第三章 静定结构的内力计算.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章,静定结构的内力计算,第三章,静定结构的内力计算,3-1,单跨静定梁,一、静定结构概述,1,概念：是没有多余约束的几何不变体系。,2,特点：在任意荷载作用下，所有约束反力和内力都可由静力平衡方程唯一确定。,平衡方程数目,=,未知量数目,3,常见的静定结构,常见的静定结构有：,单跨静定梁,、,多跨静定梁,、,静定平面刚架,、,三铰拱,、,静定平面桁架,、,静定组合结构,等,(,如下图）。,第三章,静定结构的内力计算,第三章,静定结构的内力计算,二、单跨静定梁的内力计算,1,类型：简支梁、外伸梁、悬臂梁,2,支座反力的计算：由静力平衡方程唯一确定,取全梁为隔离体，利用静力平衡条件求得。,第三章,静定结构的内力计算,【,例,3.1,】,求图示梁支反力,X,M,Y,L/2,L/2,P,A,解,:,第三章,静定结构的内力计算,3,内力计算：截面法,把梁欲求内力的截面处切开，取左边部分（或右边部分）为隔离体，将截面上的内力暴露出来。利用隔离体的三个静力平衡条件，可确定该截面上的三个内力分量。,（,1,）杆件截面内力及正负号的规定,轴力,N,：截面内力沿杆轴切线方向的分力。以拉力为,正，压力为负。,剪力,Q,：截面内力沿杆轴法线方向的分力。以绕隔离体,顺时针转为正,反之为负。,弯矩,M,：截面内力对截面形心的力矩。不规定正负，但,弯矩图画在拉侧。在水平杆中，当弯矩使杆件,下部纤维受拉时为正。,N,N,N,N,Q,Q,Q,Q,第三章,静定结构的内力计算,第三章,静定结构的内力计算,（,2,）截面法计算梁指定截面内力的步骤,1,）计算梁的支座反力（悬臂梁可不求）。,2,）在需要计算内力的横截面处，将梁假想切开，并任选一段为研究对象。,3,）画所选梁段的受力图，这时剪力与弯矩的方向均按正方向假设标出。,4,）通常由平衡方程,Fy,=0,，计算剪力,Q,；,5,）以所切横截面的形心,C,为矩心，,Mc=0,，计算,M,。,（,4,）对有集中荷载作用的截面，可选择截面以左或以右为隔离体，有集中国作用的截面其左右两侧的剪力有突变，有集中力偶作用的截面，其左右两侧的弯矩有突变。因此，对这种情况，应分别计算截面左右两侧的内力值,注意：计算内力要点,（,1,）所取的隔离体周围的所有约束必须全部切断并代以约束力、内力。,（,2,）对未知支座反力可先假定其方向，由计算结果的正负判断实际方向，并要求在计算结果后的圆括号内用箭头表示实际方向。,（,3,）计算截面的内力时，任意选取受力简单的隔离体研究，内力均按规定的正方向假设。还要将该区段所受的外荷载按实际情况全部画出。,第三章,静定结构的内力计算,【,例,3.2,】,如图所示伸臂梁，计算截面,1,的内力,。,解：,1),求支座反力,去掉支座约束，取整体为隔离体，见下图,第三章,静定结构的内力计算,建立隔离体的平衡方程：,第三章,静定结构的内力计算,第三章,静定结构的内力计算,2),求截面,1,处的内力,截开截面,1,，取右侧为隔离体，见下图：,第三章,静定结构的内力计算,建立平衡方程并解之：,第三章,静定结构的内力计算,第三章,静定结构的内力计算,三、单跨静定梁内力图的绘制,内力图是表示结构上各截面的内力沿杆件轴线变化规律的图形。,内力图分为弯矩图（,M,图）、剪力图（,Q,图）、轴力图（,N,图）。,弯矩图规定一律绘在纤维受拉的一侧，在图上不注明正负号；剪力图和轴力图可绘在杆轴线的任一侧，但必须注明正负号,1,基本方法：按内力函数作内力图，即内力方程法。,第三章,静定结构的内力计算,2,简捷方法：由荷载与内力的微分关系作内力图，即分区段由内力图的特点绘制内力图。,具体的方法是：按荷载的分布情况把梁分成若干段，应用截面法求出各分段点处控制截面的内力值，利用微分关系绘出各段的内力图，进而可得到全梁的内力图。,1,）荷载,与内力之间的,微分,关系,A,q,C,B,D,P,m,F,E,q,向下为正,Q+dQ,dx,y,x,M,M+dM,Q,q,2,）剪力图与弯矩图之间的关系,第三章,静定结构的内力计算,（,1,）在无荷载区段，,Q,图为一水平直线，,M,图为一斜直线。,（,2,）在均布荷载区段，,Q,图为一斜直线，,M,图为抛物线，且凸向与荷载指向相同。,（,3,）集中力,Fy,作用点两侧，,Q,图有突变，其突变值等于,Fy,；,M,图有折点，其折点的尖角与,Fy,方向相同。,（,4,）集中力偶,作用点两侧截面的,图有突变，其突变值等于,，集中力偶作用点两侧,图的切线应相互平行；,Q,图不变。