资源描述
,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,小学数学解题研究,徐元根,浙江师范大学教师教育学院,第1页,小学数学解题研究,解题研究及理论介绍,归纳问题,周期问题,整除及同余问题,物不知数,砝码称重,勾股定理,鸡兔同笼,第2页,苏格拉底助产术,关于问题处理最早统计之一出现在柏拉图苏格拉底谈话录门诺中，在书中，苏格拉底和门诺仆人进行了一次经典“苏格拉底谈话”向仆人提出一系列诱导式问题，对他回答进行细微纠正，最终使仆人证实了一个数学关系式。,苏格拉底提醒门诺，他并没有告诉仆人任何东西，而仆人则完全依靠自己回答了全部问题。仆人利用“记忆”中主要结果对这些问题作出了正确回答。不过并没有些人曾教给仆人这些结果，这说明仆人原本就知道它们。也就是说，知识存在于他们永恒灵魂之中而非存在于身体之中。正因为灵魂是全部知识居住地，所以他能够想起这些知识。总之，知识是永恒，如同柏拉图式，它也是完美。知识既不可能被生产，也不可能被发觉，而只能被回想。,第3页,笛卡儿伟大构想,十七世纪。笛卡儿开始他“创造性思维”研究，他结构了一个伟大构想，在这个构想中：首先经过数学化把任何问题转化为数学问题；然后把任何数学问题转化为代数问题；再把代数问题转化为解单个方程。,笛卡儿希望在他有生之年完成他伟大事业，他一些成功努力被统计在后人纪念性文章思索规则（1952）里。其中，说明了普通人怎样才能象笛卡儿那样思索，利用他方法，象他那样处理问题。,第4页,官能心理学和训练理论,在19世纪大部分时间里，在学校课程中起统治地位是官能心理学和训练理论。按照官能心理学观点，每个人大脑是由各种官能（或者说心理功效）所组成，这些官能包含感觉、记忆、想象、了解、直觉、推理等，不一样官能位于大脑不一样部位，而且能够经过针对性训练来发展或者强化某个特殊官能。在这种理论支配下，学校任务就是发展学生各种基本技能，而其中，数学，尤其是高水平数学，则是发展学生推理技能主要伎俩。,在这一阶段，数学课程中问题处理主要以常规问题为主，不考虑对数学结构了解，而一味地推行训练与练习。教材中习题部分普遍形式是：先给出一道例题及一条对应解题法则，然后提供一系列类似问题进行练习。,第5页,20,世纪中期,对于问题处理来说，1945年是标志性一年。在这一年里，关于问题处理经典著作创造性思维（Max.Wertheimer）和数学领域创造心理学(Jacques Hadmard)英文版首次发行。而最主要是，波利亚怎样解题也问世于这一年。这本书出版，不论对波利亚还是对问题处理都是一个转折点：对作者本人来说，这本书成了他关于数学思维本质一系列主要著作第一本，而数学思维则成了他今后工作关键，并相继出版了数学与猜测（1954），数学发觉（第一卷，1962；第二卷，1965）；而对于问题处理来说，这本书影响也是巨大。,第6页,波利亚两个例子,前n个自然数平方和,n个平面最多能够将空间分成几个部分？,第7页,波利亚解题四步骤,搞清题意,制订计划,实现计划,回顾,第8页,20,世纪80年代研究热潮,1977年，美国全国数学督导委员会（NCSM，1977）宣告：“学习数学根本目标是学会问题处理”。1980年，全国数学教师协会在行动议程中提出：“问题处理应该成为80年代学校数学教育关键”。这一口号很快得到了世界各国数学教育界普遍响应，并由此掀起了一股问题处理研究热潮。这股热潮一直延续到九十年代，在美国关于数学教育一些主要刊物1991年所发表论文中，问题处理占据了首要位置，约占全部论文五分之一。,第9页,问题处理四维超立方体模型（切片）,解题教学,问题,解题,理论/应用,封闭/开放,常规/非常规,知识与经验,表征与探索,控制与调整,情感与信念,题组训练,变式教学,教授模式,学徒式教学,小组合作,研究性学习,第10页,关于数学问题研究,题,数学问题研究,数学习题研究,数学家工作,奥加涅相题系统,戴再平习题理论,第11页,关于数学解题研究,解题方法,解题过程,解题能力,解题策略,解题思想方法,解题技巧,逻辑过程,心理过程,能力类型,波利亚,方法论,证题术,施恩菲尔德,奥加涅相,心理学,中国,克鲁切茨基,能力原因,解题,第12页,关于解题者研究,解题者,差异分析,个体解题背景,实际解题过程,针对性解题教学,知识经验,认知原因,元认知原因,情感原因,优生,中等生,差生,常规/非常规题,封闭/开放题,理论/应用题,题型教学,策略专题训练,小组合作学习,（,教授）模型,课题活动,案例分析,教学试验,第13页,问题处理心理历程,（一）认知课题,认知课题是处理问题起始步骤和基础,（二）表征课题,经过对课题认知和了解，在对课题进行编码基础上，在头脑中形成课题条件与问题初步印象，即为课题表征。课题表征既是个体对面临任务、环境信息以另一个形式在心理活动中表现和记载，也是个体进行问题处理时所加工对象。