第1讲直线与圆.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,专题六 解析几何,第,1,讲 直线与圆,1.,直线的倾斜角与斜率,（,1,）直线倾斜角的定义,.,（,2,）倾斜角 的范围：,0,180,.,（,3,）直线的斜率,k,=tan,，倾斜角为,90,的直线,没有斜率,.,（,4,）经过两点,P,1,（,x,1,y,1,）,P,2,(,x,2,y,2,)(,x,1,x,2,),的直,线的斜率,（,5,）直线的倾斜角为,斜率为,k,.,当,0,0,且随倾斜角,的增大而增大,.,当,90,180,时，,k,0),，圆心,坐标为（），半径,r,=.,7.,点与圆的位置关系,（,1,）几何法：点到圆心的距离与半径的关系,.,（,2,）代数法：将点的坐标代入圆的标准（或一般）,方程的左边，将所得值与,r,2,(,或,0),作比较,.,8.,直线与圆的位置关系,直线,l,:,Ax,+,By,+,C,=0(,A,2,+,B,2,0),与圆：,(,x,-,a,),2,+(,y,-,b,),2,=,r,2,(,r,0),的位置关系如下表,.,方法,位置,关系,几何法：根据,d=,与,r,的大小关系,代数法,:,Ax+By+C,=,0,（,x-a),2,+,（,y-b,）,2,=r,2,消元得一元二次方程的判别式 的符号,相交,d,0,相切,d,=,r,=0,相离,d,r,0,9.,圆与圆的位置关系,（,1,）相离；（,2,）外切；（,3,）相交；（,4,）内切；,（,5,）内含,.,利用两圆圆心距与两圆半径之间的大小关系判定,.,一、直线的倾斜角、斜率、直线方程,例,1,若过点,A,（,4,，,0,）的直线,l,与曲线,(,x,-2),2,+,y,2,=1,有,公共点，则直线,l,的斜率的取值范围为 （）,A.,B.,（）,C.D.,（）,思维启迪,本题可根据圆心到直线的距离与圆的半径的,关系求得,.,解析,如图所示，曲线,(,x,-2),2,+,y,2,=1,是以,B,（,2,，,0,）为圆,心，,1,为半径的圆，要使过点,A,（,4,，,0,）的直线,l,与圆有,交点，可由图形得直线,l,的斜率取值范围为,.,设直线,l,的方程为,y,=,k,(,x,-4),利用,d,=,r,得,k,=,故应为,答案,C,探究提高,对斜率的取值范围有正有负的情况，要注意,分段,.,如直线斜率的范围是,-1,，,1,，则倾斜角的取值,范围是,0,，,）,而不是 ,.,变式训练,1,（,2008,辽宁理，,3,）圆,x,2,+,y,2,=1,与直线,y,=,kx,+2,没有公共点的充要条件是 （）,A.,k,(),B.,k,(-)(,+),C.,k,(),D.,k,(-,)(,+),解析,圆,x,2,+,y,2,=1,的圆心为,O,（,0,，,0,），,则,O,到直线,y,-,kx,-2=0,的距离为,.,由于直线和圆没有公共点，因此,1+,k,2,0,，解得,b,0,）,.,（,1-,a,）,2,+,（,-1-,b,）,2,=,r,2,根据题意得,（,-1-,a,）,2,+,（,1-,b,）,2,=,r,2,a,+,b,-2=0,解得,a,=,b,=1,r,=2.,故所求圆,M,的方程为,（,x,-1,）,2,+,（,y,-1,）,2,=4.,（,2,）,因为四边形,PAMB,的面积,S,=,S,PAM,+,S,PBM,=,|,AM,|,PA,|+,|,BM,|,PB,|.,又|,AM,|=|,BM,|=2，|,PA,|=|,PB,|.,所以,S,=2|,PA,|，,而|,PA,|=,即,S,=,因此要求,S,的最小值，只需求|,PM,|的最小值即可，,即在直线3,x,+4,y,+8=0上找一点,P,，使得|,PM,|的值最小，所以|,PM,|,min,=,所以四边形,PAMB,面积的最小值为,S,=,.,四、直线与圆的位置关系,例,4,已知圆,C,：,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,+3=0,.,（,1,）若不过原点的直线,l,与圆,C,相切，且在,x,轴，,y,轴,上的截距相等，求直线,l,的方程；,（,2,）从圆,C,外一点,P,（,x,y,）向圆引一条切线，切点,为,M,，,O,为坐标原点，且有,|,PM,|=|,