第三讲 平均数、标准差和变异系数.ppt

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,上章内容回顾,试验资料的整理：检查和核对；制作次数分布表和分布图（柱形图、折线图、条形图，饼图）,试验资料,计数资料（非连续）,质量性状资料（,数量化处理,）,数量性状资料,计量资料（连续变量）,试验资料搜集常用的方法：调查和试验,试验资料均具有集中性和离散性两种基本特征，平均数是反映集中性的特征数，变异数是反映离散型的特征数,第三章 平均数、标准差和变异系数,平均数（,mean,）用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而分布的性质。,标准差（,standard deviation,）与变异系数（,variation coefficient,）反映资料的离散性，即观测值分散变异的性质。,第一节 平均数,一、平均数的意义和种类,二、算术平均数的计算方法,三、算术平均数的重要特性,四、算术平均数的作用,五、总体平均数,一、平均数的意义和种类,平均数,(average),是数据的代表值，表示资料中观察值的中心位置，并且可作为资料的代表而与另一组资料相比较，借以明确二者之间相差的情况。,平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：,算术平均数（,arithmetic mean,）,中位数（,median,）,众数（,mode,）,几何平均数（,geometric mean,）,调和平均数（,harmonic mean,）,算术平均数,:,一个数量资料中各个观察值的总和除以观察值个数所得的商数，称为算术平均数,(arithmetic mean),，记作 。因其应用广泛，常简称平均数或均数,(mean),。均数的大小决定于样本的各观察值。,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,平均数,=5,平均数,=6,1 2 3 4 5 6 7 14,1,、算术平均数,2,、中位数,中位数,:,将资料内所有观察值从大到小排序，居中间位置的观察值称为中数,(median),，计作,Md,。当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。,中位数的计算方法因资料是否分组而有所不同。对于未分组资料，先将各观测值由小到大依次排列，找到中间的,1,个数（,n,为奇数）或,2,个数（,n,为偶数），之后求平均即可。,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,中位数,=5,中位数,=5,众数,:,资料中最常见的一数，或次数最多一组的中点值，称为众数,(mode),，记为,M,0,。如棉花纤维检验时所用的主体长度即为众数。,3,、众数,众数可能不存在,可能有多个众数,多用于属性数据,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14,众数,=9,没有众数,几何平均数,:,如有,n,个观察值，其相乘积开,n,次方，即为几何平均数,(geometric mean),，用,G,代表。,其计算公式如下：,4,、几何平均数,为了计算方便，可将各观测值取对数后相加除以,n,，得,lgG,，,再求,lgG,的反对数，即得,G,值，即：,调和平均数,:,（,harmonic mean,）各观测值倒数的 算术平均数 的倒数，称为调和平均数，记为,H,。即,（,4.6,）,5,、调和平均数,对于同一资料：,算术平均数,几何平均数,调和平均数,上述五种平均数，最常用的是算术平均数。,算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。,(,一,),直接法,主要用于未经分组资料平均数的计算。,二、算术平均数的计算方法,设某一资料包含,n,个观测值：,x,1,、,x,2,、,、,x,n,，,则样本平均数可通过下式计算：,（,4.1,）,简写：,【,例,1】,某植保站测得,10,只某类害虫的体重分别为,500,、,520,、,535,、,560,、,585,、,600,、,480,、,510,、,505,、,490,（,mg,），,求其平均数。,由于,x,=,500+520+535+560+585 +600+480+510+505+490,=5285,，,n,=10,得：,即,10,只害虫的平均体重为,528.5,mg,。,（,二）加权法,（,4.2,）,式中,：,x,i,-,第,i,组的组中值,；,f,i,-,第,i,组的次数,；,k,-,分组数,第,i,组的次数,f,i,是权衡第,i,组组中值,x,i,在资料中所占比重大小的数量，因此将,f,i,称为是,x,i,的“权”，加权法也由此而得名。,对于样本含量,n30,以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：,【,例,2】,从,A,、,B,两小区分别抽取,4,个和,5,个小麦麦穗，测得其样本如下，用两种方法计算其平均值，并比较计算结果。,【,例,3】140,行水稻产量（,P38,），,用两种方法求其平均数，并比较计算结果。,（,1,）直接法：,（,2,）加权法：,1,、算术平均数的计算与每一个数（值）都有关。,2,、如果 是,n,1,个值的平均数,是,n,2,个值的平均数，那么全部,n,1,n,2,个值的算术平均数是,（加权平均数）,三、算术平均数的重要特性,3,、,样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。,或简写成,4,、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。,（常数 ）,或简写为：,5,、若,A,为任意常数，,6,、平均数是有单位的数值，与原资料单位相同。