它能够反应在解题过程和策略选择上。课题表征水平对问题处理有主要影响,第14页,问题处理心理历程,（三）联想与匹配（模式识别）,处理问题依赖于过去知识经验。在取得某种表征信息后，就以该表征作为一个提取线索，经过联想，激活头脑中已经有经验，获取相关信息，并将内外信息进行比较、匹配。若匹配成功，课题即被视作已经有经验系统一个实例或同例，产生与原经验系统中问题处理一致或相平行解法。在匹配过程中，若已经有经验不能提供现成实例或同例，则需经过联想激活相关经验生成一个可与之匹配新实例或同例。若匹配失败，则将重新回溯到起始阶段，逐一进行检验，检验感觉信息中选取信息是否可靠（即审题是否正确），对课题初步了解（课题表征）是否有误，与长时记忆中信息建立联络是否适宜（即联想是否恰当），然后再一次进行匹配。如此重复进行，逐步缩小检验范围直到匹配成功，问题才得到处理。,第15页,问题处理心理历程,（四）反思结果,反思结果包含两层意思。一是对取得结果整个思维过程进行检验。二是反思从该课题可得出经验和教训。反思有效方法普通有：（1）找出问题处理过程中主要困难及关键，搞清楚自己是怎样寻找思绪。（2）对解题方法重新评价，找到最优处理方法。（3）思索处理该课题过程中，是否有某种技巧值得吸收，是否有某种技巧尔后在类似场所中用得上。（4）搞清楚当前课题中能够得到哪些结论或吸收什么教训。（5）概括出课题普通结构、特点，总结出利用该课题解法条件范围，方便把该课题解法推广到同一类型全部题,第16页,美国年课标中问题,问题,：一个矩形长和宽比是4：3，它面积是300平方英寸，它长和宽是多少？,解法一：,长,宽,面积,4,3,12,8,6,48,12,9,108,16,12,192,20,15,300,第17页,解法二：30012=25，所以每个正方形面积为25，边长为5。,第18页,弗赖登塔尔介绍教学问题,问题：一件T恤与三瓶饮料总价30元，两件T恤与两瓶饮料总价44元，求T恤、饮料单价。,（1）T U U U 30 （2）T T U U 44,法一：T U U U T U U U=60U U U U=16U=4,法二：T U=22 U U=8U=4,法三：从（2）到（1）少14元，再到 U U U U又少14元，即16元。,第19页,一个常见数学教学问题,求和,第20页,归纳问题（1）,以下列图所表示长方形由,6,个相同小方格组成，现在将其中部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻小方格都最少有一个被涂上黑色，那么共有不一样涂色方法,种。,(,全部小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号小方格颜色不一样，就被认为是不一样涂色方法,),1,2,3,4,5,6,第21页,归纳问题（2）,以下列图所表示长方形由,9,个相同小方格组成，现在将其中部分小方格涂上黑色，其余小方格仍保持白色，要求任何两个相邻小方格都最少有一个被涂上黑色，那么共有不一样涂色方法,种。,(,全部小方格均被涂上黑色也允许。只要有一个编号小方格颜色不一样，就被认为是不一样涂色方法,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,第22页,归纳问题（3）,如图，一只小蜜蜂从1号蜂房到8号蜂房，以途经哪几个蜂房区分，共有多少种不一样路径。（蜜蜂需总体保持向右方向，即每次只能向右、右上或右下行进一格）,1,2,3,4,5,6,7,8,第23页,归纳问题（4）,青蛙公子在练习跳台阶。台阶共有8级，青蛙公子每一步只能往上跳一级或二级台阶。若以每一步跳后落脚点为哪几个台阶来区分，青蛙公子从最下面跳到第8级台阶顶上共有,种不一样跳法。,第24页,完全数,毕达哥拉斯（,Pythagoras,，公元前,572-497,）,完全数,：正因数之和等于该数本身（因数包含1但不包含该数本身），6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496，8128，33550336（1538年），8589869056（一个梅森素数对应一个完全数，至年共发觉42个完全数）,第25页,亲和数,亲和数,：两个数中任意一个数除了它本身以外全部正因数和恰好等于另一个数。,最小一对是220和284。,220=2,2,511，284=2,2,71,1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,1+2+4+71+142=220,第26页,哥德巴赫猜测,哥德巴赫猜测（1742年）：每一个大于6偶数都是两个奇素数和，每一个大于9奇数都是三个奇素数和。