,平行轴线,斜直线,Q,=0,区段,M,图,平行于轴线,Q,图,M,图,备注,二次抛物线,凸向即,q,指向,Q,=0,处，,M,达到极值,发生突变,P,出现尖点,集中力作用截面剪力无定义,无荷载,均布荷载,集中力,集中力偶,无变化,发生突变,两直线平行,m,集中力偶作用面弯矩无定义,在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩,等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。,第三章,静定结构的内力计算,3,）几种简单荷载的弯矩图,（,1,）简支梁在均布荷载作用下,（,2,）简支梁在集中力作用下,（,3,）简支梁在集中力偶作用下,第三章,静定结构的内力计算,【,例,3.3,】,绘制下图所示梁内力图。,解：（,1,）求支座反力,由梁整体的平衡方程,得：,由,得：,第三章,静定结构的内力计算,（,2,）确定控制截面的位置，把梁分为若干区段,本例可确定,A,、,B,、,C,三点为控制截面，把梁分为,AB,和,BC,两段。,（,3,）计算各控制截面的,M,值和,Q,值,支座,A,右侧截面：,支座,B,截面：,B,截面剪力值左右有突变：,自有端,C,截面：,第三章,静定结构的内力计算,(4),由内力图特点分区段绘制剪力、弯矩图,(5),计算,AB,段剪力为零的位置在,D,截面，令截面,D,到支座的距离为,x,则由比例关系求得,:,第三章,静定结构的内力计算,第三章,静定结构的内力计算,【,例,3.4,】,作图示简支梁的内力图。,22,6,10,22,28,32.5,20,1.5m,Q,图（,kN,）,M,图（,kN,m,）,A,C,B,D,1m,4m,4kN/m,16kN,1m,2m,22kN,10kN,第三章,静定结构的内力计算,四、叠加法作弯矩图,1.,简支梁的弯矩图叠加法,叠加的基本原理：结构上全部荷载产生的内力等于每一荷载单独作用所产生的内力的,代数和,。,第三章,静定结构的内力计算,2.,直杆段弯矩图的区段叠加法,简支梁弯矩图的叠加方法推广应用到直杆的任意段情形。,(,M,A,+,M,B,)/2,ql,2,/8,M,B,M,A,Q,A,Q,B,M,B,M,A,M,A,M,B,q,A,B,P,A,B,叠加法作弯矩图步骤：,（,1,）求出必要的支座反力；,（,2,）求得区段两端的弯矩,值，将弯矩纵坐标连成,虚线。以虚线为基线，,将区段中的荷载作用在,简支梁上的弯矩图叠加。,叠加法是数值的叠加，不是图形的拼凑。,第三章,静定结构的内力计算,【,例,3.5,】,作图示伸臂梁的弯矩图。,A,C,B,D,2.5m,2m,1kN/m,4kN,2.5m,3kN,m,M,图（,kN,m,）,3,2,5,F,a,b,l,Fab/l,ql,2,/8,l,第三章,静定结构的内力计算,用作楼梯梁、屋面梁等。,1,）斜梁在工程中的应用,根据荷载分布情况的不同，,有两种方法表示：,自重：力是沿杆长分布，方向垂直向下。,2,）作用在斜梁上的均布荷载,A,B,L,A,B,L,q,四、简支斜梁的计算,第三章,静定结构的内力计算,人群等活荷载：力是沿水平方向分布，方向也是垂直向下。,工程中习惯把自重转换成水平分布的，推导如下：,A,B,L,q,ds,q,L,A,B,dx,第三章,静定结构的内力计算,讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。,3,）斜梁的内力计算,（,1,）反力,斜梁的反力与相应简支,梁的反力相同。,A,B,C,a,b,x,L,F,p,1,F,p,2,F,p,1,F,p,2,C,A,B,L,x,第三章,静定结构的内力计算,（,2,）内力,相应简支梁,C,点的内力为：,斜梁,C,点的内力为：,F,p1,0,M,C,F,QC,F,NC,A,C,x,a,F,P1,M,C,F,YA,0,F,YA,0,F,QC,求斜梁的任意截面,C,的内力，取隔离体,AC,：,第三章,静定结构的内力计算,结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同，,剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁,切口及轴线上的投影。,例：求图示斜梁的内力图。,解,：,a,、求,反力,q,A,B,L,第三章,静定结构的内力计算,b,、求弯矩,c,、剪力和轴力,F,Qk,F,Nk,M,k,A,k,x,F,YA,q,0,F,YA,0,M,k,0,F,Qk,q,A,B,L,第三章,静定结构的内力计算,qL,2,8,qLcos,2,qLcos,2,d,、画内力图,轴力图,剪力图,弯矩图,A,B,A,B,A,B,qL,sin,2,qL,sin,2,第三章,静定结构的内力计算,3-2,多跨静定梁,1,）多跨静定梁的组成,由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的,静定结构,称为,多跨静定梁,，如图所示：,应用于木结构的房屋檩条、桥梁结构、渡槽,结构。