群中元素的阶.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学与信息科学系,授课教师,:,近世代数,2.2,群中元素的阶,规定,如果这样的不存在，则称的阶为无限,（或称是零）。,元素 的阶常用表示。,定义,设为群的一个元素，使,的最小正整数，叫做元素的阶。,的阶是,例,在次单位根群中，,的阶是,的阶都是,其余元素的阶均无限。,的阶是,例,在正有理数乘群中，,例,在非零有理数乘群中，,的阶是,的阶是,其余元素的阶均无限。,群,周期群,无扭群,混合群,若中除外，其余元素的阶,均无限。,都有限。,若群中每个元素的阶,既不是周期群,又不是无扭群的,群。,定理,有限群中每个元素的阶均有限。,证明：,设为阶有限群，,任取,则 中,必有相等的。,设,则,从而的阶有限。,证明：,设，并令,则由于，故,但,故必,从而,反之，设且令，,因,故,定理,设群中元素的阶是，则,例,4,证明：群中以下每组中的元素有相同,的阶：,定理,若群中元素的阶是，则,证明：,设 且,故有,其次，设，则。,由定理知,但,故,因此，,推论,在群中设，则，其中,是正整数。,推论,在群中设，则,定理,若群中元素，则当,且时，,证明：,由于,故,设,则,但,故,又因,故,同理可得,再根据,故,从而,注,定理中的条件不能少。,在有理数域上二阶线性群中，,定理中的条件不能少。,但,的阶无限。,的阶分别为,但,与,的阶都无限，,的阶为,小 结,元素的阶的定义,元素的阶的性质,群的分类,布置作业,P,第、,5,题,谢谢！,