34-线性方程组的解省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,第四节 线性方程组解,一、线性方程组解判定条件,二、线性方程组解法,三、小结 思索题,矩阵初等变换和线性方程组,第1页,返回,上页,下页,一,、线性方程组解判定条件,设：,含,m,个方程、,n,个变量,非齐次,线性方程组为,上式可简写为以,x,为未知列向量向量方程,对应,齐次,线性方程组可写作,Ax,=,O,Ax,=,b,第2页,只需将,系数矩阵,化为行阶梯形(或行最简形)矩阵，然后求出同解方程组解.,就是对,增广矩阵,进行三种初等行变换，化为行阶梯形矩阵(或行最简形)，然后判断是否有解(即是否有矛盾方程)，若有解，求出同解方程组解.,返回,上页,下页,在第一节中讨论高斯消元法曾指出：,解,非齐次,线性方程组，,解,齐次,线性方程组，,齐次线性方程组总是有解.,第3页,返回,上页,下页,不妨设,A,m,n,x,=,b,增广矩阵化为以下行最简形,1.非齐次线性方程组解判定条件,r,行,r,列,r,行,n,r,列,第4页,返回,上页,下页,行阶梯矩形阵第,r,+1,行是,若,d,r,+1,=,1，则该行对应着一个矛盾方程，方程组无解.,所以，,Ax,=,b,有解,d,r,+1,=,0,Ax,=,b,和,Cx,=,d,是同解方程组；,=矩阵,C,非零行行数；,=(,C,d,)非零行行数；,第5页,返回,上页,下页,在有解情况下(,d,r,+1,=,0),若,r=n,Ax,=,b,有唯一解,d,r,+1,=,0，且,r,=,n,去掉全零行后，行最简形是,所以，,Ax,=,b,有唯一解,第6页,返回,上页,下页,在有解情况下(,d,r,+1,=,0),若,rn,去掉全零行后，行最简形是,第7页,返回,上页,下页,d,r,+1,=,0，且,r,n,所以，,Ax,=,b,有没有穷多解,选择,x,1,x,2,x,r,为基本未知量，其余为自由未知量(共,n,r,个)，,(自由未知量,x,r,+1,x,r+,2,x,n,可任意取值),得,第8页,返回,上页,下页,定理 1,对于,n,元,非齐次,线性方程组,Ax,=,b,，,有解充分必要条件：,有没有穷多解充分必要条件：,有唯一解充分必要条件：,综合上述，有以下定理：,(,等价命题,)无解充分必要条件：,第9页,返回,上页,下页,2.齐次线性方程组解判定条件,当,b,1,=,b,2,=,b,m,=0 时，是齐次线性方程组.,对应，与(,A,b,)等价行阶梯形矩阵(,C,d,)中，,d,1,=,d,2,=,d,r+,1,=0,故，齐次线性方程组总是有解，,即，总是有 .,于是，,方程组有唯一解,(零解),第10页,返回,上页,下页,方程组有没有穷多解,(有非零解),定理 2,对于,n,元,齐次,线性方程组,Ax,=,O,，,只有零解充分必要条件：,有非零解充分必要条件：,综合上述，,第11页,返回,上页,下页,【问题】,若系数矩阵,A,是,n,阶方阵，那么，,Ax,=,O,只有零解充要条件,Ax,=,O,有非零解充要条件,还可叙述为,还可叙述为,?,?,第12页,定理 3,矩阵方程有解,AX,=,B,充分必要条件是,返回,上页,下页,(证实略),3.矩阵方程有解判定条件,第13页,返回,上页,下页,二,、线性方程组解法,例,1,求解齐次线性方程组,解,对系数矩阵,A,作初等行变换，化为行最简形：,第14页,返回,上页,下页,即得与原方程组同解方程组,取,x,3,x,4,为自由未知量，并令,x,3,=,c,1,x,4,=,c,2,，得,第15页,返回,上页,下页,例,2,求解非齐次线性方程组,解,将增广矩阵(,A,b,)化为行最简形矩阵，,故方程组无解,因为,第16页,返回,上页,下页,例,3,求解非齐次线性方程组,解,将增广矩阵(,A,b,)化为行最简形矩阵，,故方程组有没有穷多解,因为,(通解含,4,2,=,2,个自由参数),第17页,返回,上页,下页,与原方程组同解方程组为,令,x,2,=,c,1,x,4,=,c,2,，得,第18页,返回,上页,下页,例,4,对于非齐次线性方程组,解,问,取何值时，方程组无解、有唯一解、有没有穷多解？有没有穷多解时，求其通解.,第19页,返回,上页,下页,讨论其取值,第20页,当 时，,方程组有唯一解.,返回,上页,下页,当 时，,方程组无解.,第21页,返回,上页,下页,当 时，,方程组有没有穷多解.,与原方程组同解方程组为,取,x,2,=,c,1,x,3,=,c,2,，可得方程组通解,第22页,返回,上页,下页,(,c,1,c,2,为任意常数),第23页,返回,上页,下页,注,在本例中，增广矩阵中含待定参数,.,倍乘变换 要求 ，,对含有待定参数矩阵作初等变换时，需注意：,倍加变换 时，,普通不要用分母含待定参数分式作为,k,；,必要时，用对换变换防止出现以上情况.,故普通不要用含待定参数表示式作为乘数,k,；,第24页,返回,上页,下页,1,.对于,n,元非齐次线性方程组,Ax,=,b,，,四,、小结,有解,无解,无穷多解,有唯一解,2,.对于,n,元齐次线性方程组,Ax,=,O,，,只有零解,有非零解,第25页,返回,上页,下页,思索题,讨论非齐次线性方程组,问,p,t,取何值时，方程组无解、有唯一解、有没有穷多解？有没有穷多解时，求其通解.,第26页,返回,上页,下页,思索题答案,当 时，,方程组有唯一解.,当 时，有,第27页,返回,上页,下页,当 时，,方程组有没有穷多解.,此时又有两种可能：,当 时，,方程组无解.,有没有穷多解时，为求解，化(,A,b,)为行最简形：,第28页,返回,上页,下页,同解方程组为,取自由未知量,x,3,=,c,，得,(,c,为任意常数),第29页,