第二节矩阵的秩.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2 矩阵的秩,定义2,在,m,n,矩阵,A,中,任取,k,行与,k,列（,k,m,，,k,n,），,位于这些行和列交叉处的,k,2,个元素,不改,变它们在,A,中所处的位置次序而得到的,k,阶行列式，,称为矩阵,A,的,k,阶子式.,m,n,矩阵,A,的,k,行与,k,列,子式共有 个.,一、矩阵秩的定义,例如,注意,：在,A,中存在1阶和2阶的非零子式，但3阶和4阶子式全部为零.,定义3,设在矩阵,A,中有一个不等于0的,r,阶子,式,，且所有,r,+1,阶子式（如果存在的话）,全等于零，那么 称为矩阵,A,的,最高阶非零子式,.,数,r,称为矩阵,A,的,秩,，,记作 .,注意 显然有,特别的规定,例1,求下列矩阵的秩,解,在,A,中，容易看出：一个2阶子式 ，,A,的3阶子式只有一个|,A,|，,经计算可知,因此,（,）.,解,是一个阶梯形矩阵，其非零行有行，故可知,的所有阶子式全为零.而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的阶行列式,因此,（,B,）,二、矩阵秩的相关定理,定理若,，则,（,）,（,）,证明先证明：若,经过一次初等行变换变为,，则,（,）,（,）,设,（,）,，且,的某个,阶子式,，,当或 ，在,中总能找到与,相,对应的,由于,或,或,因此 ，,从而,（,）,当,，分三种情况讨论：,中不含有第,i,行;,中同时含有第,i,行和第,j,行;,中含有第,i,行，但不含有第,j,行.,对和 两种情况，显然,中与,对应的子,式，故,（,）,.,对于，由,若 ,则因,中不含有第,i,行，可知,中,有不含第,i,行的,阶非零子式，从而,（,）,；若,则 ，,故也有,（,B,）,.,以上证明了若,经过一次初等行变换为,，则,（,）,（,）,，由于,亦可经过一次初等行变换变为,故也有,（,）,（,）,因此,（,）,（,）.,经过一次初等行变换矩阵的秩不变，故经过有限次初等行变换时，矩阵的秩依然不变.,同理可证：,经过有限次初等,列,变换，变成 矩阵,，则有,（,）,（,）,总之，若,经过有限次初等变换变为矩阵,，则有,（,）,（,）,如在例1,中，我们已经计算,的秩为,2，将,A,施行初等变换得,显然，,R,(,B,)=2,故,R,(,A,)=,R,(,B,).,通过上面定理的证明和上面秩的计算，以后求矩阵的,秩，只需将矩阵用初等变换变成阶梯形矩阵即可.,A,三、求秩,例,设,求矩阵,的秩并求,的一个最高阶的非零子式.,解,先求,的秩,故对,作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：,因为阶梯形矩阵有3个非零行，所以,R,(,B,)=3.,从而,R,(,A,)=3,A,的一个最高阶非零子式为：,设,A,为,n,阶可逆矩阵，则|,A,|,0,从而,R,(,A,)=,n，,称,A,为,满,秩矩阵.,若,A,为,n,阶不可逆矩阵，则|,A,|,0,从而,R,(,A,),n，,称,A,为,降秩矩阵.,例3,设,求矩阵,A,及矩阵,B,=（,A,|,b,）,的秩.,解,因此，,R,(,A,)=2,R,(,B,)=3.,例,4,设,若秩,R,(,AB,+,B,)=2，,求,a,.,解,因为,AB,+,B=,(,A,+,E,),B,将,所得的矩阵施以初等变换得,由于,R,(,AB,+,B,)=2，,所以12,a,0.,故,a,=12.,作业,93页,5.(2)(3).,