工学结构动力学.pptx

结构动力学结构动力学第第2章章 单自由度系统振动单自由度系统振动天津大学建筑工程学院船舶工程系天津大学建筑工程学院船舶工程系单自由度系统单自由度系统：振动系统任意时刻的空间位置只需一个独立几何参数表达。2.1 2.1 运动方程的建立运动方程的建立一、运动模型一、运动模型1.1.从实际物体抽象出来的运动模型从实际物体抽象出来的运动模型 单点系泊系统力学模型单点系泊系统力学模型自升式平台2.符号模型符号模型Cy 上下运动 水平运动y分别表示质量、刚度和阻尼。即二、受力分析，建立运动方程二、受力分析，建立运动方程 直接平衡法直接平衡法 虚位移原理：虚位移原理：如果一个平衡体系在一组力的作用下发生虚位移，则这些力所做的总功将等于零。例题2-1：应用直接平衡法建立系统的运动方程。图 2-1(a)图2-1（b）总结总结1.直接平衡法建立运动方程的步骤：直接平衡法建立运动方程的步骤：建立坐标系，确定坐标原点。受力分析，施加弹性恢复力，阻尼力，惯性力。建立方程（力平衡方程）建立运动方程时坐标原点的选择建立运动方程时坐标原点的选择放在结构的静平衡位置，不需要考虑重力。结果的位移为动位移动位移，总的位移静位移动位移。2.运动方程的统一形式运动方程的统一形式：例题2-2：虚位移原理建立振动方程 系统由两根刚性杆组成,两根杆用铰D连接在一起,AD杆单位长度的质量为 ，不计DB杆的质量，DB杆的中点有质量m,建立振动微分方程。这些带*的符号分别称为:广义质量、广义阻尼、广义刚度和广义荷载,或者称为等效质量、等效阻尼、等效刚度和等效荷载。上式可进一步写为：其中3.3.振动系统三个重要的力振动系统三个重要的力n惯性力惯性力n阻尼力阻尼力n弹性恢复力弹性恢复力4.4.振动体系的动力学参数振动体系的动力学参数 m-m-质量质量 c-c-阻尼系数阻尼系数 k-k-刚度系数刚度系数简支梁，对梁中点施加单位力产生的变形为：悬臂梁刚度：例题2-3 悬臂梁振动系统如图所示，建立振动微分方程。梁的刚度EI为常数，长为L，不计梁的质量。假定质量为m仅发生垂向运动，阻尼系数为c，弹簧刚度为 。m梁的刚度EI为常数，长为L，不计梁的质量。假定质量为m仅发生垂向运动，阻尼系数为c，弹簧刚度为 。例题2-4 悬臂梁振动系统如图所示，建立振动微分方程。如果两个弹簧的刚度分别为 ，则等效刚度 分别为串联：并联：k1k2弹簧并联 弹簧串联 2.22.2无阻尼系统自由振动分析无阻尼系统自由振动分析一、固有频率和振动形式一、固有频率和振动形式运动方程：运动方程：记记系统固有频率系统固有频率设特解的形式为：设特解的形式为：式称为振型函数，包含三个重要参数：式称为振型函数，包含三个重要参数：振幅振幅A A：振动系统的质量离开平衡位置的最大距离。振动系统的质量离开平衡位置的最大距离。固有频率固有频率:,描述振动的快慢，圆频率，单位为描述振动的快慢，圆频率，单位为rad/srad/s，表示表示2 2 内振动的次数。内振动的次数。相位相位 :无阻尼系统自由振动响应的特点无阻尼系统自由振动响应的特点为简谐响应：振动频率：振动的幅值：相位：自由振动：给系统一定的能量后，系统在振动过程自由振动：给系统一定的能量后，系统在振动过程中，不存在任何干扰。中，不存在任何干扰。固有频率：指结构体系在固有频率：指结构体系在2 2内振动的次数内振动的次数，圆频率，圆频率，单位为单位为rad/s，与初始条件无关，只与结构体系的刚与初始条件无关，只与结构体系的刚度和质量有关。度和质量有关。