数值分析复习市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件.pptx

,Review,第1页,Chap 1 数值计算中误差,误差 误差限 有效数字,用微分计算函数值误差,计算方法数值稳定性,第2页,误差 误差限 有效数字,1),定义 1.1：,称 为 绝对误差(简称误差)。,设 是准确值，是 近似值,2),定义 1.2：,若 ，则称 是,x,误差限。,称单位量上误差 为,x,相对误差。,3),定义 1.3：,定义 1.4：,若 ,则称 是,x,相对误差限。,4),定义 1.5：,假如近似值,x,误差限是它某一位半个单,位，就称它准确到这一位。若该位到,x,左边第一位非零,数字共有n 位，则称它有n 位有效数字。,5),例,1.5,题,1.1,第3页,用微分计算函数值误差,相对误差,误差,例,1.9,已知 近似值,x,，一元函数值 近似值为,1),2),已知自变量误差,和,求二元函数值,u,=,f,(,x,y,),误差 和,例,1.10,例1.11,第4页,3),和、差、积、商误差,例,1.10,例1.11,题1.5,第5页,计算方法数值稳定性,1),求根公式数值稳定性,2),递推法数值稳定性,数值计算中应注意几个标准,防止相近数相减;,防止小除数,大乘数;,防止大数吃小数;,采取数值稳定算法;,降低运算次数.,题1.9,题1.10,题1.7,第6页,Chap 2 插值法与最小二乘法,多项式插值,Lagrange插值公式 插值余项,Newton插值公式,Hermite插值,分段插值,三次样条函数,第7页,n 次多项式插值问题：,求作一个次数不超出 n 多项式 ，使之满足,插值条件,f,(,x,),满足插值条件(,2.1,),n,次插值多项式,插值区间,插值节点,已知 上函数 在点,上函数值,被插值函数,第8页,Lagrange插值公式 插值余项,求作一个1次,已知函数 在点 上函数值 ，,多项式 ，使得,1),线性插值,第9页,2),抛物插值,已知函数 在点 上函数值 ，求作,一个2次多项式 ，使得,第10页,3),n 次Lagrange插值,满足,n 次Lagrange插值基函数 性质:,是 n 次式;,题2.1,题2.2,第11页,4),Lagrange插值余项,定理2.2,：设 n+1阶导数,在 上存在，则,其中 与 相关。,例2.4,题2.5,第12页,Newton插值公式,1),差商、差商计算,例2.5,2),Newton插值公式,误差,例2.7,例2.8,题2.6,题2.7,差商与微商关系,第13页,Hermite插值,3次Hermite插值,3次Hermite插值基函数(,插值基函数性质,),插值余项,例2.9,题2.8,题2.10,混合型Hermite插值,第14页,分段插值,1),分段线性插值,2),分段3次Hermite插值,(怎样确定其解析式,光滑性,误差预计?),题2.11,题2.12,3次样条函数,1),什么是3次样条函数,3次样条插值,2),比较3次多项式插值(不含导数条件),分段3次Hermite插值,3次样条插值,第15页,Chap 3 数值积分与数值微分,机械求积公式,插值型求积公式,复合求积公式,Gauss求积公式,数值微分,第16页,机械求积公式,求积节点,求积系数,例3.1,题3.1,题3.2,代数精度:,若一个机械求积公式对,准确成立,但对,不准确成立,就说它具,有,m,次代数精度,.,利用代数精度定义结构求积公式,题3.11,第17页,插值型求积公式,1),求积系数,2),求积系数含有 n+1个求积节点插值型求积公式最少具,有 n 次代数精度.,3),中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求积公式,(各自代数精度).,4),Newton-Cotes公式:一类节点等距分布插值型求积公式.,(n为奇数时,代数精度为n;n为偶数时,代数精度为n+1),第18页,梯形公式余项,记,Simpson公式余项,第19页,复合求积公式,(复合求积思想),1),复合梯形公式,复合梯形求积公式余项为,2),复合Simpson公式,复合Simpson求积公式余项为,题3.5,题3.6,第20页,Gauss求积公式,1),什么是Gauss求积公式?,2),Gauss点性质?,定理,3.4,：,是Gauss点充分必要条件是以 为零点,多项式 与全部次数不超出,n,-1多项式,正交，即,例3.7,例3.8,例3.9,例3.10,题3.9,题3.10,题3.11,第21页,数值微分,在点,a,处以,h,为步长向前差商,在点,a,处以,h,为步长向后差商,在点,a,处以 2,h,为步长中心差商,例3.11,1),中心差商公式,2),Richardson外推,例3.12,第22页,Chap 4 方程求根,不动点迭代法,Newton迭代法,简化Newton迭代法 弦截法,Newton下山法,第23页,不动点迭代法,1),求 根等价于求 不动点,2),不动点迭代格式,3),迭代收敛条件,定理 4.1：设 是闭区间 上压缩函数，则 在,中有唯一不动点 ，且对任意 ,迭,代公式,(4.5),都收敛.