,2,）多跨静定梁的应用,3,）多跨静定梁杆件间的支撑关系,图示檩条结构的计算简图和支撑关系如下所示：,计算简图,支撑关系图,F,E,D,C,B,A,B,A,D,C,F,E,我们把,ABC,称为：,基本部分,，把,CDE,、,EF,称为：,附属部分,。显然作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。,基本部分,附属部分,B,A,D,C,F,E,附属部分,支撑关系图,4,）多跨静定梁的形式,多跨静定梁有以下两种形式：,F,E,D,C,B,A,B,A,D,C,F,E,支撑关系图,计算简图,第一种形式,F,E,D,C,B,A,B,A,D,C,F,E,计算简图,支撑关系图,第二种形式,由于作用在附属部分上的荷载不仅使附属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。而作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。因此计算应该从附属部分开始。,5,）多跨静定梁的计算,例：求图示多跨静定梁的弯矩和剪力图。,1kN/m,1kN,3kN,2kN/m,1m,1m,3m,1m,2m,1m,1m,4m,G,H,A,B,C,D,E,F,解：,a,、层次图,b,、求反力,FGH,部分,：,F,H,G,2kN/m,F,YF,F,YG,A,B,C,E,F,G,H,1m,1m,3m,1m,2m,1m,1m,4m,G,H,A,B,C,D,E,F,1kN/m,1kN,3kN,2kN/m,3-3,多跨静定梁,CEF,部分,：,ABC,部分：,C,D,E,F,3kN,F,YC,F,YE,-1.33kN,1kN,1kN/m,A,B,F,YA,F,YB,C,1.44kN,c,、画弯矩图及剪力图,2.61,剪力图,kN,弯矩图,kN,m,1.33,2,1,4,2.44,2,4,1.33,1.56,1.44,2.44,1.39,例：对图示结构要求确定,E,、,F,铰的位置，使,B,、,C,处的支座负弯矩等于,BC,跨的跨中正弯矩。,解：以,x,表示铰,E,到,B,支座、铰,F,到,C,支座的距离。,a,、层次图,q,x,L-x,x,L-x,L,L,L,D,C,E,F,B,A,A,C,E,F,B,D,b,、求反力,AE,、,FD,部分：,c,、求弯矩,根据要求：,因此有：,由上述方程解得：,AE,、,FD,的跨中弯矩为：,弯矩图,相应简支梁的弯矩图,2,0.0625qL,2,0.0957qL,0.0957qL,2,0.125qL,2,0.125qL,2,0.125qL,2,2,0.0625qL,2,0.0625qL,3-3,静定平面刚架,一、刚架的特征,刚架（也称框架）是由梁和柱,部分或全部用,刚结点,连接而成的结构。,1,、刚架的概念,2,、刚结点的特点,（,1,）变形：刚结点处的各杆端不能发生相对移动和相对转动，因而受力变形后，各杆杆断转动了同一角度，即各杆之间的夹角保持不变。,（,2,）受力：刚结点可承受和传递弯矩,二、静定平面刚架类型,1,、悬臂刚架,2,、简支刚架,3,、三铰刚架,4,、主从刚架,三、静定平面刚架的内力分析,刚架是由若干单个杆件联结面成的，因此，刚架的内力分析仍要以单个杆件的内力分析为基础。,平面静定刚架的题步骤如下：,（,1,）由整体或某些部分的平衡条件求出支座反力或联结构处的约束反力；,（,2,）根据荷载情况，将刚架分解成若干杆段，由平衡条件求出各杆端内力。,（,3,）由杆端内力并运用叠加原理逐杆绘制内力图。从而得到整个刚架的内力图,（一）静定刚架支座反力的计算,整体平衡,【,例,】,计算图示刚架的支座反力。,l,/2,l,/2,l,/2,l,/2,C,B,A,P,C,B,A,P,X,A,Y,A,Y,B,X,B,解：,右半边平衡,整体平衡,【,例,】,计算图示两跨刚架的支座反力。,2m,2m,4m,C,B,A,4m,2,kN/m,G,F,E,D,A,2,kN/m,E,D,X,A,X,E,Y,E,2,kN/m,C,B,A,G,F,E,D,X,A,Y,B,Y,C,X,C,解：,ADE,为附属部分，,BCEFG,为基本部分。,整体平衡,刚架的内力有,M,、,Q,、,N,弯矩规定以对杆端顺时针（对结构逆时针）为正，反之负。,（二）用截面法求静定刚架杆端截面内力,剪力和轴力的正负号规定与静定梁相同。,在取隔离体画受力图时，不管内力的实际方向如何，一般均首先假设指定截面的内力是正向的。,各杆端截面上的内力用该杆两端字母作为下标来表示，并把该端字母列在前面。