PO,|,，求点,P,的,轨迹方程,.,思维启迪,通过圆的方程求出圆心坐标及圆的半径，,再利用圆心到切线的距离等于半径求解第（,1),问，,对于第（,2,）问要注意,|,PM,|,2,=|,PC,|,2,-,r,2,的应用,.,解,（,1,）由圆,C,：,x,2,+,y,2,+2,x,-4,y,+3=0,，得圆心坐标,C,（,-1,，,2,），半径,r,=,，,切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，,设直线,l,的方程为,x,+,y,=,a,(,a,0).,直线,l,与圆,C,相切，,，,a,=-1,，或,a,=3.,所以所求直线,l,的方程为,x,+,y,+1=0,，或,x,+,y,-3=0.,(2),切线,PM,与半径,CM,垂直，设,P,（,x,y,），,又,|,PM,|,2,=|,PC,|,2,-|,CM,|,2,，,|,PM,|=|,PO,|,，,（,x,+1,）,2,+(,y,-2),2,-2=,x,2,+,y,2,，,2,x,-4,y,+3=0.,所以所求点,P,的轨迹方程为,2,x,-4,y,+3=0,.,探究提高,在解决直线与圆相切的问题时，要注意圆心与切点的连线与切线垂直这一结论；当直线与圆相交时，要注意圆心与弦的中点的连线垂直于弦这一结论,.,变式训练,4,（,2009,江苏，,18,）在平面直角坐标系,xOy,中，已知圆,C,1,：（,x,+3,）,2,+(,y,-1),2,=4,和圆,C,2,：（,x,-4,）,2,+(,y,-5),2,=4.,(1),若直线,l,过点,A,（,4,，,0,），且被圆,C,1,截得的弦长为 ，求直线,l,的方程；,（,2,）设,P,为平面上的点，满足：存在过点,P,的无穷多对互相垂直的直线,l,1,和,l,2,，它们,分别与圆,C,1,和圆,C,2,相交，且直线,l,1,被圆,C,1,截得的弦长与直线,l,2,被,圆,C,2,截得的弦长相等，试求所有,满足条件的点,P,的坐标,.,解,（,1,）由于直线,x,=4,与圆,C,1,不相交，所以直线,l,的斜率存在，设直线,l,的方程为,y,=,k,(,x,-4),圆,C,1,的圆心到直线,l,的距,离,为,d,，因为直线,l,被圆,C,1,截得的弦长为 ，,所以,d,=,，,由点到直线的距离公式得,d,=,，从而,k,（,24,k,+7,）,=0.,即,k,=0,或,k,=,，所以直线,l,的方程为,y,=0,或,7,x,+24,y,-28=0.,(2),设点,P,(,a,b,),满足条件，不妨设直线,l,1,的方程为,y,-,b,=,k,(,x,-,a,),k,0,则直线,l,2,的方程为,y,-,b,=,因为圆,C,1,和圆,C,2,的半径相等，且直线,l,1,被圆,C,1,截得的弦长与直线,l,2,被圆,C,2,截得的弦长相等，所以圆,C,1,的圆心到直线,l,1,的距离和圆,C,2,的圆心到直线,l,2,的距离相等，,即,整理得,|1+3,k,+,ak,-,b,|=|5,k,+4-,a,-,bk,|,从而,1+3,k,+,ak,-,b,=5,k,+4-,a,-,bk,或,1+3,k,+,ak,-,b,=-5,k,-4+,a,+,bk,即（,a,+,b,-2,）,k,=,b,-,a,+3,或（,a,-,b,+8,）,k,=,a,+,b,-5,因为,k,的取值范围有无穷多个，,a,+,b,-2=0,a,-,b,+8=0,所以 或,b,-,a,+3=0,a,+,b,-5=0,a,=,a,=,解得 或,b,=,b,=.,这样点,P,只可能是点,P,1,或点,P,2,.,经检验点,P,1,和,P,2,满足题目条件,.,五、线性规划问题,例,5,设二元一次不等式组,所表示的平面区域为,M,使函数,y,=,a,x,（,a,0,a,1),的图,象过区域,M,的,a,的取值范围是（）,A.,1,3,B.,2,C.,2,9,D.,9,思维启迪,本题可以由题意先画出可行域，再移动,y,=,a,x,(,a,0,且,a,1),寻找边界位置点，求出,a,的值后观察得,a,的范围,.,解析,作二元一次不等式组的可行域如图所示,由题意得,A,(1,9),C,(3,8).,当,y,=,a,x,过,A,(1,9),时,a,取最大值,此时,a,=9;,当,y,=,a,x,过,C,(3,8