(,全局收敛,),推论：设 ，且,1),总有 ;,2,),存在 ，使,则定理4.1结论成立.(,全局收敛,),第24页,定理 4.3：设 在其不动点,附近有连续一阶导数，且,则存在 某个领域 ，,使得 ,迭代,(4.5)均收敛.,(,局部收敛,),迭代不收敛条件,题4.4,4),迭代收敛速度,记,若 ，且存在正常数 ，使,定义 4.3：,则称,(4.5)为,p,阶收敛.,若 ，则称,(4.5)是线性收敛；若 ,则称(4.5)是平方收敛.,第25页,定理 4.4：若 在,根 邻近有连续 1阶导数，,且 ,则当 时迭代公式,(4.5),为线性收敛.若,在 邻近有连续 2 阶导数，则当 时迭代公式,(4.5),为平方收敛.,例4.4,例4.5,例4.6,题4.2,题4.3,题4.5,第26页,Newton迭代,求 近似根Newton迭代公式:,1),迭代控制条件,2),收敛性,单根，则当 时(4.11)平方收敛.,定理 4.5：设 在 邻近二次连续可微，是,3),Newton迭代与开方法,例4.7,题4.8,例4.8,题4.7,第27页,简化Newton迭代法 弦截法 Newton下山法,1),简化Newton迭代法,2),弦截法,3),N,ewton下山法,例4.9,例4.10,例4.11,第28页,Chap 5 线性代数方程组数值解法,迭代法,迭代法收敛性,Gauss消去法,矩阵LU分解及应用,方程组条件数与误差分析,第29页,迭代法,考虑线性方程组,Jacobi迭代,Gauss-Seidel迭代,第30页,考虑线性方程组,A,x,=,b,将,A,进行分解,A,=,D,+,L+,U,Jacobi迭代矩阵表示:,Gauss-Seidel迭代矩阵表示:,或,SOR迭代矩阵表示:,第31页,定理：,SOR方法,收敛,必要条件是 .,证实：,假设SOR方法收敛，则有,设 特征值为 ，则,而,A,=,-L,-U,D,第32页,迭代法收敛性,迭代收敛基本定理：,对任意 和任意初始向量 ,迭代公式(5.18)收敛充要条件是 .,例5.6,题5.3,定理5.3：设G 是(5.18)迭代矩阵，且它某一个范数满足,则对任意初值 ，迭代公式(5.18)均收敛.,例5.5,定理5.4：设 A 严格对角占优，则其 Jacobi 迭代公式和Gauss-,Seidel 迭代公式均收敛.,例5.7 题5.2,第33页,定理：,设 对称正定,且 ,则解,SOR,方法收敛.,证实：,SOR迭代法迭代矩阵为,设 是,G,一个特征值，对应特征向量为,x,则,记 ,则,p,0.(因为,A,正定,D,亦正定),又记 ,则有 .,且,第34页,于是,而,故当 时 ,SOR方法收敛.,尤其,当 时,SOR方法就是GS方法,从而当A是对称正定矩阵时,GS方法收敛.,第35页,Gauss消去法,1),次序Gauss消去法,2),列主元Gauss消去法,例5.8 题5.7,例5.10 题5.7,矩阵LU分解及应用,A=L,U,其中,L,是单位下三角阵,U,是上三角阵,1),计算矩阵行列式,2),解方程组,3),求矩阵逆,例5.11 题5.9,第36页,方程组条件数与误差分析,定义5.7,:,称数 为矩阵,A,关于解方程,1,组,条件数,.,例5.13 题5.10,设,x,是方程组 准确解,y,是其近似解.称,为,y,剩下向量,则成立不等式,(定理5.7),当方程组良态时,能够用 来预计近似解,y,误差.,第37页,Chap 7 常微分方程初值问题数值解法,Euler法,改进Euler法,Runge-Kutta法,收敛性与稳定性,第38页,(7.1),(7.2),数值求解,一阶常微分方程初值问题:,Euler公式,:,(,步进式,单步方法,显式格式,),记 ,则Euler公式,局部截断误差,:,总体截断误差,:,(,Euler法是1阶方法,),Euler法三种分析解释,:差商迫近微商,数值积分,Taylor 级数法,第39页,隐式Euler公式,:,(,单步法,隐式格式,1阶方法,),两步隐式Euler公式,:,(,两步方法,显式格式,2阶方法,),梯形公式,:,改进Euler公式,:,或,(,2阶方法,),第40页,经典4阶R-K公式,:,(,4阶方法,),例7.1 例7.3 例7.4 题7.1 题7.2,怎样讨论数值方法阶?,!,第41页,收敛性与稳定性,定理7.1：设 关于,y,满足 Lipschitz条件，是,1,中任意固定点(T 0 是常数).则对Euler法总,1,体截断误差有,1),收敛性,题7.5,第42页,2),稳定性,对模型方程 ,以下方法稳定性区域为,显式Euler公式,隐式Euler公式,或,改进,Euler公式,梯形,公式,经典4阶R-K法,题7.6,第43页,The road to wisdom?,Well,its plain and simple to express:,Err,and err,and err again,but less,and less,and less,PIET HEIN,Grooks(1966),第44页,