,注意结点的平衡条件！,Q,DB,3,kN/m,4m,6m,D,C,B,A,N,CD,N,CA,M,CA,Q,CA,Q,CD,M,CD,M,CD,M,DC,N,CD,N,DC,Q,CD,Q,DC,N,DC,N,DB,M,DC,Q,DC,M,DB,V,A,V,B,M,DB,Q,DB,N,DB,H,A,N,CA,Q,CA,V,A,M,CA,【,例,】,计算图示刚架刚结点处各杆杆端截面的内力。,2m,2m,4m,D,C,B,A,1,kN/m,2,kN,3,kN,Q,CD,N,CD,D,C,3,kN,M,CD,C,B,1,kN/m,2,kN,M,CB,Q,CB,N,CB,D,C,B,1,kN/m,2,kN,3,kN,Q,CA,N,CA,M,CA,【,例,】,计算图示刚架刚结点,C,、,D,处杆端截面的内力。,3,kN/m,4m,6m,D,C,B,A,解：,利用整体平衡方程求出支座反力,4,kN,4,kN,12,kN,N,CD,N,CA,M,CA,Q,CA,Q,CD,M,CD,12kN,N,CA,M,CA,Q,CA,4kN,M,CD,M,DC,N,CD,N,DC,Q,CD,Q,DC,N,DC,N,DB,M,DC,Q,DB,Q,DC,M,DB,静定刚架内力图有弯矩图、剪力图、轴力图。刚架的内力图是由各杆的内力图组合而成的，因此，只需求出杆端截面的内力值，然后按照梁中绘制内力图的方法画出即可。,1,、静定刚架弯矩图的绘制,做法,:,拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨梁相同的方法画弯矩图,.,分段,定点 连线,（三）静定刚架内力图的绘制,例题作图示结构弯矩图,练习,:,作图示结构弯矩图,练习,:,作图示结构弯矩图,(f),q,q,课堂练习,-,快速绘制,M,图,(a),F,P,(b),q,(c),(d),(e),q,(g),(h),q,F,P,F,P,(i),(j),F,P,F,P,(k),（主）,（,从,）,F,P,先,画,AB,、,CD,；,再连,BC,（,虚线）；,由,M,B,=0,求得,m,m,F,P,a,A,C,B,D,L,a,a,(,l,),q,F,P,m,F,P,F,P,+m/,l,F,P,L+m,F,P,L,m,m,L,A,C,B,L,L,(m),F,P,m,F,P,+m/,l,最后在虚线上叠加,m/L,m/,L,m,(n),m,C,A,D,B,L,L,L,F,P,F,P,F,P,F,P,L,F,P,L,(o),F,P,A,D,B,L,L,L,C,2,、静定刚架剪力图和轴力图的绘制,根据弯矩图绘剪力图,（,1,）剪力图做法,逐个杆作剪力图,利用杆的平衡条件,由已知的杆端弯矩和杆上的荷载求杆端剪力,再由杆端剪力画剪力图,.,注意,:,剪力图画在杆件那一侧均可,必须注明符号和控制点竖标。,先绘制出刚架的弯矩图，然后根据各杆端弯矩及杆件的荷载，利用以下剪力公式，求出各杆端剪力，从而绘制剪力图。,ij,杆相应简支梁在杆上荷载作用下的剪力,ij,杆端弯矩符根据正号规定,逐个杆作轴力图。利用结点的平衡条件,由已知的杆端剪力和求杆端轴力,再由杆端轴力画轴力图,.,注意,:,轴力图画在杆件那一侧均可,必须注明符号和控制点竖标,.,轴力图做法：,先绘制出刚架的剪力图，然后根据各杆端剪力，利用结点平衡，求出各杆端轴力，从而绘制轴力图。,例,:,作剪力图,M,Fs,【,例,】,作出图示刚架的内力图。,解：,1,）,求支座反力,4kN,C,A,B,D,4m,1m,4m,1,kN/m,8kN,7kN,7kN,2,）,求各杆端内力，,并绘制内力图,（右边受拉）,（左边受拉）,（下边受拉）,C,A,B,D,4,24,28,M,图（,kN,m,）,C,A,B,D,8,4,Q,图（,kN,）,7,C,A,B,D,7,N,图（,kN,）,3,）,校核,a,）,微分关系的校核,b,）,平衡条件的校核,D,4,kN,m,28,kN,m,24,kN,m,D,4kN,4kN,7kN,7kN,在刚结点上,各杆端弯矩和结点集中,力偶应满足结点的力矩平衡。尤其是两杆相交的刚结点，无结点集中力偶作用时，两杆端弯矩应等值，同侧拉。,满足：,X,0,，,Y,0,，,M,0,例,1,：画出图示刚架的内力图。,解：编号如图所示,b,、作内力图,30kN,D,E,C,B,A,20kN/m,6m,2m,4m,a,、求支座反力,V,A,V,B,弯矩图,kNm,60,90,180,180,剪力图,kN,-,30,-,40,80,30,轴力图,kN,-,40,-,80,-,30,b,、作内力图,三铰刚架及多层多跨静定刚架内力图的绘制步骤仍然是：计算支座反力；计算杆端截面的内力；绘制内力图。应注意的是：计算支座反力时，对三铰刚架要利用中间铰,M,0,的条件；对多层多跨静定刚架，一般应按照与几何组成相反的顺序。