积分变换 第6讲拉氏变换的性质及应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,积分变换,第,6,讲,1,拉氏变换的性质,本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的,.,为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为,c,.,在证明性质时不再重述这些条件,2,1.,线性性质,若,a,b,是常数,L,f,1,(,t,)=,F,1,(,s,),L,f,2,(,t,)=,F,2,(,s,),则有,L,a,f,1,(,t,)+,b,f,2,(,t,)=,a,F,1,(,s,)+,b,F,2,(,s,),L,-,1,a,F,1,(,s,)+,b,F,2,(,s,)=,a,f,1,(,t,)+,b,f,2,(,t,),此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出,.,3,2.,微分性质,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则有,L,f,(,t,)=,sF,(,s,),-,f,(0)(2.3),证,根据分部积分公式和拉氏变换公式,4,推论,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则,L,f,(,t,)=,s,L,f,(,t,),-,f,(0)=,s,s,L,f,(,t,),-,f,(0),-,f,(0)=,s,2,L,f,(,t,),-,sf,(0),-,f,(0).,L,f,(,n,),(,t,)=,s,L,f,(,n,-,1),(,t,),-,f,(,n,-,1),(0)=,s,n,F,(,s,),-,s,n,-,1,f,(0),-,s,n,-,2,f,(0),-,.,-,f,(,n,-1),(0),(2.4),特别,当初值,f,(0)=,f,(0)=.=,f,(,n,-,1),(0)=0,时,有,L,f,(,t,)=,sF,(,s,),L,f,(,t,)=,s,2,F,(,s,),.,L,f,(,n,),(,t,)=,s,n,F,(,s,)(2.5),此性质可以使我们有可能将,f,(,t,),的微分方程转化为,F,(,s,),的代数方程,.,5,例,1,利用微分性质求函数,f,(,t,)=,cos,kt,的拉氏变换,.,由于,f,(0)=1,f,(0)=0,f,(,t,)=,-,k,2,cos,kt,则,L,-,k,2,cos,kt,=,L,f,(,t,)=,s,2,L,f,(,t,),-,sf,(0),-,f,(0).,即,-,k,2,L,cos,kt,=,s,2,L,cos,kt,-,s,移项化简得,6,例,2,利用微分性质,求函数,f,(,t,)=,t,m,的拉氏变换,其中,m,是正整数,.,由于,f,(0)=,f,(0)=.=,f,(,m,-,1),(0)=0,而,f,(,m,),(,t,)=,m,!,所以,L,m,!=,L,f,(,m,),(,t,)=,s,m,L,f,(,t,),-,s,m,-,1,f0),-,s,m,-,2,f,(0),-,.,-,f,(,m,-,1),(0),即,L,m,!=,s,m,L,t,m,7,此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函数的微分性质,:,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则,F,(,s,)=,L,-,tf,(,t,),Re(,s,),c,.(2.6),和,F,(,n,),(,s,)=,L,(,-,t,),n,f,(,t,),Re(,s,),c,.(2.7),这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序,8,例,3,求函数,f,(,t,)=,t,sin,kt,的拉氏变换,.,9,3.,积分性质,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),10,重复应用,(2.8),式,就可得到,:,11,由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质,:,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则,12,例,4,求函数,的拉氏变换,.,13,其中,F,(,s,)=,L,f,(,t,).,此公式常用来计算某些积分,.,例如,14,4.,位移性质,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则有,L,e,at,f,(,t,)=,F,(,s,-,a,)(,Re(,s,-,a,),c,).(2.12),证,根据拉氏变换式,有,上式右方只是在,F,(,s,),中将,s,换为,s,-,a,因此,L,e,at,f,(,t,)=,F,(,s,-,a,)(,Re(,s,-,a,),c,),15,例,5,求,L,e,at,t,m,.,例,6,求,L,e,-,at,sin,kt,16,5.,延迟性质 若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),又,t,0,时,有,|,e,-,s,t,|0,有,=,函数的周期拓展,22,例,9,求如图所示的单个半正弦波,f,(,t,),的拉氏变换,O,T,2,t,E,f,(,t,),T,2,T,2,O,O,E,E,T,T,t,f,1,(,t,),f,2,(,t,),t,23,由前图可知,f,(,t,)=,f,1,(,t,)+,f,2,(,t,),所以,24,例,10,求如下图所示的半波正弦函数,f,T,(,t,),的拉氏变换,T,2,3,T,2,5,T,2,t,T,2T,O,E,f,T,(,t,),25,由例,9,可得从,t,=0,开始的单个半正弦波的拉氏变换为,从而,26,这是一个求,周期函数拉氏变换,的简单方法,即设,f,T,(,t,)(,t,0),是周期为,T,的周期函数,如果,且,L,f,(,t,)=,F,(,s,),则,27,初值定理与终值定理,28,证,根据拉氏变换的微分性质,有,L,f,(,t,)=,L,f,(,t,),-,f,(0)=,sF,(,s,),-,f,(0),两边同时将,s,趋向于实的正无穷大,并因为,29,(2),终值定理,若,L,f,(,t,)=,F,(,s,),且,sF,(,s,),在,Re(,s,),0,的区域解析,则,30,证,根据定理给出的条件和微分性质,L,f,(,t,)=,sF,(,s,),-,f,(0),两边取,s,0,的极限,并由,31,这个性质表明,f,(,t,),在,t,时的数值,(,稳定值,),可以通过,f,(,t,),的拉氏变换乘以,s,取,s,0,时的极限值而得到,它建立了函数,f,(,t,),在无限远的值与函数,sF,(,s,),在原点的值之间的关系,.,在拉氏变换的应用中,往往先得到,F,(,s,),再去求出,f,(,t,).,但经常并不关心函数,f,(,t,),的表达式,而是需要知道,f,(,t,),在,t,和,t,0,时的性态,这两个性质给了我们方便,能使我们直接由,F,(,s,),来求出,f(t,),的两个特殊值,f,(0),f,(+),。,32,例,11,若,解：根据初值定理和终值定理,33,34,作业,35,请提问,36,