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2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型1第二章第二章控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论普通高等教育普通高等教育普通高等教育普通高等教育“九五九五九五九五”部级重点教部级重点教部级重点教部级重点教材材材材2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型2描述系统运动的数学模型描述系统运动的数学模型自动控制理论自动控制理论状态变量描述状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式状态方程是这种描述的最基本形式;适用于多变量控适用于多变量控制系统，时变系统，非线性系统；制系统，时变系统，非线性系统；MIMO建立系统数学模型的方法建立系统数学模型的方法 实验法实验法 解析法解析法 输入输出描述输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出等其它模型均由它而导出;SISO2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型3第一节第一节 列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的一般方法线性系统的叠加原理线性系统的叠加原理自动控制理论自动控制理论用表示系统输入用表示系统输入r(t)和输出和输出c(t)之间动态关系的微分方之间动态关系的微分方程可对系统进行描述。程可对系统进行描述。线性定常系统线性定常系统线性时变系统线性时变系统非线性系统非线性系统线性系统与非线性系统根本区别：线性系统满线性系统与非线性系统根本区别：线性系统满足叠加原理，非线性系统不满足叠加原理足叠加原理，非线性系统不满足叠加原理举例举例2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型4 叠加原理叠加原理自动控制理论自动控制理论结论：对于线性系统，一个输入的存在不影响结论：对于线性系统，一个输入的存在不影响另一个输入引起的输出，即，对线性系统，各个另一个输入引起的输出，即，对线性系统，各个输入产生的输出是互不影响的。输入产生的输出是互不影响的。系统系统系统系统系统系统2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型5用解析法建立系统微分方程的一般步骤用解析法建立系统微分方程的一般步骤自动控制理论自动控制理论分析系统工作原理和系统中变量的关系，确定系统的输入量与输出分析系统工作原理和系统中变量的关系，确定系统的输入量与输出量量选择合适的中间变量，根据基本的物理定律，列写出系统中每一个选择合适的中间变量，根据基本的物理定律，列写出系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式元件的输入与输出的微分方程式消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式对非线性项加以线性化对非线性项加以线性化Note:列写好的微分方程式与输入有关的各项放在等式右列写好的微分方程式与输入有关的各项放在等式右边，与输出有关的各项放在等式的左边，各阶导数项按边，与输出有关的各项放在等式的左边，各阶导数项按降幂排列。降幂排列。2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型6举例举例自动控制理论自动控制理论图图2-1-L-C电路电路例例2-1图示为一图示为一RLC电路，求电路，求Uc与与Ur的微分方程式的微分方程式消去中间变量消去中间变量 ，则有，则有:上式为上式为RLC电路的数学模型，描述了该电路在电路的数学模型，描述了该电路在Ur作用下，作用下，电容电压电容电压Uc的变化规律。的变化规律。解：由基尔霍夫定律得解：由基尔霍夫定律得2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型7 系统元件的负载效应系统元件的负载效应自动控制理论自动控制理论Note：对电路按回路或支路列写个元件的微分方程。对电路按回路或支路列写个元件的微分方程。若系统中含有若系统中含有n个独立的储能元件，则微分方个独立的储能元件，则微分方程为程为n阶。阶。负载效应，也称耦合。对于由两个以上物理元负载效应，也称耦合。对于由两个以上物理元件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使件组成的系统而言，若其中一个元件的存在，使另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有另一个元件在相同输入下的输出受到影响，则有如前者对后者施加了负载。如前者对后者施加了负载。2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型8自动控制理论自动控制理论例例2-2.试写出图试写出图2-2电路的微分方程电路的微分方程解解 由基尔霍夫定律列出下列方程组由基尔霍夫定律列出下列方程组消去中间变量消去中间变量i1 、i2 得得或写作或写作在在R1C1和和R2C2两级回路两级回路中加上隔离放大器即可消中加上隔离放大器即可消除负载效应除负载效应图图2-2 R-C滤波网络滤波网络例题补充例题补充2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型9自动控制理论自动控制理论例例2-3.2-3.求外力求外力F(t)F(t)与质量块与质量块mm位移位移(t)(t)之间的微分方程之间的微分方程解解 由牛顿第二定律列出方程由牛顿第二定律列出方程图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统即即式中，式中，为阻尼第数；为阻尼第数；为弹簧的弹性系数。为弹簧的弹性系数。