计算物理课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,计算物理,125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics,有限差分方法,有限差分方法,物理问题和数学方程,有限差分原理,矩形区域中的泊松方程,迭代解法,非矩形区域中的泊松方程,一维扩散方程,二维扩散方程,一维波动方程,物理问题和数学方程,(1/5),物理问题,连续体,(,气体、液体、固体,),和场,(,电磁场、温度场,),状态用关于时间和空间的函数描述：,u,=,u,(,x,y,z,t,),系统遵循特定的物理规律，即,u,的变化满足特定的,(,偏微分,),方程,数学方程的建立,稳定过程：泊松方程,静电场：电场的散度正比电流密度，等于势场,u,的梯度,静磁场：类似于,静电场,物理问题和数学方程,(2/5),输运过程：扩散方程,扩散：流体由于不均匀而发生扩散，扩散密度正比于密度的梯度，同时满足质量守恒,热传导：类似于,扩散,振动传播：波动方程,交变电磁场,机械振动,物理问题和数学方程,(3/5),方程的分类,二阶线性偏微分方程的一般形式,椭圆型,(,B,2,-4,AC,0,),：一维波动,方程,物理问题和数学方程,(4/5),边界条件和初始条件,物理：过程的具体特征与初始状态和边界,(,受外界影响,),有关,数学：偏微分方程有无限个解，定解需要初始和边界条件,边界条件,第一类,第二类,当,u,是电磁场的势，则,代表场强,当,u,是密度,/,温度,/,位移，则,是流量,/,热流,/,应力,当,q,0,=0,时称为第二类齐次边界条件,物理问题和数学方程,(5/5),第三类,例：热传导，系统通过表面与外界交换热量：表面热流 正比于表面温度,u,与外界温度,u,0,之差，即,初始条件,初始瞬间待求函数,u,在各处的值：,初始瞬间,u,在各处对时间的变化率：,求解方法,大多数没有解析解，只能数值求解,求解方法：变分解法、有限元法、有限差分法，边界元法,有限差分原理,(1/3),差商格式,基础：用差商代替微商,(,离散化,),有限差分原理,(2/3),误差为,O,(,h,),的差商公式,有限差分原理,(3/3),误差为,O,(,h,2,),的差商公式,差商格式的收敛性和稳定性,收敛性：当步长,h,0,时，差分方程的解是否收敛于微分方程的解,稳定性：误差,D,u,在运算过程中是否失控，即累计误差是否无限增加,矩形区域中的泊松方程,(1/1),五点差商格式,二维泊松方程,收敛性和稳定性：在给定边界条件下具有唯一解，当,h,0,时趋于解析解,拉普拉斯方程,方程,(,f,(,x,y,)=0,),五点差商格式,迭代解法,(1/6),差分方程组的特点,方程个数等于内点数，每条方程最多含,5,个未知项,系数矩阵是稀疏和带状的,跌代法求解：同步法、异步法和逐次超松弛法,同步法,用第,k,步的,u,值，代入方程的右边，计算得到新的,u,值，用在第,k,+1,步，,；直到新旧的,u,差值小于设定的误差,特点：需要两套内存,(,存放,u,),，收敛慢,异步法,计算第,k,+1,步的,u,i,j,时，,u,i,-1,j,和,u,i,j,-1,已经知道,特点：需要一套内存,(,存放,u,),，收敛较快,迭代解法,(2/6),逐次超松弛法,将第,k,步的,u,值，与异步法中计算得到的,u,值，加权平均，用在第,k,+1,步,特点：加权因子,w,对跌代次数的影响很大。