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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,11,节导数在研究函数中应用,1/37,考纲展示,1.,了解函数单调性与导数关系,;,能利用导数研究函数单调性,会求函数单调区间,(,其中多项式函数不超出三次,).,2.,了解函数在某点取得极值必要条件和充分条件,;,会用导数求函数极大值、极小值,(,其中多项式函数不超出三次,);,会求闭区间上函数最大值、最小值,(,其中多项式函数不超出三次,).,3.,会用导数处理实际问题,.,2/37,知识梳理自测,考点专题突破,3/37,知识梳理自测,把散落知识连起来,【,教材导读,】,1.,若函数,f(x),在,(a,b),内单调递增,那么一定有,f(x)0,吗,?f(x)0,是否是,f(x),在,(a,b),内单调递增充要条件,?,提醒,:,函数,f(x),在,(a,b),内单调递增,则,f(x)0,f(x)0,是,f(x),在,(a,b),内单调递增充分无须要条件,.,2.f(x,0,)=0,是可导函数,f(x),在,x=x,0,处取极值什么条件,?,提醒,:,必要不充分条件,因为当,f(x,0,)=0,且,x,0,左右两端导数符号改变时,才能说,f(x),在,x=x,0,处取得极值,.,反过来,假如可导函数,f(x),在,x=x,0,处取极值,则一定有,f(x,0,)=0.,4/37,知识梳理,1.,函数单调性与导数,(1),函数,y=f(x),在某个区间内可导,若,f(x)0,则,f(x),在这个区间内,;,单调递增,若f(x)0,则f(x)在这个区间内,;,假如在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常函数.,(2)单调性应用,若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f(x)在该区间上不存在变号零点.,2.函数极值与导数,(1)函数极小值概念,函数y=f(x)在点x=a函数值f(a)比它在点x=a附近其它点函数值都小;,单调递减,5/37,f(a)=0;,在点,x=a,附近左侧,右侧,;,则点,a,叫做函数,y=f(x),f(a),叫做函数,y=f(x),.,(2),函数极大值概念,函数,y=f(x),在点,x=b,函数值,f(b),比它在点,x=b,附近其它点函数值都大,;,f(b)=0;,在点,x=b,附近左侧,右侧,;,则点,b,叫做函数,y=f(x),f(b),叫做函数,y=f(x),;,极小值点与极大值点统称为,极小值与极大值统称为,.,f(x)0,极小值点,极小值,f(x)0,f(x)2,时,只有,(x-3)e,x,0,恒成立,.,故选,B.,9/37,2.,已知函数,f(x)=x,3,-px,2,-qx,图象与,x,轴切于点,(1,0),则,f(x),极大值、极小值分别为,(,),A,10/37,3.,若函数,f(x)=kx-ln x,在区间,(1,+),单调递增,则,k,取值范围是,(,),(A)(-,-2(B)(-,-1,(C)2,+)(D)1,+),D,11/37,4.,函数,y=(x+1)e,x,最小值为,.,解析,:,由,y=(x+2)e,x,可知,x=-2,为函数在定义域内唯一极小值点,也是最小值点,故其最小值为,-e,-2,.,答案,:,-e,-2,12/37,5.,给出以下命题,:,f(x)0,是,f(x),为增函数充要条件,.,函数在某区间上或定义域内极大值是唯一,.,函数极大值不一定比极小值大,.,对可导函数,f(x),f(x,0,)=0,是,x,0,点为极值点充要条件,.,函数最大值不一定是极大值,函数最小值也不一定是极小值,.,其中真命题是,.(,写出全部真命题序号,),13/37,解析,:,错误,.f(x)0,能推出,f(x),为增函数,反之不一定,.,如函数,f(x)=x,3,在,(-,+),上单调递增,但,f(x)0.,所以,f(x)0,是,f(x),为增函数充分条件,但不是必要条件,.,错误,.,一个函数在某区间上或定义域内极大值能够不止一个,.,正确,.,一个函数极大值与极小值没有确定大小关系,极大值可能比极小值大,也可能比极小值小,还可能与极小值相等,.,错误,.,对可导函数,f(x),f(x,0,)=0,只是,x,0,点为极值点必要条件,如,y=x,3,在,x=0,时,f(0)=0,而函数在,R,上为增函数,所以,0,不是极值点,.,正确,.,当函数仅在区间端点处取得最值时,这时