k y(t)k y(t)弹性拉力弹性拉力阻尼器阻力阻尼器阻力2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型10自动控制理论自动控制理论第二节第二节 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化非线性数学模型线性化的假设非线性数学模型线性化的假设 变量对于平衡工作点的偏离较小变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在微偏法微偏法在给定工作点邻域将此非线性函数展开泰勒级数，并略去二阶及二阶以上在给定工作点邻域将此非线性函数展开泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。设一非线性元件的输入为设一非线性元件的输入为x、输出为、输出为y，它们间的，它们间的 关系如图关系如图2-9所示，相应的数学表达式为所示，相应的数学表达式为图图 2-9 非线性特性的线性化非线性特性的线性化y=f(x)（2-13）2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型11自动控制理论自动控制理论在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型12自动控制理论自动控制理论第三节第三节 传递函数传递函数传递函数的定义传递函数的定义设线性定系统的微分方程式为设线性定系统的微分方程式为2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型13自动控制理论自动控制理论在零初始条件下，对上式进行拉式变换得在零初始条件下，对上式进行拉式变换得传递函数的定义传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。函数。Note:一般将外界输入作用前的输出的初始条件一般将外界输入作用前的输出的初始条件 称为系统的初始状态或初态。称为系统的初始状态或初态。2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型14（1）传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。（2）由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方）由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子 用复变量用复变量s表示，表示，把把c(t)和和r(t)换为相应的象函数换为相应的象函数C(s)和和R(s)，则就把微分方程转换为，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之亦然。相应的传递函数。反之亦然。单位脉冲响应及应用单位脉冲响应及应用自动控制理论自动控制理论小结：小结：系统单位脉冲响应系统单位脉冲响应g(t)与传与传递函数递函数G(s)的关系是时域的关系是时域t 到复数域到复数域s的单值变换关系。的单值变换关系。2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型15如果已知系统的单位脉冲响应如果已知系统的单位脉冲响应g(t),则利用卷积积分求解系统在任何输入则利用卷积积分求解系统在任何输入r(t)作用下的输出响应作用下的输出响应,即即下面以一个下面以一个R-C电路电路(图图2-11)为例为例,说明卷积积分的应用说明卷积积分的应用该电路的微分方程为该电路的微分方程为自动控制理论自动控制理论图图2-11 R-C电路电路2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型16自动控制理论自动控制理论1、单位阶跃输入、单位阶跃输入由于由于2、单位斜坡输入、单位斜坡输入3、正弦输入、正弦输入式中式中2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型17传递函数的性质传递函数的性质自动控制理论自动控制理论 传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关和形式无关 若系统输入已给定，则系统的输出完全取决于其传递函数若系统输入已给定，则系统的输出完全取决于其传递函数 传递函数只适用于线性定常系统传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量传递函数为复变量S的有理分式，它的分母多项式的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式的最高阶次总是大于或等于其分子多项式的最高阶次m，即，即nm 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的传递函数可以是有量纲的，也可以是无量纲的。eg 一个传递函数是由相应的零、极点组成一个传递函数是由相应的零、极点组成物理性质不同的系统、环节或元件可以具有相同类型的传递函数物理性质不同的系统、环节或元件可以具有相同类型的传递函数一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性系统内部的特性2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型18自动控制理论自动控制理论图图2-12 多输入多输出系统多输入多输出系统 由图由图2-12得得对于多输入对于多输入多输出的系统，多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，例如图们间的关系，例如图2-12所示所示的系统的系统2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型19自动控制理论自动控制理论典型环节的传递函数典型环节的传递函数特点：特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化比例环节比例环节惯性环节惯性环节特点：特点：输出量延续地反映输入量的变化规律输出量延续地反映输入量的变化规律微分方程微分方程2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型20自动控制理论自动控制理论积分环节积分环节特点：特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有图图2-13 积分环节模拟电路图积分环节模拟电路图例如图例如图2-13所示的积分器，其传递函数为所示的积分器，其传递函数为2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型21微分环节微分环节理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即图2-14 微分环节模拟电路图微分环节模拟电路图1）实际的微分环节，如图）实际的微分环节，如图2-14所示，它的所示，它的传递函数为：传递函数为：自动控制理论自动控制理论2）直流测速发电机。