,注意：,必须性状同质时，才有代表性,。,算术,平均数是描述观测资料的重要特征数，它的作用主要有以下两点：,1.,指出数据资料的中心位置，标志着资料所代表性状的数量水平和质量水平。,2.,可以作为样本或资料的代表数据与其他资料进行比较。,四、算术平均数的作用,对于总体而言，通常用,表示总体平均数，有限总体的平均数为：,（,4.3,）,式中，,N,表示总体所包含的个体数。,当一个统计量的数学期望等于所估计的总体参数时，则称此统计量为该总体参数的无偏估计量。,统计学中常用样本平均数（）作为总体平均数（,）,的估计量，并已证明样本平均数是总体平均数,的无偏估计量。,五、总体平均数,第二节 变异数,平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。每个样本有一批观察值，除以平均数作为样本的集中性表现外，还应该考虑样本内各个观察值的变异情况，才能通过样本的观察数据更好地描述样本，乃至描述样本所代表的总体，为此必须有度量变异的统计数。常用的描述变异程度指标有：,1,、极差（,range,）,2,、方差（,variance,）,3,、标准差（,standard deviation,）,4,、变异系数（,variation coefficient,）,一、极差,极差,(range),，又称全距，记作,R,，是资料中最大观察值与最小观察值的差数。,极差虽可以对资料的变异有所说明，但它只是两个极端数据决定的，没有充分利用资料的全部信息，而且易于受到资料中不正常的极端值的影响。所以用它来代表整个样本的变异度是有缺陷的。,二、方差,为了正确反映资料的变异度，较合理的方法是根据样本全部观察值来度量资料的变异度。这时要选定一个数值作为共同比较的标准。平均数既作为样本的代表值，则以平均数作为比较的标准较为合理，但同时应该考虑各样本观察值偏离平均数的情况，为此这里给出一个各观察值偏离平均数的度量方法。,为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异程度，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，,(),，称为离均差。,虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均差之和 为零，即,()=0,，,因 而 不 能 用离均差之和,(),来 表 示 资料中所有观测值的总偏离程度。,为了解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问 题，可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数,n,求 得 平 均 绝 对 离差，即,|,x x,|,/n,。,虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度，但由于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很不方便，在统计学中未被采用。,我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，且离均差之和为零的问题。,先将各 个离 均差平方，即,(),2,，再求 离均差平方和，即,，简称平方和，记为,SS,；,由 于 离差平方和 常 随 样 本 大 小 而 改 变，为 了 消 除 样 本大小 的 影 响，用平方和 除 以 样 本 大 小，即,，求出离均差平方和的平均数；,为了使所得的统计量是相应总体参数的无 偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量,n,，,而用自由度,n-,1,，,于是，我们 采 用统计量 表示资料的变异程度。,统计量 称为均方（,mean square,缩写为,MS,）,又称,样本方差,，记为,S,2,，,即,S,2,=,（,4.7,）,相应的总体参数叫 总体方差，记为,2,。,对于有限总体而言，,2,的计算公式为：,（,4.8,）,标准差为方差的正平方根值，用以表示资料的变异度,其单位与观察值的度量单位相同。从样本资料计算标准差的公式为：,同样，样本标准差是总体标准差的估计值。总体标准差用表示：,由于 样本方差 带有原观测单位的 平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时，常需要与平均数配合使用，这 时应 将平方单位还原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差,S,2,的平方根叫做样本标准差，记为,S,，,即：,三、标准差,由于,所以（,4.9,）式可改写为：,（,4.10,）,相应的总体参数叫总体标准差，记为,。,对于有限总体而言，,的计算公式为：,（,4.11,）,在统计学中，常用样本标准差,S,估计总体标准差,。,四、变异系数,标准差和观察值的单位相同，表示一个样本的变异度。若比较两个样本的变异度，则因单位不同或均数不同，不能用标准差进行直接比较。这时可计算样本的标准差对均数的百分数，称为变异系数,(coefficient of variation),。,变异系数是无量纲的量，可以用于不同单位、不同尺度下各样本变异程度的比较。,【,例,7】,已知某甲品种猪平均体重为,190,kg,，,标准差为,10.5,kg,，而乙品种猪平均体重为,196,kg,，,标准差为,8.5,kg,，,试问两个品种的猪，那一个体重变异程度大。,由于，甲品种猪体重的变异系数：,乙品种猪体重的变异系数：,所以，甲品种猪体重的变异程度大于乙品种,猪,。,注意：变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。,课后作业，教材,23,页：,习题,2.2,；习题,2.3,；习题,2.4,；习题,2.9,