经验公式,迭代解法,(3/6),矩形区域的第二和三类边界条件,当,a,和,b,是,x,y,的函数时，应,a,=,a,(,x,i,y,j,),和,b,=,b,(,x,i,y,j,),对第二边界条件，令,a,=0,迭代解法,(4/6),不规则区域,第一类边界,(,不对称网格方法,),第二类边界,结点在边界上,结点不在边界上：过结点,P,向边界作垂线，交于,P,点，以,P,代替,P,第三类边界,前两类边界条件的组合,迭代解法,(5/6),例：求解拉普拉斯方程,迭代解法,(6/6),例：求解拉普拉斯方程，边界条件如右图所示,取,h,=5,，有三个内点：,u,A,u,B,u,C,转化为线性方程组,方程的解,收敛性,h,5,5/2,5/4,5/8,5/16,5/32,u,A,1.786,1.289,1.144,1.107,1.097,1.095,u,B,7.143,6.019,5.632,5.525,5.498,5.491,u,C,26.786,26.289,26.144,26.107,26.097,26.095,非矩形区域中的泊松方程,(1/3),二维圆形区域,(,极坐标系,(,r,j,),),泊松方程的差分格式,圆心,(,i,=1,),的差分格式：以上格式不适合，利用直角坐标系的五点差分格式,周期性条件,边界条件,非矩形区域中的泊松方程,(2/3),例：同轴线两导线,(,内导线半径,a,，外导线半径,b,),间为均匀介质,(,相对介电常数,e,),，电位差为,V,0,，求电势分布,差分格式,非矩形区域中的泊松方程,(3/3),轴对称区域,(,柱坐标系,(,r,f,z,),(,r,z,),),泊松方程的差分格式,对称轴,(,i,=1,),的差分格式：以上格式不适合,其它形状区域,/,边界,网格边界,/,近似插值,实际边界,有限元方法,/,边界元方法,一维扩散方程,(1/3),一维扩散方程,一维扩散方程,(2/3),隐式六点差分格式,(,C,-,N,格式,),由,k,时的,u,值求,k,+1,时的,u,值,要求解线性方程组,隐式的,涉及六个结点的,u,值,六点,误差,O,(,h,2,),+,O,(,t,2,),，,无条件稳定的,边界条件的差分格式,一维扩散方程,(3/3),差分,方程,组及其求解,二,维扩散方程,(1/3),二,维扩散方程,二维扩散方程,(2/3),交替方向隐式差分格式,(,ADI,格式,),由,k,时的,u,值求,k,+1,时的,u,值,，,由,k,+1,时的,u,值求,k,+2,时的,u,值,u,y,在,k,+1/2,时用,k,的中心差商,(,反向的,),，,在,k,+3/2,时用,k,+2,的中心差商,(,正向的,),交替方向的,要求解线性方程组,隐式的,误差,O,(,h,2,),+,O,(,t,2,),，,无条件稳定的,线性方程组形式上与一,维扩散方程的相同，解法也相同,二维扩散方程,(3/3),边界条件的差分格式,虚点：,i,=0,i,=,N,+1,j,=0,j,=,M,+1,回代,交替方向隐式差分格式，得到边界的差分格式,当,t,=1,3,5,.,时，依次选择,x,，沿,y,方向计算方程组,当,t,=2,4,6,.,时，依次选择,y,，沿,x,方向计算,一维波动方程,(1/3),一维波动方程,一维波动方程,(2/3),显式差分格式,由,k,-1,和,k,时的,u,值,，直接求,k,+1,时的,u,值，不必解方程组,显式,的,误差,O,(,h,2,),+,O,(,t,2,),，当,P,1,时收敛和,稳定,初值条件的差分格式,边界条件的差分格式,一维波动方程,(3/3),例：求解,一维波动方程,作业,求解泊松方程。取,h,=0.2,w,=1.25,e,=10,-4,。并与解析解,u,=,xe,y,比较,求解一维扩散方程。取,a,1,=,b,1,=,a,2,=-,b,2,=1,c,1,=,c,2,=0,l,=1,t,max,=10,D,=0.1,h,=0.1,t,=10,-4,。并与解析解,u,=,e,x,+0.1,t,比较,