如图）直流测速发电机。如图2-15所示，所示，图图2-15直流测速发电机直流测速发电机2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型22振荡环节振荡环节特点：特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式微分方程微分方程自动控制理论自动控制理论具有式（具有式（2-33）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型23自动控制理论自动控制理论1）R-L-C电路的传递函数电路的传递函数2）弹簧）弹簧-质量质量-阻尼器系统的传递函数阻尼器系统的传递函数3）直流他励电动机在变化时的传递函数）直流他励电动机在变化时的传递函数上述三个传递函数在化成式（上述三个传递函数在化成式（2-33）所示的形式时，虽然它们的阻）所示的形式时，虽然它们的阻尼比尼比和和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们，则它们都是振荡环节。都是振荡环节。2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型24自动控制理论自动控制理论纯滞后环节纯滞后环节图图2-16纯滞后纯滞后 环节模拟电路图环节模拟电路图则则如果如果2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型25自动控制理论自动控制理论第四节第四节 控制系统的方框图和传递函数控制系统的方框图和传递函数绘制系统方框图的一般步骤绘制系统方框图的一般步骤1、写出系统中每一个部件的运动方程式写出系统中每一个部件的运动方程式2、根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示在框中填入相应的传递函数个方框表示在框中填入相应的传递函数3、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端例例2-5 绘制图绘制图2-18所示电路的方框图所示电路的方框图1）列方程）列方程2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型26自动控制理论自动控制理论2）画出上述两式对应的方框图）画出上述两式对应的方框图3）将两方框图按信号的流向依次连接，求得）将两方框图按信号的流向依次连接，求得2-19C的系统方框图的系统方框图例例2-6 绘制图绘制图2-2所示所示R-C网络方框图网络方框图1）列方程）列方程2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型27自动控制理论自动控制理论2）画出上述四式对应的方框图，如图）画出上述四式对应的方框图，如图2-20a所示所示3）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图）根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，就得到图2-20b所所示的方框图示的方框图2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型28自动控制理论自动控制理论方框图的等效变换方框图的等效变换1、串联连接、串联连接图图2-23通式：通式：2、并联连接、并联连接图图-2-242024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型29自动控制理论自动控制理论由图由图2-24得得通式：通式：3、反馈连接、反馈连接图图2-252024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型30自动控制理论自动控制理论1）负反馈连接）负反馈连接2）正反馈连接）正反馈连接例如例如4、引出点移动、引出点移动1）引出点后移）引出点后移图图2-262024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型312）引出点前移）引出点前移5、综合点移动、综合点移动1）综合点后移）综合点后移自动控制理论自动控制理论2）综合点前移）综合点前移2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型32自动控制理论自动控制理论例例2-27，求图，求图2-27所示系统的传递函数所示系统的传递函数C(s)/R(s)解 将图中引出点A后移,然后从内回路到外回路逐步化简,其过程为图2-28所示图图2-272024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型33自动控制理论自动控制理论图图2-282024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型34控制系统的传递函数控制系统的传递函数设系统如图设系统如图2-30所示所示,图中图中R(s)参数输入参数输入,D(s)扰动扰动1、开环传递函数、开环传递函数系统反馈量系统反馈量B(s)与误差信号与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即的比值称为开环传递函数。