资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,第二章 中国古代数学瑰宝,第1页,2.1 古算明珠“方程术”与“正负术”,虽天圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉 ,刘徽,中国古代最主要数学经典九章算术(约公元前2世纪)卷8“方程术”，是解线性方程组算法。,第2页,以该卷第1题为例，,今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？,该问题相当于解一个三元一次方程组：设上、中、下禾一秉实依次是x、y、z，求解线性方程组,第3页,方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗于右方。中、左禾列如右方,按照方程术术文，将此题演算过程表示以下：古代竖为行，横为列，且从左到右，与今天习惯相反。,第4页,以右行上禾遍乘中行，而以直除。,以右行上禾系数3乘整个中行。,然后以右行对减中行，两度减，中行上禾系数变为0。,第5页,又乘其次，亦以直除。复去左行首。,以右行上禾系数3乘整个左行。以右行对减左行，左行上禾系数变为0。,第6页,然以中行中禾不尽者遍乘左行，而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。,第7页,以中行中禾系数5乘左行整行，以中行对减左行，四度减，则左行中禾系数亦化为0，下禾系数为36，实为99。下禾系数与实有公因子9，以其约简。下禾系数变为4，作为法，实为11，只是下禾实。,第8页,求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余，如中禾秉数而一，即中禾之实。,为了求中禾，以左行法乘中行下实，减去左行下禾实，在此问中即244111。该运算余数，除以中行中禾秉数，就是中行实，仍以左行之法为法。此问中即（244111）517，以4为法。,第9页,求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余，如上禾秉数而一，即为上禾之实。,为了求上禾，以左行之法乘右行下实，减去左行下禾实乘右行下禾秉数，再减去中行中禾实乘右行中禾秉数。此问中即394111172。该运算余数，除以右行上禾秉数，就是上禾之实，仍以左行之法为法。此问中就是（394111172）327，仍以4为法。,第10页,实皆如法，各得一斗。,实除以法，得到上禾1秉之实为x=9 斗，中禾1秉之实y=4 斗，下禾1秉之实z=2 斗。,第11页,筹算解线性方程组举例（二）,“九章算术及刘徽注”：,今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百。问牛、羊、豕价各几何？,答曰：牛价一千二百，羊价五百，豕价三百。,术曰：如方程。,第12页,解：设牛、羊、猪单价依次是x、y、z，求解线性方程组,得到牛价为x=1200，羊价为y=500，豕价为z=300。,第13页,著名数学著作九章算术，大约编于公元四、五十年间东汉早期。这部书是采取问题集形式编，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。,第14页,方田章,讲是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等面积计算；,粟米章,讲是粮食交易简单百分比计算；,衰分章,讲是一些按百分比分配问题；,少广章,讲是由已知面积和体积，反求边长短和面宽广问题，其中总结出了开平方和开立方方法；,第15页,商功章,讲是计算各种体积方法，主要处理筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；,均输章,讲是粮食运输均匀负担计算方法；,盈不足章,讲是盈亏计算法和它应用；,方程章,讲是正负数算法，还有各种三元一次和四元一次联立方程解法。,勾股章,叙述了勾方、股方和等于弦方勾股定理，以及相同直角三角形解法问题。,第16页,九章算术内容丰富多彩，包含了许多算术、几何、代数和三角知识，是一部非常出色数学专著，它对我国数学发展影响深远。,九章算术不只在中国数学史上占有十分主要地位，而且影响远及国外。朝鲜和日本都曾经用它作为教科书。,第17页,欧洲在中世纪一些算法，比如分数和百分比就很可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲。在阿拉伯和欧洲早期数学著作中，把“盈不足”称为“中国算法”就是一个证实。现在，九章算术已作为世界科学名著，被译成许各种文字出版。,第18页,正负术,正负术是九章算术方程章提出正负数加减法则。一则方程术中用直除法消元时会出现以小减大情形，再则经过损益术列方程，这都会产生负数。,正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。,第19页,前四句是减法法则：,若二数同号，则；,若二数异号，则,若没有与之对减数，则,第20页,后四句是加法法则：,若二数异号，则；,若二数同号，则，,若没有与之对加数，则,第21页,在九章算术中，正负术只用于方程术，而且，在实际上不但使用了正负数加减法，而且使用了正负数乘除法。