资源描述
2.1.3,分层抽样,1.,理解分层抽样的概念,.,2.,掌握分层抽样的一般步骤,.,3.,区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当的方法进行抽样,.,1.,本节重点是正确理解分层抽样的定义和步骤,.,2.,本节难点是灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当地选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题,.,分层抽样的有关概念,（,1,）一般地，在抽样时，将总体分成,_,的层，然后按,照一定的,_,，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取,出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法称为分层抽样,.,（,2,）每个个体被抽中的可能性,_.,互不交叉,比例,相同,1.,分层抽样的总体具有什么特性？,提示：,分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样,.,2.,一个班共有,54,人，其中男女比,54,若抽取,9,人参加教改调查,会，则每个男同学被抽取的可能性为,_,，每个女同学被抽,取的可能性为,_.,【,解析,】,男女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有,（人），女同学共有 （人）所以每个,男同学被抽取的可能性为 每个女同学被抽取的可能性,为,答案：,3.,为调查某班学生的平均身高，从,50,名学生中抽取,5,名，抽样方法是,_,，如果男生的身高和女生的身高有显著不同（男生,30,人，女生,20,人），抽样方法是,_.,【,解析,】,根据总体特点选择恰当的抽样方法,.,答案：,简单随机抽样 分层抽样,4.,一个工厂有若干车间，今采用分层抽样的方法从全厂某天的,2 048,件产品中抽取一个容量为,128,的样本进行质量检查,.,若一车间这一天生产,256,件产品，则从该车间抽取的产品件数为,_,_.,【,解析,】,设应抽取,x,件，,则 ,x=16.,答案：,16,简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较,分层抽样的概念,【,技法点拨,】,分层抽样的前提和遵循的两条原则,（,1,）前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取,.,（,2,）遵循的两条原则：,将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；,分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比,.,【,典例训练,】,1.,下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（）,（,A,）从,10,名同学中抽取,3,人参加座谈会,（,B,）某社区有,500,个家庭，其中高收入的家庭,125,个，中等收入的家庭,280,个，低收入的家庭,95,个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为,100,的样本,（,C,）从,1 000,名工人中，抽取,100,名调查上班途中所用时间,（,D,）从生产流水线上，抽取样本检查产品质量,2.,分层抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（）,（,A,）每层内等可能抽样,（,B,）每层内不等可能抽样,（,C,）所有层用同一抽样比,（,D,）所有层抽同样多样本容量,【,解析,】,1.,选,B.A,中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；,C,和,D,中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；,B,中总体个体差异明显，适合用分层抽样,2.,选,C.,由分层抽样的定义和特点可知，所有层用同一个抽样比，等可能抽样,.,【,想一想,】,解答题,2,的关键是什么？,提示：,关键是理解分层抽样的实质是保证每个个体等可能入样,.,【,变式训练,】,某初级中学有学生,270,人，其中七年级,108,人，八、九年级各,81,人，现要利用抽样方法抽取,10,人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,.,使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为,1,，,2,，,，,270,；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为,1,，,2,，,，,270,，并将整个编号依次分为,10,段，如果抽得号码有下列四种情况：,7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;,5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;,11,38,60,90,119,146,173,200,227,254;,30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.,其中可能是分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为（）,（,A,）（,B,）（,C,）（,D,）,【,解析,】,选,B.,先考虑哪种情况为分层抽样，分层抽样需按年级分三层，七年级抽取,4,人，八、九年级各抽,3,人，也即,1,到,108,号抽,4,人，,109,到,189,号抽,3,人，,190,到,270,号抽,3,人,.,可判断可能是分层抽样,.,再判断中哪几个是系统抽样，系统抽样需把,1,到,270,号分成均匀的,10,部分,.,每部分按事先约定好的方法抽取,1,个，则为系统抽样,.,故选,B.,分层抽样的设计,【,技法点拨,】,分层抽样的操作步骤,第一步，计算样本容量与总体的个体数之比,.,第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数,.,第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体,.,第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本,.,【,典例训练,】,1.,将一个总体分为,A,，,B,，,C,三层，其个体数之比为,532,若用分层抽样方法抽取容量为,100,的样本，则应从,C,中抽取,_,个个体,.,2.,一个地区共有,5,个乡镇，人口,3,万人，其人口比例为,32 523,，从,3,万人中抽取一个,300,人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程,.,【,解析,】,1.A,，,B,，,C,三层个体数之比为,532,，,又有总体中每个个体被抽到的概率相等，,分层抽样应从,C,中抽取,答案：,20,2.,因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法,.,具体过程如下：,（,1,）将,3,万人分为,5,层，其中一个乡镇为一层,.,（,2,）按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为,60,人、,40,人、,100,人、,40,人、,60,人,.,（,3,）按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本,.,（,4,）将,300,人合到一起，即得到一个样本,.,【,互动探究,】,若把题,1,个体数之比改为,234,，现用分层抽样方法抽出一个容量为,n,的样本，其中,A,层中的个体数为,16,，那么此样本容量为,n=_.,【,解析,】,由于,A,层中的样本数为,16,，,A,层中的个体所占的比例为,故样本容量,答案：,72,【,思考,】,如何保证分层抽样的公平性？