D1-3函数极限.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、自变量趋于有限值时函数的极限,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,第三节,函数的极限,自变量变化过程的六种形式,:,根据自变量的这种变化过程，本节主要研究以下两种情况：,二、当自变量,x,的绝对值无限增大时，,f,(,x,),的变化趋势，,一、当自变量,x,无限地接近于,x,0,时，,f,(,x,),的变化趋势,一、自变量趋向有限值时函数的极限,这个函数虽在,x,=1,处无定义，但从它的图形上可见，当点从,1,的左侧或右侧无限地接近于,1,时，,f,(,x,),的值无限地接近于,4,，我们称常数,4,为,f,(,x,),当,x,1,时,f,(,x,),的极限。,1,x,y,o,4,怎样用数学语言刻划,问题,无限接近,于,确定值,A,？,1.,定义,定义,1,设,函数,有,定义,.,记作,或,恒有,在点,x,0,某,去心邻域内,注,定义习惯上称为极限的,定义其三个要素：,1,0,。正数,，,2,0,。,正数,，,3,0,。,不等式,定义中,所以,x,x,0,时,，,f,(,x,),有无极限与,f,(,x,),在,x,0,处的,状态并无关系，这是因为我们所关心的是,f,(,x,),在,x,0,附近的变化趋势，即,x,x,0,时,f,(,x,),变化有无终极目标，而不是,f,(,x,),在,x,0,这一孤立点的情况,。,约定,x,x,0,但,xx,0,0,反映了,x,充分靠近,x,0,的,程度，它依赖于,，,对一,固定的,而言，合乎定义要求的,并不是唯,一的。,由不等式,|,f,(,x,),A|,来,选定，,一般地，,越小，,越小,必存在,x,0,的去心邻域,对于此邻,域内,的,x,对应的函数图形位于这一带形区域内,.,作出带形区域,一般说来,应从不等式,出发,推导出应小于怎样的正数,这个正数就是要找的与 相对应的,这个推导常常是困难的,.,但是,注意到我们不需要找最大的,所以,适当放大些,的式子,变成易于解出,找到一个需要的,找到,就证明完毕,.,可把,证,这是证明吗？,非常非常严格！,例,1,例,2,证明,证,于是,恒有,例,3,证,min,可用,保证,练习,(1),证明,证,由于,要使,解出,只要,可取,有,解不等式,(2),证明,证,可取,有,3.,左、右极限,(,单侧极限,),例如,两种情况分别讨论,!,左极限,右极限,使得,时,或,使得,时,或,或,或,注,且,性质常用于判断,分段函数,当,x,趋近于,分段,点,时的极限,.,(1),左、右极限均存在,且相等；,(2),左、右极限均存在,但不相等；,(3),左、右极限中至少有一个不存在,.,找找例题！,函数在点,x,0,处的左、右极限可能出现,以下三种情况之一：,试证函数,证,左、右极限不相等,故,例,4,练习,y=f,(,x,),x,O,y,1,1,在,x,=1,处的左、右极限,.,解,练习,证,左右极限存在但不相等,二、自变量趋向无穷大时函数的极限,返回,通过上面演示实验的观察,:,问题,:,如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”,.,2.,另两种情形,A,x,f,x,=,-,),(,lim,解,显然有,可见,和,虽然都存在,但它们不相等,.,故,不存在,.,例,5,讨论极限 是否存在,?,图形,完全落在,:,例,6,证,成立,.,由极限的定义可知,:,例,7,证,要使,成立,.,只要,有,解不等式,练习,试证,证,注意,有,为了使,只要使,有,的,图形的,水平,渐近线,(horizontal asymptote).,结论,则直线,三、函数极限的性质,函数极限与数列极限相比,有类似的性质,定理,1(,极限的唯一性,),有极限,若在自变量的某种变化,趋势下,则极限值必唯一,.,定理,2(,局部有界性,),f,(,x,),有极限,则,f,(,x,),在 上有界,;,f,(,x,)有,极限,且证明方法也类似,.,定理,3(,局部保号性,),证,(1),设,A0,取,正数,即,有,自己证,只要取,便可得更强的,结论,:,证,(1),也即,(2),自己证,.,定理,3(1),的证明中,不论,定理,证,假设上述论断不成立,那末,由,(1),就有,在,该邻域内,这与,所以,类似可证 的情形,.,假设,矛盾,若定理,3(2),中的条件改为,必有,不能,!,如,思考,是否,定理,3,定理,3,定理,4(,函数极限与数列极限的关系,),如果极限,存在,为函数,的定义域内任一收敛于,x,0,的数列,那么相应的函数值数列,且满足,:,必收敛,且,证,设,则,有,对此,有,有,即,),(,lim,0,x,f,x,x,).,(,lim,),(,lim,0,x,f,x,f,x,x,n,n,=,=,),(,lim,n,n,x,f,A,),(,lim,0,A,x,f,x,x,=,例,8,证,二者不相等,1.,函数极限的,或,定义,;,2.,函数极限的性质,局部保,号,性,;,四、小结,唯一性,;,局部有界性,;,函数极限与数列极限的关系,;,3.,函数的左右极限判定极限的存在性,.,思考题,1.,设函数,且,存在,则,2.,4.,试证,3.,解,（,1,）,(2),证,(3),试证,提示,仅需在,附近讨论问题,如限定,即限定在,范围内,讨论问题,.,这时,作业,习题,1-3(37,页,),1.(3)2.(2)5.6,