若0，则振动的位移、速度、加速度之间的关系为：位移为零时：即位移为零，速度最大；即位移为零，加速度为零；位移最大时：即位移最大，速度为零；即位移最大，加速度最大；结论：结论：速速度度的的相相位位比比位位移移相相位位超超前前,加加速速度度的的相相位位比比速速度的相位超前度的相位超前;位位移移为为零零时时,加加速速度度也也为为零零,但但速速度度值值最最大大;位位移移最最大时大时,速度为零速度为零,加速度最大加速度最大;加加速速度度大大小小和和位位移移成成正正比比,但但其其方方向向总总是是与与位位移移相反相反,即始终指向平衡位置。即始终指向平衡位置。特点：只和系统的质量、刚度有关，与外激励无关。特点：只和系统的质量、刚度有关，与外激励无关。固有频率：固有频率：复习：无阻尼系统自由振动响应的特点复习：无阻尼系统自由振动响应的特点为简谐响应：振动频率：振动的幅值：相位：二、固有频率的计算1.基本公式基本公式例题例题2-5 梁的长度为L，刚度为EI，梁中点处电动机的质量为m，发生垂向振动。忽略梁的质量，求梁-电机系统的固有振动频率。例题2-6 悬臂梁系统，求系统固有频率。梁的刚度EI为常数，长为L，不计梁的质量。假定质量为m仅发生垂向运动，阻尼系数为c，弹簧刚度为 。m2.2.建立运动方程，求固有频率建立运动方程，求固有频率 m3.3.静伸长法求固有频率静伸长法求固有频率4.能量法求固有频率 对于没有阻尼的理想振动系统,在振动过程中，没有能量消耗动能和势能之和保持为常数，即：对于质量弹簧系统,其动能和势能分别为：令最大动能等于最大势能，可以求出固有频率。为求固有频率，关键是写出振动系统的最大动能和最大势能。位移 速度 有有等效刚度等效刚度等效质量等效质量2.3 有阻尼系统自由振动分析有阻尼系统自由振动的方程为：称为阻尼比，单位为：即没有量纲，所以称为无量纲阻尼比。记(b)有阻尼固有频率有阻尼固有频率 临界阻尼情况令 ，采用特征根法解方程(b),有：式(b)的解的形式为：(d)(c)其中 由初始时刻的状态决定。运动仅在水平轴的一侧发生，不具有振动的特性运动仅在水平轴的一侧发生，不具有振动的特性。振动：体系在平衡位置附近的往复运动。振动体系在平衡位置附近的往复运动。:临界阻尼系数。临界阻尼系数。大阻尼情况方程的解方程的解y(t)同样不具有振动的特性。同样不具有振动的特性。(c)自由振动频率为复数。小阻尼情况 设t=0时有：其中，有阻尼固有频率其中，画出 曲线如下:振动位移随时间的变化 t/sTdTd0 小阻尼系统振动响应的特点：小阻尼系统振动响应的特点：系统为衰减振动，振动幅值随时间延长逐渐减小，最终振动会系统为衰减振动，振动幅值随时间延长逐渐减小，最终振动会停止。停止。以一定的固有频率振动以一定的固有频率振动:有阻尼自由振动响应有阻尼自由振动响应其中，二、阻尼比的工程测试方法二、阻尼比的工程测试方法 对结构系统激振，结构进入自由振动状态，记录下衰减振动曲线。设隔一个周期的两个位移峰值分别为：两边取对数：对于空气中的钢结构，阻尼比对于空气中的钢结构，阻尼比水中钢结构，海洋桩基平台水中钢结构，海洋桩基平台 船体结构振动船体结构振动 因为阻尼比对固有频率影响小，可近似认为因为阻尼比对固有频率影响小，可近似认为 。用间隔N个周期的位移峰值计算对数衰减率：如如果果利利用用间间隔隔N N个个周周期期的的振振幅幅之之比比来来计计算算对对数数衰衰减减率率，则则可可得得到到N N个个周周期期振振幅幅对对数数衰衰减减率率的的平平均均值值，从而可以得到更接近振动系统实际的阻尼比。从而可以得到更接近振动系统实际的阻尼比。例例题题 某某船船测测得得由由波波浪浪拍拍击击激激起起的的垂垂向向总总振振动动衰衰减减曲曲线线,其其幅幅值值在在第第2020个个周周期期后后由由8 8个个小小格格减减小小至至2 2个个小小格格(记记录录用用米米格格纸纸)。计计算算该该船船垂垂向向总总振振动动幅幅值值的的对对数衰减率和阻尼比。数衰减率和阻尼比。解解:根据以知条件根据以知条件n强迫振动：指结构体系在强迫振动：指结构体系在外界干扰因素外界干扰因素作作用下，被迫产生的振动。