,提示：,（,1,）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大且互不重叠,.,（,2,）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样,.,（,3,）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系,统抽样的方法进行抽样,.,【,变式训练,】,某政府机关有在编人员,100,人，其中副处级以上干部,10,人，一般干部,70,人，工人,20,人，上级机关为了了解他们对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为,20,的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施抽取的步骤,【,解题指南,】,根据副处级干部，一般干部和工人对政府机构改革的意见有明显差异，这是三类不同的人群，因此应采用分层抽样，按照 的比例进行分层抽取,.,【,解析,】,用分层抽样方法抽取,具体实施抽取步骤如下：,20100,15,，,从副处级以上干部中抽取,2,人，从一般干部中抽取,14,人，从工人中抽取,4,人,因副处级以上干部与工人的人数较少，将他们分别按,1,10,和,1,20,编号，然后采用抽签法分别抽取,2,人和,4,人；对一般干部,70,人采用先对其按,00,01,02,，,，,69,编号，然后用随机数表法抽取,14,人,将抽取的,2,人，,4,人，,14,人汇合在一起就得到了容量为,20,的样本,抽样方法的综合应用,【,技法点拨,】,抽样方法的选取方法,（,1,）若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样,.,（,2,）若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样,.,当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样,（,3,）采用系统抽样时，当总体容量,N,能被样本容量,n,整除时，抽样间隔为 当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为,【,典例训练,】,1.,（,2012,浏阳高一检测）学校为了了解高一学生的情况，从每班抽,2,人进行座谈；一次数学竞赛中，某班有,10,人的成绩在,110,分以上，,10,人的成绩在,100,110,分，,30,人的成绩在,90,100,分，,12,人的成绩低于,90,分，现在从中抽取,12,人了解有关情况；运动会服务人员为参加,400 m,决赛的,6,名同学安排跑道,.,就这三件事，合适的抽样方法为（）,（,A,）分层抽样，分层抽样，简单随机抽样,（,B,）系统抽样，系统抽样，简单随机抽样,（,C,）分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样,（,D,）系统抽样，分层抽样，简单随机抽样,2.,为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察，为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该学校高三年级共有,20,个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）：,从全年级,20,个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取,20,人，考察他们的学习成绩；,每个班都抽取,1,人，共计,20,人，考察这,20,个学生的成绩；,把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取,100,名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共,150,人，良好生共,600,人，普通生共,250,人）,根据上面的叙述，回答下列问题：,（,1,）上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？,（,2,）上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法？,（,3,）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤,【,解析,】,1.,选,D.,系统抽样适合总体中个体数量比较大的情况,.,分层抽样适合总体由差异明显的几层组成的,.,总体中个体数比较少的时候，选用简单随机抽样,.,2.,（,1,）三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩第一种抽取方式中，样本为所抽取的,20,名学生本学年的考试成绩，样本容量为,20,；第二种抽取方式中，样本为所抽取的,20,名学生本学年的考试成绩，样本容量为,20,；第三种抽取方式中，样本为所抽取的,100,名学生本学年的考试成绩，样本容量为,100.,（,2,）三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法,（,3,）第一种方式抽样的步骤如下：,第一步：在这,20,个班中用抽签法任意抽取一个班；,第二步：从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取,20,名学生，考察其考试成绩,第二种方式抽样的步骤如下：,各个班的学生按,1,，,2,，,3,，,编号；,第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其编号为,a,；,第二步：在其余的,19,个班中，选取编号为,a,的学生，共计,20,人,第三种方式抽样的步骤如下：,第一步：分层若按成绩分，其中优秀生共,150,人，良好生共,600,人，普通生共,250,人，总体由差异明显的三部分组成，所以在抽取样本时，应把全体学生分成三个层次,第二步：确定各个层次抽取的人数因为样本容量与总体个体数的比为,1001 000,110,，,所以在每个层次抽取的个体数依次为,即,15,60,25.,第三步：按层次分别抽取在优秀生中用简单随机抽样法抽取,15,人；在良好生中用简单随机抽样法抽取,60,人；在普通生中用简单随机抽样法抽取,25,人,【,思考,】,解决题,1,的关键点以及题,2,中易发生何种失误？