,德国数学家哥德巴赫（,Goldbach,，,1690-1764,）,1966,年陈景润证实了“,1+2,”：,每一个大于6偶数都能够表示成一个奇素数与不超出两个奇素数乘积和。,第27页,斐波那契数列,1228,年算经修订版中载有以下“兔子问题”：某人在一处有围墙地方养了一对兔子，假定每对兔子每个月生一对小兔，而小兔出生后两个月就能生育。问从这对兔子（假定养时候是小兔）开始，一年内能繁殖成多少对兔子？,其结果是著名斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，,第28页,归纳问题（5）,悟空和八戒在玩变戏法。原有一只1层布做袋子和袋子里装着一些桃子。戏法规则是：袋子里装桃子等于或超出1000个时，1次改变就使3个桃子和袋子1层布消失；袋子里装桃子少于1000个时，1次改变就增加5个桃子和袋子1层布。若袋子每层布均消失，则袋子也不存在了，桃子堆放在草地上。现在，有一只1层布袋子内装着84个桃子，那么经过若干次改变，袋子变没后，堆放在草地上共有,只桃子。,第29页,周期问题（1）,今天是星期四，从明天起第1天是星期五，第二天是星期六，第 天是星期几？,第30页,费马小定理,P为素数，a与p互质，则,a,p-1,1(mod p),P为素数，a为任意整数，则,a,p,p(mod p),第31页,周期问题（2）,整数3,除以11余数是,。,第32页,周期问题（3）,下面这串数字从第5个数开始，每个数都等于它前面3个数之和：,2，0，0，8，8，16，32，56，104，,这串数中第个数除以6余数是,。,第33页,一个基本结论,递归数列：a,n,=f(a,1,a,2,a,n-1,),值域是有限数集递归数列必为周期数列。,第34页,周期问题（4）,某段铁路共铺设根枕木，维修工人从一端开始向另一端依次按15进行编号，以后又从另一端开始依次按16进行编号。两次编号之和恰好等于6枕木共有,根。,第35页,整除和同余问题,被3，9整除整数特点。,被4，25整除整数特点。,被8，125整除整数特点。,被11整除整数特点。,被7，13整除整数特点。,第36页,整除和同余问题（1）,有一个六位数，各个数位上数字互不相同且都不是0，假如这个六位数能被11整除，那么将这个六位数六个数字重新排列，最少还能排出,个能被11整除六位数。,第37页,整除和同余问题（2）,老师在黑板上写了一个自然数。第一个同学说：“这个数是2倍数。”第二个同学说：“这个数是3倍数。”第三个同学说：“这个数是4倍数。”第十四个同学说：“这个数是15倍数。”最终，老师说：“在全部14个陈说中，只有两个连续陈说是错误。”老师写出自然数最小是,。,第38页,整除和同余问题（3）,整数A=3786542241059362 31678451 各位数字之和为B，B各位数字之和为C，C各位数字之和为D。那么D=,。,第39页,整除和同余问题（4）,整数A=,4444,4444,各位数字之和为B，B各位数字之和为C，C各位数字之和为D。那么D=,。,第40页,整除和同余问题（5）,有9个儿童围成一圈，按顺时针方向依次编为19号。现在按以下方法给他们发糖：先给1号儿童发一块糖，然后顺时针方向隔过一人后给3号儿童发一块糖，再顺时针方向隔过两人后给6号儿童发一块糖，如此依次间隔1人、2人、3人、4人发糖。那么拿到第100块糖是,号儿童。,第41页,孙子算经中物不知数,今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。,702+213+152-2105=23。,第42页,孙子歌,明代数学家程大位算法统宗中所载“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”,第43页,中国剩下定理,物不知数问题解法后被秦九韶（宋）推广到普通情形，称为“孙子定理”。,秦九韶算法非常严密，但他并没有对这一算法给出证实。到18、19世纪欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余式组进行了详细研究，重新独立地取得了与秦九韶“大衍术”相同定理，并对模数两两互素情形给出了严格证实。高斯结果是最完整，他还处理了模不是两两互素时情形。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶算法与高斯算法是一致，所以关于这一算法被称作“中国剩下定理”。,第44页,物不知数问题（1）,一个整数除以,5,余,1,，除以,6,余,3,，除以,7,余,6,，这个整数最小是,。,第45页,物不知数问题（2）,阿龙喜欢把电话号码作为数学练习。一个电话号码是八位数，它被,3,除余,1,，被,4,除余,2,，被,11,恰好整除。阿龙只记得前六个数字是,257633,不过算了一下，他便知道了后两个数字。这最终两个数字是,。