用下，被迫产生的振动。2.42.4简谐载荷作用下的动力响应简谐载荷作用下的动力响应一、概念一、概念干扰因素(1)(1)简谐的干扰因素：荷载随时间的变化规律可以简谐的干扰因素：荷载随时间的变化规律可以由正弦或者余弦函数来表达。由正弦或者余弦函数来表达。(2)(2)周期干扰因素：载荷随时间的变化规律可以由周期干扰因素：载荷随时间的变化规律可以由周期函数表达。周期函数表达。二、振动响应振动微分方程为：激励（或干扰）频率，是圆频率。固有频率；无量纲阻尼比 振动方程的解可以分为齐次解和特解,其通解为:：齐次解;：特解。齐次解即有阻尼系统自由振动形式的解（小阻尼情形）根据微分方程理论，设特解为（见微分方程教程）找出找出sinsint t 和和coscost t 的系数：的系数：，解得：解得：迭加齐次解和特解得通解，得到系统的解为：迭加齐次解和特解得通解，得到系统的解为：为由初始条件确定的常数。为由初始条件确定的常数。已知初始条件已知初始条件求常数 ：代入初始条件 ：自由振动项（与初始条件有关）自由振动项（与初始条件有关）强迫振动项强迫振动项伴随振动项伴随振动项(与干扰力频率有关与干扰力频率有关)强迫振动项，与干扰力有关，以干扰力的频率振动，振幅强迫振动项，与干扰力有关，以干扰力的频率振动，振幅不随着时间推移而减小，又称稳态振动项。不随着时间推移而减小，又称稳态振动项。自由振动项自由振动项,其幅值中含有其幅值中含有 幅值随着时间不断减小，直幅值随着时间不断减小，直至消失；至消失；伴随振动项，与激励频率伴随振动项，与激励频率有关，振动幅值中也含有有关，振动幅值中也含有 幅值随着时间不断减小，直至消失；幅值随着时间不断减小，直至消失；结构振动进入稳态后，只表现为结构振动进入稳态后，只表现为的振动。的振动。自由振动项自由振动项+伴随振动项伴随振动项+强迫振动项强迫振动项暂态振动或过度振动状态，消失暂态振动或过度振动状态，消失稳态振动项稳态振动项三、简谐激励系统稳态响应特点响应方程：响应方程：（1）振动频率振动频率，以外激励的频率振动；，以外激励的频率振动；动力放大系数；动力放大系数；：动荷载幅值作用引起的静位移。动荷载幅值作用引起的静位移。（3）相位）相位（2）振动幅值）振动幅值：频率比频率比四、幅频响应特性四、幅频响应特性动力放大系数动力放大系数幅频响应曲线幅频响应曲线当当 ，动力放大系数变得无限大，称之为严格共振。，动力放大系数变得无限大，称之为严格共振。(1)幅频响应曲线的特点：幅频响应曲线的特点：动力放大系数（2 2）有阻尼情况有阻尼情况，动力响应显著放大，动力响应显著放大共振：对于有阻尼系统，干扰频率接近或等于固有频率时，共振：对于有阻尼系统，干扰频率接近或等于固有频率时，振动系统动力响应显著放大的效应。振动系统动力响应显著放大的效应。共振区共振区：的区域 解得解得 有：有：若：若：有：有：显然，在共振区域，增大阻尼可以显著减小振动响应。显然，在共振区域，增大阻尼可以显著减小振动响应。(3)令令（4）相位：表示干扰和响应发生的时间差；相位：表示干扰和响应发生的时间差；五、相频响应特性五、相频响应特性相相频频特特性性曲曲线线解:稳态响应振幅：即：，得：固有频率：代入已知参数：粘滞阻尼：第一章作业一、名词解释一、名词解释1 1、振动；、振动；2 2、固有频率；、固有频率；3 3、振动响应三要素；、振动响应三要素；4 4、自由振动；、自由振动；5 5、强迫振动；、强迫振动；6 6、对数衰减率；、对数衰减率；7 7、严格共振；、严格共振；8 8、共振；、共振；9 9、单自由度系统动力学参数及其物理意义、单自由度系统动力学参数及其物理意义1010、阻尼力、惯性力、弹性恢复力、阻尼力、惯性力、弹性恢复力二、计算固有频率二、计算固有频率三、计算振动响应三、计算振动响应1.1.