,【,例,】,作出图示三铰门式刚架的弯矩图。,（四）三铰刚架及多层多跨静定刚架的内力图,20kN/m,6m,2m,B,A,C,E,D,8m,F,XA,F,XB,F,YB,F,YA,解：,a,、求反力,由于图示结构是对称的，因此：,取,AC,部分为隔离体：,b,、作弯矩图,c,、作剪力图,取,DC,段为隔离体：,弯矩图,kN,m,120,120,40,40,20kN/m,120,D,C,F,QDC,F,QCD,62.6,8.9,8.9,-,62.6,取,CE,段为隔离体：,20,20,-,C,E,120,20kN/m,F,QCE,F,QEC,剪力图,kN,取,E,结点为隔离体：,取,C,右结点为隔离体：,E,F,QEB,F,NEC,F,NEB,F,QEC,C,20,F,NCE,d.,作轴力图,轴力图,kN,80,53.6,17.8,80,53.6,-,-,d,、作轴力图,取,D,结点为隔离体：,取,C,左结点为隔离体：,F,QDA,D,F,QDC,F,NDA,F,NDC,C,F,NCD,20,t,2m,2m,4m,C,B,A,4m,2,kN/m,G,F,E,D,A,2,kN/m,E,D,X,A,X,E,Y,E,2,kN/m,C,B,A,G,F,E,D,X,A,Y,B,Y,C,X,C,解：,先求支座反力，,ADE,为附属部分，,BCEFG,为基本部分。,整体平衡,【,例,4,】,作出图示两跨静定刚架的弯矩图。,A,2,kN/m,E,D,1kN,1kN,4kN,2m,2m,4m,C,B,A,4m,2,kN/m,G,F,E,D,1kN,1kN,7kN,3kN,G,F,3kN,1kN,4kN,E,7kN,C,B,C,B,A,G,F,E,D,8,4,4,4,4,M,图（,kN,m,）,1,、拱的特征及其应用,如下所示结构在竖向荷载作用下，水平反力等于零，因此它不是拱结构，而是曲梁结构。,下面所示结构在竖向荷,载作用下，会产生水平反,力，因此它是拱结构。,拱式结构：,杆轴线为曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平推力的结构。,3.4,三铰拱,一、概述,F,A,B,H,A,0,H,A,0,F,A,B,静定拱,超静定拱,三铰拱,两铰拱,无铰拱,拉杆拱,2,、常见的拱式结构有：,主要用于屋架结构、桥梁结构。,3,、拱结构的应用：,拱结构的优缺点：,a,、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯,矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就,可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度,b,、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉,性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。,c,、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因,此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形,比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大,4,、工程实例：,拱桥,（无铰拱）,超静定拱,世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥,),万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥,灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥,号称“渭水长虹”,“渭水第一桥,”,主跨：,40,米 建成时间：,1368,高跨比,5,、拱的各部分名称,B,A,C,f,拱顶,拱轴线,拱高,f,拱趾,起拱线,跨度,l,二、,三铰拱的内力分析,在研究它的反力、内力计算时，为了便于理解，始终与相应的简支梁作对比。,L,2,L,1,L,b,2,a,2,b,3,a,3,b,1,a,1,k,y,k,x,k,C,B,A,f,F,P1,F,P2,F,P3,k,C,B,A,F,P1,F,P2,F,P3,三铰拱为静定结构，其全部支座反力和内力都可由平衡条件确定。