实变函数第一第四讲ppt.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四节 不可数集,第一章 集合,1,不可数集的存在性,(,区间,0,1,是不可数集,),0 1/3 2/3 1,证明：假设,0,1,是可数集,则,0,1,可以写成一个无穷,序列的形式：,0 1/3 2/3 1,数的进位制简介,十进制小数 相应于 对,0,1,十等分,二进制小数 相应于 对,0,1,二等分,三进制小数 相应于 对,0,1,三等分,说明：对应,0,1,十等分的,端点,有两种表示，如,0.2000000,0.1999999,（,十进制小数,）,第一次十等分确定第一位小数,第二次十等分确定第二位小数,不可数集的存在性的另一种证明,证明：假设（,0,1,）是可数集,则（,0,1,）可以写成一个无穷,序列的形式：,把每个数写成正规小数（不能以,0,为循环节）,令,x=0.a,1,a,2,a,3,a,4,其中,则,得到矛盾，所以,(0,1),是不可数集。,定义：与,0,1,区间对等的集合称为连续势集，,其势记为 ，显然：,例：,1,）,R(0,1)0,1 0,1)R,+,(ab),2,连续势集的定义,2,）,无理数集为连续势集,（无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）,3,连续势集的性质（卡氏积）,（,1,）,有限个,、,可数个,连续势的卡氏积仍为连续势集,1874,年,Cantor,考虑,R,与,R,n,的对应关系，并企图证,明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年，,他证明了一一对应关系是存在的，从而说明,R,n,具,有连续基数,，,他当初写信给,Dedekind,说：,“,我看到了它，但我简直不能相信它,”,.,推论,平面与直线有“相同多”的点,连续势集的性质（并集）,连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集,(,0 1 2 n-1 n,(,0 1 2 n-1 n,y,4,无最大势定理,从而说明无限也是分很多层次，且不存在最大的集合,.,此证为对角线方法，与,(0,1),是不可数集的证明比较。,尽管,Cantor,在,1883,年就证明了这个定理，但直到,1899,年,Cantor,才发现，这个定理本身与他给出的集合的定义有矛盾，即所谓的,Cantor,的最大基数悖论,.,因此,Cantor,在,1899,年给,Dedekind,的一封信中曾指出,人们,要想不陷于矛盾的话,就不能谈论由一切集合所组成的集合,.,集合悖论,证明：由于,N,的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故,2,N,与,0,1,N,对等；下证：,说明：相当于把 对应到一个三进制小数,5,可数势与连续势,思考：为什么不用二进制。,N,上的特征函数全体,Hilbert,在,1900,年第二届国际数学家大会上将它列为二十三个难题的第一个问题。,注记：,从前面我们已经看到：,Cantor,认为在 之间不存在别的基数，,即不存在这样的集合,A,使得,但,Cantor,证明不了,这就是著名的,Cantor,连续统假设。,连续统假设,在,Zermelo,-Frankel,公理集合论体系下,参见：,数学与哲学,张景中，,数理逻辑概貌,莫绍揆,ZF,公理集合论体系下的连续统假设,1940,年,Godel,证明了连续统假设的相容性,（即不能证明它不真）；,1962,年,Stanford,大学的,P.J.Cohen,证明了它的独立性,（即不能用其他公理证明它真）；,6,基数的运算,对一些记号的说明,思考：如何推广,不可数个,集合的,卡氏积？,第五节 半序集,第一章 集合,1,半序集,数学三大母结构（,Bourbaki,学派观点）：,拓扑结构（邻近关系），代数结构（运算关系），,序结构（顺序关系）（测度（长度、面积、体积）,例：对实数集,R,有远近关系，四则运算，大小顺序，区间有长度,半序集定义,自反性,:,反对称性,:,传递性,:,则称,A,按 成一半序集（偏序集）。,设,A,是一集合，为,A,中的某些元素的关系,且满足,:,例,是一半序集,.,是一半序集,.,2 Zorn,引理与选择公理,Zorn,引理：设 是一偏序集，,A,中的,每个全序子集有上界，则,A,必有极大元。,选择公理：设 为一簇两两不交的,非空集簇，则存在一集,B,使得,是单元素集。,对选择公理的说明,利用选择公理，,Banach,在,1924,年证明了分球定理，即一个闭球,U,可分解成两个互不相交的集合,A,，,B,且,U,与,A,可 由相同多的有限多个互相合同的子集并成，,U,与,B,可由相同多的有限多个互相合同的子集并成；粗略来说即可,把一个球,U,分解成两个与,U,具有同样体积的球,A,和,B,。,（,见：王世强,数理逻辑与范畴论应用,）,选择公理的说明,通俗讲，假如有无限双鞋子，则我们有一规则，从每双鞋子中取出左脚穿的,鞋子,，其总体构成一集合；但若是无限双,袜子,，由于袜子不分左右，所以就有多种选择，要承认这种,成员不确定,的集合存在，就要引用选择公理。数学中许多重要定理的证明都需要用到选择公理，如,Lebesgue,不可测集的存在，拓扑空间紧性 的,Tychonoff,定理等。,注：关于选择公理的一些等价命题，可参见,一般拓扑学,（,J.L.Kelly p34,）,