|0 x1,【,解析,】,选,B.A=x|-1x1,B=x|0,x2,AB=x|0,x1.,3.(2012,珠海模拟,),已知不等式,x,2,+ax+40,，即,a4,或,a4,或,a-4,