,（,1,）支座反力计算,取左半跨为隔离体：,L,2,L,1,L,b,2,a,2,b,3,a,3,b,1,a,1,k,y,k,x,k,C,B,A,f,F,P1,F,P2,F,P3,k,C,B,A,F,P1,F,P2,F,P3,H,H,F,YA,F,YB,在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点：,1,）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。,2,）竖向支座反力与拱高无关。,3,）当荷载和跨度固定时，拱的水平反力,H,与拱高,f,成反比，即拱高,f,越大，水平反力,H,越小，反之，拱高,f,越小，水平反力,H,越大。,反力计算公式：,（,3,）剪力计算,（,2,）弯矩计算,求拱轴线上任意点,k,的弯矩，,为此取,Ak,为隔离体：,求拱轴线上任意点,k,的剪力，,同样以,Ak,为隔离体：,相应简支,梁的剪力,k,M,K,F,0,YA,F,P1,F,0,QK,相应简支,梁的弯矩,M,K,k,F,YA,F,H,F,P1,F,QK,F,NK,A,k,（,3,）轴力计算,求拱轴线上任意点,k,的剪力，,同样取,Ak,为隔离体：,三铰拱内力计算公式：,k,在左半拱取正，右半拱取负,k,M,K,F,0,YA,F,P1,F,0,QK,M,K,k,F,YA,F,H,F,P1,F,QK,F,NK,A,k,1,）计算支座反力,2,）计算拱圈截面的内力（可以每隔一定水平距离取一截面，也可以沿拱轴每隔一定长度取一截面）。,3,）按各截面内力的大小和正负绘制内力图。,三、内力图,（,1,）画三铰拱内力图的方法,（,2,）画三铰拱内力图的步骤,描点法。,注：,1,）仍有,Q=,dM/ds,即剪力等零处弯据距达极值；,2,）,M,、,Q,、,N,图均不再为直线；,3,）集中力作用处,Q,图将发生突变；,4,）集中力偶作用处,M,图将发生突变。,(1),反力计算,解,:,【,例,】,三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物线：,y,=4,fx,(,l,-,x,)/,l,2,，求支座反力，并绘制内力图。,10kN,3kN/m,6m,3m,3m,4m,),(,4,2,x,l,x,l,f,-,),(,x,y,=,D,A,C,B,V,A,V,B,H,A,H,B,10kN,3kN/m,(2),内力计算,截面几何参数,10kN,3kN/m,6m,3m,3m,4m,),(,4,2,x,l,x,l,f,-,),(,x,y,=,D,A,C,B,10.5kN,10.5kN,12kN,12kN,10kN,3kN/m,16kN,16kN,D,(2),内力计算,10kN,3kN/m,6m,3m,3m,4m,),(,4,2,x,l,x,l,f,-,),(,x,y,=,D,A,C,B,10.5kN,10.5kN,12kN,12kN,10kN,3kN/m,16kN,16kN,D,重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。,四、三铰拱的合理轴线,1,、合理拱轴线的概念,2,、合理拱轴线的确定,在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩剪力等于零,只有轴力的拱轴线。,在荷载、跨度给定时，合理拱轴线 随,f,的不同而有多条,不是唯一的。,在荷载、跨度、矢高给定时，,H,是一个常数,.,合理拱轴线与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖标成比例,.,【,例,】,设图示三铰拱承受沿水平线均匀分布的竖向荷载,q,的作用，示其合理轴线。,A,B,l,/2,f,l,/2,C,l,q,q,ql/2,ql/2,y,x,x,三铰拱在沿水平均匀分布的竖向荷载作用下，其合理拱轴线为一抛物线。,解,:,檩,横梁,屋架,桥梁结构,纵梁,1.,桁,架：,由若干直杆两端用铰连接而组成的结构,。,A,B,一、概述,（一）桁架的特点和组成分类,3.5,静定平面桁架,实际桁架结点的构造并非理想铰结，如钢桁架或混凝土桁架的杆件采用节点板或预埋铁件焊接时，并不是铰结点；木桁架和钢桁架采用螺栓连接时，其结点比较接近于铰结。而且各杆的轴线也不一定是理想直线，结点上各杆的轴线也不一定完全交与一点。,钢,屋,架,2,理想桁架假设,（,1,）各结点都是无摩擦的理想铰；,（,2,）各杆轴线都是直线,且通过铰的中心；,（,3,）荷载和支座反力都作用在结点上。,3,理想桁架中杆的内力,只有轴力，拉力为正，压力为负。,N,N,平面桁架：,当桁架各杆轴线和外,力都作用在一个平面内。,节间,桁高,4,桁架的特点及各部分的名称,同梁和刚架比较，桁架各杆只有轴力，截面上的应力分布均匀，可以充分发挥材料的作用，具有重量轻，承受荷载大，是大跨度结构常用的一种形式。