不过，现有资料中，正负数乘法法则在算学启蒙中才给出。祖冲之很可能研究过负系数开方问题，现存资料中讨论负系数开方问题最先出现在北宋刘益议古根源中。,第22页,雀燕集衡,这是九章算术方程章一个题目：,今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻。一雀一燕交而处，横适平。并雀、燕重一斤。问雀、燕一枚各重几何？,设,x,y,分别为雀、燕一枚重，九章算术解法是经过损益术列出方程：,第23页,用直除法消元后求出雀一枚 两，燕一枚 两。,刘徽提出了新解法：两行直接相减得,所以，。任取一行，比如右行，用今有术将雀化为燕，便有 ，于是 。,第24页,这正是方程新术基本思想。方程新术是在方程章麻麦问中详细阐述，是刘徽一项创造。,第25页,五家共井,这也是九章算术方程章一个题目：,今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，以丙一绠；丙四绠不足，以丁一绠；丁五绠不足，以戊一绠；戊六绠不足，以甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何？,设,x,y,z,u,v,w,分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深，6个未知数，依题意只可列出5行方程：,第26页,九章算术遂以265，191，148，129，76，721分别为甲、乙、丙、丁、戊绠长及井深。,这是在中国数学史上第一次明确提出不定方程问题。,九章算术只是给出了最小一组正整数解。,第27页,2.2“韩信点兵”与中国剩下定理,从“鬼谷算”猜岁数游戏谈起,猜谜语这种民间游戏，在中国有几千年历史了。可是你知道不知道还有一个猜岁数游戏在一千多年前也曾是中国人民一个游戏？,第28页,让我们借想像羽翼飞到那古老年代，飞到那位于富庶肥沃关中平原，那诗经所说：“径以渭蜀”径水、渭水流域上古城长安。长安是个像杜甫诗歌所描写：“渔阳豪侠地，击鼓吹笙竽，云帆转辽海，粳稻来东吴。越罗与楚练，照耀与台躯”一个很热闹繁荣城市。,第29页,我们不单听到吹竽鼓瑟、击筑弹琴，也见到斗鸡走犬。而位于大街酒家，高朋满座。最热闹是靠南城门墙脚地方，只见许多人围绕在一个竹竿高挂上写“鬼谷神算”布条下。挤进去看，我们看到一个有仙风道骨模样老人对另一位老观众说：“大爷不需告诉我岁数，只需讲你岁数除以二、三、五后余数是多少，就能够了。”,第30页,“用二除嘛，余一；用三除嘛，也是余一；用五除嘛是余三。”只见算命先生摆弄一下竹筹，就说：“大爷今年73岁了，有道是人生七十古来稀，大爷童颜鹤龄，龙马精神，真是有福。”他算对了，是怎么样算出来呢？,第31页,同余概念,首先让我介绍德国数学家高斯在2前想出一个数学上很主要概念：“同余”.,给定一个正整数,n,，我们说两个数,a,、,b,是对模,n,同余，假如,a,b,是,n,倍数。用符号,a,b,（mod,n,）来表示。,第32页,比喻说：7，4，是对模3同余，因为74=3。,16，52是对模6同余，因为1652=366（6）。,23，13是对模2，模5同余，因为231310=25.,写成数学式子是74（mod 3），1652（mod 6），2313（mod 2）或 2313（mod 5）,第33页,我们现在令Z表示全部整数集合，给定一个正整数,n,，我们看同余终究有什么性质？,首先，对于任何整数,a,，我们恒有,a,a,（mod,n,）,因为,a,a,00,n,，以上性质就是“同余含有,自反性,。,其次，假如,a,b,（mod,n,），则一定有,b,a,（mod,n,）,因为由,a,b,（mod,n,），我们得,a,b,=,n,k,，,k,是一个整数，,第34页,所以,b,a,=（,a,b,）,n,（,k,），即,b,a,（mod,n,）。我们说“同余含有,对称性,”。,另外假如有,a,b,（mod,n,），,b,c,（mod,n,），,则我们能够得到,a,c,（mod,n,）。,这就是“同余含有,传递性,。,第35页,让我们看看下面例子：,例1取,n,2，则我们把整数分成偶数或奇数，就是,0,2,=0，2，4，6，2k，包含全部偶数。,1,2,=1，3，（2k+1)，包含全部奇数。,第36页,例2.取,n,3，则,0,3,=，9，6，3，0，3，6，9，,1,3,=，8，5，2，1，4，7，10，,2,3,=，7，4，1，2，5，8，11，,现在让我问一个问题：“什么数被2除余1？”我想你一定会回答：是全部奇数，奇数普通能够用2k1来表示k0，1，2，。这就是在1,2,数。,第37页,现在让我再问一个问题：“什么数被3除余2？”,我想你一定会回答：全部形如3k2数，这里k能够等于0，1，2，这就是在2,3,里数。,这两个问题都是很轻易。现在让我们把这两个问题合成一个问题：“什么数被2除余1，被3除余2？”,第38页,这里你就必须在2,3,里找全部奇数，即7，1，5，11，等等。（假如你学过初等集合论，你就是要找交集1,2,2,3,全部元素。）,而这些全部数能够写成形如6k1。（k=0，1，2，）,因为6k11（mod 2）,6k12（mod 3）,以上问题写成数学式子就是：“寻找x，使得x1（mod 2），x2（mod 3）。”,而答案是：全部形如6k1数。,第39页,中国古算书一个问题,在成书差不多4世纪时一本中国最古老数学书之一孙子算经里下卷第26题，是一个闻名世界数学问题。