),时,a,取最小值,此时,a,=2,2,a,9.,答案,C,探究提高,（,1,）线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数的字母系数的取值范围,.,（,2,）解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点（或边界上的点），但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决,.,变式训练,5,（,09,安徽理，,7,）若不等式组,所表示的平面区域被直线,y,=,kx,+,分为面积相等的两部分，则,k,的值是（）,A.B.C.D.,解析,不等式组表示的平面区域如图所示,.,由于直线,y,=,kx,+,过定点,(0,，,).,因此只有直线,过,AB,中点时，直线,y,=,kx,+,能平分平面区域,.,因为,A,（,1,，,1,），,B,（,0,，,4,），所以,AB,中点,当,y,=,kx,+,过点,时，,答案,A,规律方法总结,1.,由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式，斜截式时要注意斜率不存在的情况,.,2.,处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化,.,3.,直线与圆相交于,A,，,B,两点，则有,|,AB,|=,，,其中,r,为圆的半径，,d,为圆心到直线的距离,.,4.,直线与圆中常见的最值问题,（,1,）圆外一点与圆上任一点的距离的最值,.,（,2,）直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最,值,.,（,3,）过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值,.,（,4,）直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线,长的最小值问题,.,（,5,）两圆相离，两圆上点的距离的最值,.,5.,过两圆,C,1,：,x,2,+,y,2,+,D,1,x,+,E,1,y,+,F,1,=0,C,2,:,x,2,+,y,2,+,D,2,x,+,E,2,y,+,F,2,=0,的交点的圆系方程为,x,2,+,y,2,+,D,1,x,+,E,1,y,+,F,1,+,（,x,2,+,y,2,+,D,2,x,+,E,2,y,+,F,2,)=0.,6.,两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一,个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程,.,一、选择题,1.,已知直线,l,1,的方向向量,a,=(1,3),，直线,l,2,的方向向,b,=(-1,k,).,若直线,l,2,经过点（,0,，,5,）且,l,1,l,2,，则,直线,l,2,的方程为 （）,A.,x,+3,y,-5=0 B.,x,+3,y,-15=0,C.,x,-3,y,+5=0 D.,x,-3,y,+15=0,解析,l,1,l,2,，,a,b,=0.,-1+3,k,=0,，,k,=,，,b,=.,l,2,的方程为,y,=,即,x,+3,y,-15=0.,B,2.,设,m,0,，则直线,(,x,+,y,)+1+,m,=0,与圆,x,2,+,y,2,=,m,的,位置关系为 （）,A.,相切,B.,相交,C.,相切或相离,D.,相交或相切,解析,圆心到直线的距离为,d,=,圆半径,r,=.,d,-,r,=,，,直线与圆的位置关系是相切或相离,.,C,3.,已知圆的方程为,x,2,+,y,2,-6,x,-8,y,=0.,设该圆过点,(3,5),的最长弦和最短弦分别为,AC,和,BD,则四边形,ABCD,的面积为 （）,A.B.C.D.,解析,由题意知圆的标准方程为,(,x,-3),2,+(,y,-4),2,=5,2,点,(3,5),在圆内,点与圆心的距离为,1,故最长弦长,为直径,10,最短弦长为,四边形,ABCD,的面积,S,=,C,4.,若直线 与圆,x,2,+,y,2,=1,有公共点，则,(),A.,a,2,+,b,2,B.,a,2,+,b,2,1,C.D.,解析,直线 