,l,跨度,上弦杆,竖杆,斜杆,下弦杆,平行铉、三角形、梯形、折线型。,（二）,桁架的形式,平行弦,三角形,梯形,折线形,1,、按外型分：,2,、桁架按几何组成分类,简单桁架,由基础或一个基本铰结三角形开始，依此增加二元体所组成的桁架,联合桁架：,由简单桁架按几何不变体系组成法则所组成的。,复杂桁架：,不属于,以上两类桁架之外的其它桁架。其几何,不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加,以分析，需用零荷载法等予以判别。,复杂桁架不仅分析计算麻烦，而且施工也不大方便。工程上较少使用。,二、静定平面桁架的内力计算,（一）结点法,1,、结点法的原理,在分析桁架内力时，可截取桁架的某一结点为隔离体，利用该结点的静力平衡条件来计算各杆的内力，这种方法称为结点法。,为避免,解,联立方程,应从未知力不超过两个的结点开始计算。,因为桁架各杆件都只承受轴力，作用于任一结点的各力（包括荷载、支座反力、杆件轴力）组成一个平面汇交力系，所以可对每一结点列出两个平衡方程进行求解。,2,、内力分量应用,在建立结点平衡方程时，经常要将斜向杆件的内力分解为水平分力和竖向分力。为计算方便，可以利用杆件长度和其在水平及竖向的投影长度之比来示内力和它的分力的数个之比。,N,AB,H,AB,V,AB,1.,求支座反力,【,例,】,用结点法计算图示桁架各杆的轴力。,其它杆件轴力求,法类似,.,求出所有轴力后,应把轴力标在杆件旁,.,2.,取结点,A,3.,取结点,C,4.,取结点,D,【,例,】,用结点法计算图示桁架各杆的轴力。,2m,1.5m,1.5m,2m,1.5m,C,B,A,G,F,E,D,9,kN,6,kN,9,kN,12,kN,12,kN,解：,1),求支座反力,2),求各杆轴力,由比例关系得,:,12kN,N,AF,N,AC,Y,AC,X,AC,A,2m,1.5m,1.5m,2m,1.5m,C,B,A,G,F,E,D,9,kN,6,kN,9,kN,C,9kN,16kN,12kN,N,CD,N,CF,20kN,20,16,3,16,F,N,FG,16kN,3kN,N,FD,X,FD,Y,FD,由比例关系得,:,4.24,19,4.24,16,16,20,3),利用对称性可得,其它杆的轴力,4),利用,D,结点的平,衡条件来校核,对于简单桁架,若与组成顺序相反依次截取结点,可保证求解过程中一个方程中只含一个未知数,.,结点单杆,:,利用结点的一个平衡方程可求出内力的杆件,单杆,单杆,N,1,=0,N,2,=0,N,2,=,N,1,N,3,=0,N,1,N,1,N,2,=,N,1,N,3,N,4,N,4,=,N,3,N,2,N,3,N,1,=,N,2,N,1,=0,N,2,=P,P,3,、特殊结点的力学特性,零杆的判断,轴力为零的杆,利用结构的对称性,由于结构对称，荷载对称，其内力和反力一定对,称。结构反对称，荷载反对称，其内力和反力一定,也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。,P,F,p,F,p,找出桁架中的零杆,8根,0,0,0,0,0,0,0,7根,0,0,0,0,0,0,0,9根,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,F,p,例：判断图示结构的零杆,a,、图示结构在对称荷载作用下,F,CD,F,CE,F,p,F,p,A,C,B,D,E,C,b,、图示结构在反对称荷载作用下,F,p,F,p,A,C,B,D,E,内力应相对,对称轴反对称，,这就要求,DE,杆,半根受拉、半根,受压，而这是做,不到的，因此它,是零杆。,对称轴,例,:,试指出零杆,练习,:,试指出零杆,受力分析时可以去掉零杆,是否说该杆在结构中是可,有可无的,?,练习,:,试指出零杆,结点法的计算步骤,:,1.,去掉零杆,2.,逐个截取具有单杆的结点,由结点平衡方程求轴力,.,有些情况下,用结点法求解不方便,如,:,隔离体上的力是一个平面任意力系,可列出三个独立的,平衡方程,.,取隔离体时一般切断的未知轴力的杆件不多余三,根,.,（二）截面法,截面法,:,用一适当的截面，截取桁架的某一部分（至少包括两个结点）为隔离体，根据它的平衡条件去求未知的杆件内力。,【,例题,】,求指定三杆的内力,解：取截面以左为分离体,M,D,=,2,aP+N,1,h,=0,得,N,1,=,2,Pa/h,M,C,=,3,aP,Pa,N,3,h=0,得,N,3,=,2,Pa/h,Y=Y,2,+,P,P,=0,得,Y,2,=0 ,N,2,=0,截面法可用来求指定杆件的内力。,对两未知力交点取矩、沿与两平行未知力垂直的方向投影列平衡方程，可使一个方程中只含一个未知力。