即自动控制理论自动控制理论图图2-302、参改输入作用下的闭环传递函数、参改输入作用下的闭环传递函数令令D(s)=0，则图，则图2-30变为图变为图2-312024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型35根据式（根据式（2-39）求得）求得自动控制理论自动控制理论图图2-31系统的输出为系统的输出为如果如果H(s)=1，则图，则图2-31所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型36自动控制理论自动控制理论3、扰动、扰动D(s)作用下的闭环传递函数作用下的闭环传递函数令令r(t)=0，把图，把图2-30改画为图改画为图2-32，由该图求得，由该图求得2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型37图图2-33自动控制理论自动控制理论2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型38当系统同时受到当系统同时受到R(s)和和 D(s)作用时，由叠加原理得系统总的输出为作用时，由叠加原理得系统总的输出为自动控制理论自动控制理论系统总的误差为系统总的误差为2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型39第五节第五节 信号流图和梅逊公式的应信号流图和梅逊公式的应用用信号流图也是一种图示法，反它应用于线性系统时必须先将系统的信号流图也是一种图示法，反它应用于线性系统时必须先将系统的微分议程组变成以微分议程组变成以S为变量的代数方程组，且把每个议程改写为下为变量的代数方程组，且把每个议程改写为下列的因果形式列的因果形式信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路信号流图的基本组成单元有两个：节点和支路节点在图中用节点在图中用“O”表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系用表示，它表示系统中的变量；两变量间的因果关系用一被称为支路的有向线段来表示。箭头表示信号的传输方向，两变量间一被称为支路的有向线段来表示。箭头表示信号的传输方向，两变量间的因果关系叫做增益，标明在相应的支路旁的因果关系叫做增益，标明在相应的支路旁例一个线性方程为例一个线性方程为自动控制理论自动控制理论2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型40举例说明信号流图绘制的步骤。设一系统的线性方程组为举例说明信号流图绘制的步骤。设一系统的线性方程组为绘制的步骤如图绘制的步骤如图2-35所示。所示。自动控制理论自动控制理论图图2-35 方程组的信号流程方程组的信号流程2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型41信号流图的术语和性质信号流图的术语和性质1、术语、术语1）节点）节点代表系统中的变量代表系统中的变量,并等于所有流入该节点的信号之和。并等于所有流入该节点的信号之和。2）支路）支路信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一个节点3）输入节点或源点）输入节点或源点相当于自变量，它只有输出相当于自变量，它只有输出 支路。支路。4）输出节点或阱点）输出节点或阱点它是只有输入支路的节点，对应于因变。它是只有输入支路的节点，对应于因变。5）通路）通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路沿着支路的箭头方向穿过各相连支路的途径，称为通路 开通路开通路通路与任一节点相交不多于一次通路与任一节点相交不多于一次 闭通路闭通路通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交通路的终点也是通路的起点，并且与任何其它节点相交 不多于一次不多于一次6）前向通路）前向通路从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，此通路自然保护区为前向通路一次，此通路自然保护区为前向通路7）回路）回路就是闭环通路就是闭环通路8）不接触回路）不接触回路批一些回路间没有任何公共节点批一些回路间没有任何公共节点 9）前向通路增益）前向通路增益在前向通路中多支路增益的乘积。在前向通路中多支路增益的乘积。10）回路增益）回路增益回路中多支路增益的乘积。回路中多支路增益的乘积。自动控制理论自动控制理论2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型422、性质、性质1）信号流图只适用于线性系统）信号流图只适用于线性系统2）支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上）支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上的箭头指向传递的箭头指向传递3）要节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并反相加后的信号传送）要节点上可以把所有输入支路的信号叠加，并反相加后的信号传送到甩有的输出支路到甩有的输出支路4）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路，可以把它作为输出节点来处理路，可以把它作为输出节点来处理5）对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。）对于一个给定的系统，其信号流图不是唯一的。自动控制理论自动控制理论图图2-36列出了部分常见控制系统的方框图和相应的信号流图。列出了部分常见控制系统的方框图和相应的信号流图。2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型43图图2-36 框图与相应的信号流图框图与相应的信号流图自动控制理论自动控制理论2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型44梅逊增益公式梅逊增益公式梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示梅逊公式用于计算输入节点与输出节点间的总增益，它用下式表示自动控制理论自动控制理论2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型45图图2-37自动控制理论自动控制理论例例2-9 试用梅逊公式求系统的闭环传递函数试用梅逊公式求系统的闭环传递函数和和2024/4/15 周一第二章 控制系统的数学模型46解：解：自动控制理论自动控制理论1）2）