,提示：,（,1,）解决题,1,的关键点是弄清各种抽样的适用条件,.,（,2,）在解答题,2,中易对采用哪种抽样方式判断失误,.,【,变式训练,】,某批零件共,160,个，其中一级品有,48,个，二级品有,64,个，三级品有,32,个，等外品有,16,个,.,从中抽取一个容量为,20,的样本,.,试简要叙述用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法进行抽样都是等可能抽样,.,【,解析,】,（,1,）简单随机抽样法：可采用抽签法，将,160,个零件按,1,160,编号，相应地制作,1,160,号的,160,个号签，从中随机抽,20,个即可,.,每个个体被抽到的概率为 即每个个体被抽到的可能性相同,.,（,2,）系统抽样法：将,160,个零件按,1,160,编号，按编号顺序分成,20,组，每组,8,个,.,先在第一组用抽签法抽得,k,号（,1k8,），则在其余组中分别抽得第,k+8n,（,n=1,2,3,19,）号，每个个体被抽到的概率为 即每个个体被抽到的可能性相同,.,（,3,）分层抽样法：按比例 分别在一级品、二级品、,三级品、等外品中抽取,每个个体被抽到的概率分别为,即都是 每个个体被抽到的可能性相同,.,综上所述，无论采取哪种抽样，总体中每个个体被抽到的概率,都是,分层抽样的应用,【,技法点拨,】,分层抽样的简单应用,（,1,）分层抽样法的应用主要包括如何进行分层、分几层、每层应抽取多少个体等,（,2,）分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的由于分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用,【,典例训练,】,1.,某校,500,名学生中，,O,型血有,200,人，,A,型血有,125,人，,B,型血有,125,人，,AB,型血有,50,人,.,为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为,20,的样本,.,按照分层抽样方法抽取样本，各种血型的人所抽的数目分别为,_.,2.,某中学高中学生有,900,名，学校要从中选出,9,名同学作为国庆,60,周年庆祝活动的志愿者已知高一有,400,名学生，高二有,300,名学生，高三有,200,名学生为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取，求高一、高二、高三分别抽取学生的人数,【,解析,】,1.,故,O,型血抽,8,人，,A,型血抽,5,人，,B,型血抽,5,人，,AB,型,血抽,2,人,.,答案：,8,5,5,2,2.,样本容量与总体容量的比为：所以在高一年级应,抽取 在高二年级应抽取 （人），,在高三年级应抽取 （人），即高一、高,二、高三分别抽取学生的人数为,4,人、,3,人、,2,人,【,易错误区,】,抽样方法中考虑不全致误,【,典例,】,某单位有工程师,6,人,技术员,12,人,技工,18,人,要从这些人中抽取一个容量为,n,的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体,;,如果样本容量增加,1,个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除,1,个个体,求得样本容量为,_.,【,解题指导,】,【,解析,】,总体容量,N=36,人,.,当样本容量为,n,时,系统抽样间隔为 ，所以,n,是,36,的约,数；,分层抽样的抽样比为 求得工程师、技术员、技工的抽样,人数分别为 所以,n,应是,6,的倍数,所以,n=6,或,12,或,18,或,36,.,当样本容量为,n+1,时,总体中先剔除,1,人时还有,35,人,系统抽样间,隔为 所以,n,只能是,6.,答案：,6,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的见解析过程）,【,即时训练,】,今年“,315”,，某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神？”的调查，在,A,，,B,，,C,，,D,四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收,1 000,份,.,因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为,150,的样本,.,若在,B,单位抽取,30,份，则在,D,单位抽取的问卷是,_,份,【,解析,】,因为,A,，,B,，,C,，,D,四个单位回收的问卷数依次成等差数列，故四个单位抽取容量也成等差数列，设公差为,d,，则,A,，,B,，,C,，,D,四个单位抽取容量分别为：,30-d,，,30,，,30+d,，,30+2d,，所以,30-d+30+30+d+30+2d=150,，,d=15,，所以在,D,单位抽取的问卷是,60,份,.,答案：,60,1.,一个年级有,12,个班，每个班的同学从,1,至,50,排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为,14,的同学留下进行交流，这里运用的是（）,（,A,）分层抽样 （,B,）抽签抽样,（,C,）随机抽样 （,D,）系统抽样,【,解析,】,选,D.,依据概念，区分各种抽样方法,.,2.,某单位有职工,160,人，其中业务员,104,人，管理人员,32,人，后勤服务人员,24,人，现用分层抽样法从中抽取一容量为,20,的样本，则抽取管理人员（）,（,A,）,3,人 （,B,）,4,人 （,C,）,7,人 （,D,）,12,人,【,解析,】,选,B.,由 设取管理人员,x,人，则 得,x=4.,3.,某校高中生共有,900,人，其中高一年级,300,人，高二年级,200,人，高三年级,400,人，现采用分层抽样抽取一个容量为,45,的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（）,（,A,）,15,，,5,，,25,（,B,）,15,，,15,，,15,（,C,）,10,，,5,，,30,（,D,）,15,，,10,，,20,【,解析,】,选,D.,设高一、高二、高三各年级分别抽取的人数为,x,，,y,，,z,，由 可直接求出,.,4.,一个单位共有职工,200,人，其中不超过,45,岁的有,120,人，超过,45,岁的有,80,人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为,25,的样本，应抽取超过,45,岁的职工,_,人,.,【,解析,】,单位共有职工,200,人，,取一个容量为,25,的样本，,依题意知抽取超过,45,岁的职工人数为 （人）,.,答案：,10,5.,对某单位,1 000,名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：,试利用上述资料，设计一个抽样比为 的抽样方法,.,【,解析,】,因为抽样比为 ，,故只需从,1 000,人中抽取,1 000,=100,（人）,.,故从任职,5,年以下的抽取,300,=30,（人），,任职,5,年,10,年的抽取,500,=50,（人），,任职,10,年以上的抽取,200,=20,（人）,.,
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