,1,2,3,P,P,A,C,D,P,P,6a,h,P,P,N,1,N,2,N,3,D,C,【,例题,】,求指定三杆的内力,解,:1.,求支座反力,2.,作,1-1,截面,取右部作隔离体,3.,作,2-2,截面,取左部作隔离体,截面法中的特殊情况,当所作截面截断三根以上的杆件,除了杆,1,外，其余各杆均交于一点,则对,O,点列矩方程可求出杆,1,轴力。,1,N,1,O,1,除了杆,1,外，其余各杆均互相平，则由投影方程可求出杆,1,轴力。,1.,求反力；,2.,判断零杆；,3.,合理选择截面，使待求内力的杆为单杆；,4.,列方程求内力,截面法计算步骤,:,截面单杆,:,用截面切开后，通过一个方程可求出内力的杆,.,截面上被切断的未知轴力的,杆件只有三个,三杆均为单杆,.,截面上被切断的未知轴力的,杆件除一个外交于一点,该杆,为单杆,.,截面上被切断的未知轴力的,杆件除一个均平行,该杆为单,杆,.,单独使用结点法或截面法有时并不简洁。为了寻找有效的解题途径，必须不拘先后地应用结点法和截面法。那就是要注意：,选择合适的出发点，即从哪里计算最易达到计算目标；,选择合适的截面，即巧取分离体，使出现的未知力较少。,选用合适的平衡方程，即巧取矩心和投影轴，并注意列方程的先后顺序，力求使每个方程中只含一个未知力。,（三）结点法和截面法的联合应用,【,例题,】,求图示桁架指定杆轴力。,解：找出零杆如图示,0,0,0,0,0,0,由,D,点,1,2,C,D,E,44m,23m,5m,A,B,P,P,1-1,以右为研究对象,F,C,P,N,CE,1,1,2-2,以下为研究对象,或取,C,点为分离体,1,2,C,D,E,44m,23m,5m,A,B,P,P,P,N,1,P,N,1,0,C,2,2,例：计算图示,K,字型桁架中,a,、,b,杆的内力。,解：,a,、求反力,F,p,A,B,k,b,a,4d,h/2,h/2,b,、求内力,取,k,结点为隔离体：,作,n-n,截面，取左半部分：,F,Na,F,Nb,k,n,n,F,p,A,B,b,a,4d,h/2,h/2,k,练习,:,求图示桁架指定杆件内力,(,只需指出所选截面即可,),四、对称性的利用,对称结构,:,几何形状和支座对某轴对称的结构,.,对称荷载,:,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作,用点对称的荷载,反对称荷载,:,作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,作用点,对称,方向反对称的荷载,对称荷载,反对称荷载,对称结构的受力特点,:,在对称荷载作用下内力是对称的,在反对称荷载作用下内力是反对称的,.,对称,平衡,反对称,平衡,例,:,试求图示桁架各杆内力,.,3-5,桁架,例：请求出图示桁架杆,1,、杆,2,的内力。,解,1,：,a,、求反力,F,p,L/2,L/2,L/2,L/2,L/2,L/2,A,B,H,D,C,E,F,1,2,3-5,桁架,F,p,O,1,n,n,L/2,L/2,L/2,L/2,L/2,L/2,A,B,H,D,C,E,F,1,2,b,、求内力,取,n,n,截面，对,O,1,取矩：,取,m,m,截面，对,O,2,取矩：,F,p,L/2,L/2,A,B,H,D,C,E,F,1,2,O,2,m,m,其中：,解得：,3-5,桁架,解,2,：利用结构的对称性，把荷载分成对称和反对称。,a,、对称荷载作用下，中间两根杆,a,、,b,是零杆，取,C,结点：,F,NCD,F,P,/2,F,P,/2,F,P,/2,D,C,H,C,a,b,F,N1,F,N1,3-5,桁架,取,D,结点：,b,、反对称情况,中间的,c,杆是零杆，取,C,结点：,F,P,/2,F,NCD,F,NCH,F,NCD,F,N1,F,P,/2,F,P,/2,C,D,D,C,H,F,N1,F,N1,c,取,D,结点：,把对称和反对称的合起来：,F,NCD,F,N1,D,1,）平行弦桁架,5d,h,F,P,F,P,F,P,F,P,/2,F,P,F,P,/2,C,三、几种常用桁架受力性能的比较,F,P,/2,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,/2,F,P,/2,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,F,P,/2,2F,P,d,3F,P,d,3F,P,d,2F,P,d,F,P,F,P,2F,P,2F,P,（,1,）,上弦杆,在往下的竖向荷载作用下，平行弦桁架的,上弦杆受压，并且抵抗弯矩。由于简支梁的弯矩是按抛物线变化的，而,h,是常量，因此,上弦杆的