与圆,x,2,+y,2,=,1,有公共点,因,此圆心,(0,0),到直线,bx,+,ay,-,ab,=0,的距离应小于等,于,1.,.,D,5.,已知,x,y,满足约束条件,则目标函数,z,=,x,+,y,的最大值为 （）,A.0B.3C.4D.6,C,二、填空题,6.,（,2009,全国,文，,16,）若直线,m,被两平行线,l,1,:,x,-,y,+1=0,与,l,2,:,x,-,y,+3=0,所截得的线段的长为 ，则,m,的倾斜,角可以是：,15,30,45,60,75,其中正确答案的序号是,.,（写出所有正确答案,的序号）,解析,两直线,x,-,y,+1=0,与,x,-,y,+3=0,之间的距离为,，又动直线,l,1,与,l,2,所截的线段长 ，故动直线与,两线的夹角应为,30,因此只有适合,.,7.,（,2009,四川理，,14,）若,O,：,x,2,+,y,2,=5,与,O,1,:(,x,-,m,),2,+,y,2,=20(,m,R,),相交于,A,、,B,两点，且两圆在点,A,处的切线互相垂直，则线段,AB,的长度是,.,解析,如图所示，在,Rt,OAO,1,中，,OA,=,，,O,1,A,=,，,OO,1,=5,，,AC,=2,AB,=4.,4,8.,已知圆的方程为,x,2,+,y,2,+,ax,+2,y,+,a,2,=0,一定点为,A,(1,2),，要,使过定点,A,(1,2),作圆的切线有两条，则,a,的取值范围,为,.,解析,圆的方程配方得,.,圆,心,C,的坐标为,条件是,4-3,a,2,0,过点,A,(1,2),所作圆的切线有两条，则点,A,必在圆外，,|,AC,|,r,即,4-3,a,2,0,等价于,解之,+,a,+90,故,a,的取值范围是,三、解答题,9.,已知圆,C,：,x,2,+,y,2,-2,x,+4,y,-4=0,，问是否存在斜率为,1,的直线,l,使,l,被圆,C,截得弦为,AB,，以,AB,为直径的圆经过原点，若存在，,写出直线,l,的方程；若不存在，说明理由,.,解,设直线,l,的方程为,y,=,x,+,b,，代入圆的方程,x,2,+,（,x,+,b,）,2,-,2,x,+4,（,x,+,b,）,-4=0.,即,2,x,2,+,（,2,b,+2,）,x,+,b,2,+4,b,-4=0.,（*）,以,AB,为直径的圆过原点,O,，则,OA,OB,.,设,A,（,x,1,，,y,1,），,B,（,x,2,，,y,2,），则,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=0,，即,x,1,x,2,+,（,x,1,+,b,）,（,x,2,+,b,）,=0.2,x,1,x,2,+,b,（,x,1,+,x,2,）,+,b,2,=0.,由（*）,式得,x,1,+,x,2,=-,b,-1,x,1,x,2,=,b,2,+4,b,-4+,b,（,-,b,-1+,b,2,=0.,即,b,2,+3,b,-4=0,，,b,=-4,或,b,=1.,将,b,=-4,或,b,=1,代入*方程，对应,的,0.,故存在直线,l,：,x,-,y,-4=0,或,x,-,y,+1=0.,10.,已知直线,l,:2,mx,-,y,-8,m,-3=0,和圆,C,：（,x,-,3,）,2,+(,y,+6),2,=25.,（,1,）证明：不论,m,取什么实数，直线,l,与圆,C,总相交；,（,2,）求直线,l,被圆,C,截得的线段的最短长度以及此时,直线,l,的方程,.,（,1,）,证明,设圆心,C,到直线,l,的距离为,d,，则有,d,=,整理可得,4(,d,2,-1),m,2,+12,m,+,d,2,-9=0 ,为使上面关于,m,的方程有实数解，,=12,2,-16,（,d,2,-1,）,(,d,2,-9)0,，解得,0,d,可得,d,5,，故不论,m,为何实数值，直线,l,与圆,C,总相交,.,(,2),解,由,(1),可知,0,d,，即,d,的最大值为,.,根据平面几何知识可知：当圆心到直线,l,的距离最,大时，直线,l,被圆,C,截得的线段长度最短,.,当,d,=,时，线段（即弦长）的最短长度为,.,将,d,=,代入可得,m,=,，代入直线,l,的方程得,直线被圆,C,截得最短线段时,l,的方程为,x,+3,y,+5=0.,返回,