,第46页,砝码称重问题（1）,有若干个重量均为整数克砝码。用天平称物体重量时，砝码能够放在物体另一侧称盘上，也能够放在物体同一侧称盘上。为了能够用最少砝码称出1，2，3，4，5，121中任一整数克物体重量，那么，最少需要,个砝码。,第47页,砝码称重问题（2）,有若干种重量均为整数克砝码，每一个都有两个重量相同砝码，不一样种类砝码重量不一样。用天平称物体重量时，砝码能够放在物体另一侧称盘上，也能够放在物体同一侧称盘上。为了能够用最少种类砝码称出1，2，3，4，5，62中任一整数克物体重量，那么，最少需要,种不一样砝码。,第48页,欧拉,欧拉（Euler，17071783）瑞士数学家、物理学家。,13岁进入巴塞尔大学学习数学，16岁获硕士学位。,1727-1741、1766-1783：工作于彼得堡科学院；1741-1766：工作于柏林科学院。,28岁右眼失明，60岁前后双目失明。,第49页,欧拉直线,三角形垂心、重心、外心三点共线，且重心分垂心与外心连线段成2：1。,第50页,勾股定理,周髀算经中商高回答周公问话时答道：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，认为勾广三，股修四，径隅五。”,周髀算经中陈子与荣方一段对话则阐述了勾股定理普通形式。陈子曰：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为故，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日，”,第51页,弦图,三国时期赵爽（公元3世纪）为周髀算经作注时，给出了“弦图”，利用面积出入相补原理证实了勾股定理。,第52页,勾股问题（1）,直角三角形两条直角边长分别为3和4，求斜边长。,第53页,费尔马大定理,x,2,+y,2,=z,2,通解（x，y互质时）,X=2mn，y=m,2,-n,2,，z=m,2,+n,2,（m，n互质且一奇一偶）,以下方程无正整数解,第54页,费尔马大定理证实,1993,年在英国剑桥大学牛顿数学研究所一个讨论班上，美国普林斯顿大学教授维尔斯（,Wiles,）宣告证实了费尔马大定理。,1994,年修补了证实中一些漏洞后于,1995,年在数年刊上正式发表。为此维尔斯取得了沃尔夫奖,。,第55页,曾获菲尔兹、沃尔夫数学奖华人科学家,菲尔兹：,丘成桐,（1982年）；,陶哲轩,（年，31岁）,沃尔夫：,陈省身,第56页,孙子算经中,鸡兔同笼,今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。,术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。,第57页,鸡兔同笼问题（1）,商店出售大、中、小气球，大球每个,3,元，中球每个,1.5,元，小球每个,1,元。张老师用,120,元买了,55,个球，其中买中球钱与买小球钱恰好一样多。问每种球各买几个？,第58页,鸡兔同笼问题（2）,一项工程，假如全是晴天，,15,天能够完成。倘若下雨，雨天一天只能完成晴天4/5工作量。现在知道在施工期间雨天比晴天多,3,天。问这项工程要多少天才能完成？,第59页,鸡兔同笼问题（3）,甲、乙两地相距,100,千米。张先骑摩托 车从甲地出发，,1,小时后李驾驶汽车也从甲地出,发。两人同时抵达乙地。摩托车开始速度是每小时,50,千米，以后减速为每小时,40,千米。汽车速度是每小时,80,千米，但汽车在途中停了,10,分钟。问摩托车是在出发后多少时间开始减速？,第60页,角谷猜测,二次大战前后美国一个叫叙拉古小镇流行一个数字游戏，不论你从什么自然数开始，按照一个简单运算模式（假如是偶数则除以2，假如是奇数则乘3加1），最终必定跌进,4,2,1,怪圈。,1960,年前后日本数学家角谷静夫将其带回日本，发展成角谷猜测（3X+1现象）。,第61页,角谷猜测举例,序列有长有短：,16,8,4,2,1共4步；,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,共,16,步；,27,要经过111步计算才抵达1。,第62页,分油问题,有一个,10,升油筒装满了油，另有一个,7,升空油筒和一个,3,升空油筒，请利用这三个油筒（不能借助于任何其它器皿或称量工具）将这,10,升油平分后分别装在两个油筒内。,第63页,过河问题,三名商人各带一名仆人搬运若干财宝过河，河中只有一条没有艄公小舟，小舟最多只能同时乘载两个人。商人们知悉了仆人们以下阴谋：一旦在河此岸或彼岸出现了仆人人数超出商人人数现象，则马上干掉商人，劫走财宝。请为商人们设计一个安全渡河方案。,第64页,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