最值不是极值,.,答案,:,14/37,第一课时利用导数研究函数单调性,15/37,考点专题突破,在讲练中了解知识,考点一,利用导数研究函数单调区间,(),考查角度,1:,不含参数函数单调区间,【,例,1】,(,北京卷,),设函数,f(x)=xe,a-x,+bx,曲线,y=f(x),在点,(2,f(2),处切线方程为,y=(e-1)x+4.,(1),求,a,b,值,;,16/37,(2),求,f(x),单调区间,.,解,:,(2),由,(1),知,f(x)=xe,2-x,+ex.,由,f(x)=e,2-x,(1-x+e,x-1,),及,e,2-x,0,知,f(x),与,1-x+e,x-1,同号,.,令,g(x)=1-x+e,x-1,则,g(x)=-1+e,x-1,.,所以,当,x(-,1),时,g(x)0,g(x),在区间,(1,+),上单调递增,.,故,g(1)=1,是,g(x),在区间,(-,+),上最小值,从而,g(x)0,x(-,+).,综上可知,f(x)0,x(-,+).,故,f(x),单调递增区间为,(-,+).,17/37,反思归纳,用导数求函数单调区间,“,三个方法,”,(1),当不等式,f(x)0,或,f(x)0,或,f(x)0,或,f(x)0,及方程,f(x)=0,均不可解时要对,f(x),解析式或部分解析式进行二次求导,从而确定,f(x),符号及零点,.,18/37,考查角度,2:,依据导函数零点大小与定义域关系讨论函数单调区间,【,例,2】,(,冀州月考,),设函数,f(x)=aln x+,其中,a,为常数,.,(1),若,a=0,求曲线,y=f(x),在点,(1,f(1),处切线方程,;,19/37,(2),讨论函数,f(x),单调性,.,20/37,21/37,反思归纳,含参数函数单调区间,需依据参数取值范围讨论求解,.,其讨论方法主要是考虑导函数零点是否存在,(,若存在,有几个,),导函数零点怎样划分定义域,(,是否在定义域内,多个零点大小,),导函数符号是否确定等方面,.,22/37,考查角度,3:,结构函数判断导数符号,【,例,3】,已知函数,f(x)=(k,为常数,e=2.718 28),曲线,y=f(x),在点,(1,f(1),处切线与,x,轴平行,.,(1),求,k,值,;,23/37,(2),求,f(x),单调区间,.,24/37,考点二,函数导数与函数单调性关系应用,考查角度,1:,导函数图象了解,【,例,4】,导学号,38486056(,江西临川模拟,),假如函数,y=f(x),图象如图所表示,那么导函数,y=f(x),图象可能是,(,),25/37,解析,:,如图,由,y=f(x),图象知,当,x0;,当,x,1,x0,时,y=f(x),单调递减,故,f(x)0;,在,x=0,处,y=f(x),切线与,x,轴平行,故,f(0)=0;,在,0 x0;,当,xx,2,时,y=f(x),单调递减,故,f(x)2,则,f(x)2x+4,解集为,(,),(A)(-1,1)(B)(-1,+),(C)(-,-1)(D)(-,+),28/37,反思归纳,29/37,考查角度3:,依据函数单调性求参数范围,(1),若函数,g(x),在,(-2,-1),内为减函数,求,a,取值范围,;,30/37,31/37,(2),若函数,g(x),在,(-2,-1),内存在单调递减区间,求,a,取值范围,;,32/37,(3),若函数,g(x),在,(-2,-1),上不单调,求,a,取值范围,.,33/37,反思归纳,(1),函数,y=f(x),在,(a,b),上是增函数,(,或减函数,),则,f(x)0(,或,f(x)0),在,(a,b),内恒成立,.,(2),函数,y=f(x),在,(a,b),上存在单调递增,(,或递减,),区间,则,f(x)0(,或,f(x)0),在,(a,b),内有解,.,(3),函数,y=f(x),在,(a,b),内不单调,则,y=f(x),在,(a,b),内有变号零点,.,34/37,备选例题,【,例题,】,(,沧州质检,),函数,f(x)=ax,3,+3x,2,+3x(a0).,(1),讨论,f(x),单调性,;,解,:,(1)f(x)=3ax,2,+6x+3,f(x)=0,判别式,=36(1-a).,若,a1,则,f(x)0,且,f(x)=0,当且仅当,a=1,x=-1.,故此时,f(x),在,R,上是增函数,.,35/37,36/37,(2),若,f(x),在区间,(1,2),是增函数,求,a,取值范围,.,37/37,
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