这问题有些人称它为“孙子问题”,现在我们看这问题：,“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”,第40页,这问题翻译成现在白话是：“现在有一些东西不知道它们个数，三个三个一组剩下2个，五个五个一组剩下3个，七个七个一组剩下2个，问这些东西有多少？”,我们把这个问题再翻译成数学问题，就变成：“寻找x，使得x2（mod 3），x3（mod 5），x2（mod 7）。”,第41页,你只要知道2,3,，3,5,，2,7,就在里面找那些数同时在这三个集合里就行了。所以由,2,3,=，1，2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，,3,5,=，2，3，8，13，18，23，28，33，38，43，47，,2,7,=，5，2，9，16，23，30，37，44，51，58，63，,我们很轻易看到最小正整数答案是23。,第42页,这和孙子算经答案：“答曰：二十三”是符合。,孙子算经还给出解这题方法：,“术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百十一减之即得。”,而书中接下来就给这一类问题普通解法：,第43页,“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五；一百六以上，以一百五减之即得。”,这些解法叙述，相信许多读者第一次看会以为莫名其妙，终究这是在说什么东西？我们现在研究一下。,第44页,孙子算经解法,现在假定“孙子问题”普通情形：求x使得,xr,1,（mod 3）0r,1,3,xr,2,（mod 5）0r,2,5（I）,xr,3,（mod 7）0r,3,7,因为模3，5，7是两两互素，所以它们最小公倍数=357335=521=715105,第45页,因为 3521（mod 3）,2111（mod 5）,1511（mod 7）,所以由同余可乘性我们得,于是我们有,70r,1,21r,2,15r,3,70r,1,r,1,（mod 3）,70r,1,+21r,2,15r,3,21r,2,r,2,（mod 5）,70r,1,+21r,2,15r,3,15r,3,r,3,（mod 7）,第46页,所以同余式组（I）解是满足下面同余式组整数值x：,x70r,1,21r,2,15r,3,（mod 3）,x70r,1,21r,2,15r,3,（mod 5）（）,x70r,1,21r,2,15r,3,（mod 7）,因为x(70r,1,21r,2,15r,3,)是3，5，7倍数，它也会是(3，5，7)最小公倍数105倍数。,第47页,故（）解一样是和x70r,1,21r,2,15r,3,（mod 105）一样。,现在回过头看“孙子问题”，r,1,=2，r,2,=3，r,3,=2。由算经前半段解法是这么：,x=702213152210523,在古代中国人民有猜岁数，“隔壁算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏，就是属于“孙子问题”范围和解法。,第48页,明朝程大位在1583年写一部以后流传很广应用数学书直指算法统宗就有一首孙子歌：“三人同行七十稀，五树梅花甘一枝；七子团员正半月，除百零五便得知。”就在诗歌中点明解孙子问题所用到一些数字。,第49页,中国剩下定理,以上孙子问题解法能够推广为：,假如有同余式组：xr1（mod,n,1）,xr2（mod,n,2）,xr3（mod,n,3）,这里0r1,n,1，0r2,n,2，0r3u3，而且,n,1，,n,2，,n,3是两两互素，,第50页,即GCD（,n,1，,n,2）GCD（,n,1,n,3）=GCD（,n,2，,n,3）=1。,假如能找到整数，满足下面三式：,n,2,n,31（mod,n,1）,n,1,n,31（mod,n,2）,n,2,n,11（mod,n,3）,那么x,n,2,n,3r1+,n,1,n,3r2+r,n,2,n,1r3(mod,n,1,n,2,n,3)是原同余式组解。,第51页,迟于中国人，古代印度数学家也考虑类似“孙子问题”，欧洲在12出意大利数学家斐波那契算法之书才有两个一次同余问题。而上面推广，欧洲人要到18世纪才被欧拉重新发觉。所以欧洲数学家以后把这定理称为中国剩下定理，而不是“欧拉定理”以纪念中国数学家在这方面成就。,第52页,例1 找一个最小正整数被3除余2，被4除余3。,解我们现在要解同余式组：,x2（mod 3），x3（mod 4）,先找那些4倍数被3除余1。从8，12，16，20，我们看到最小是16。,再找3倍数被4除余1。从9，12，15，我们试到最小是9。,即441（mod 3），331（mod 4）,第53页,所以由中国剩下定理我们知道,x162+93=59（mod 12）,所以最小整数是59412=11,例2 让我们回到这篇文章前那个算命先生玩意儿。算命先生要解x1（mod 2），x1（mod 3），x3（mod 5）。,显著3511（mod 2）,2511（mod 3）,2311（mod 5）,第54页,所以由中国剩下定理可得,x15+10+63=43（mod 30），,或x13（mod 30），,所以普通岁数公式是x=30k+13假如k=1，则x=30+13=43，,这不会是老头子年纪。所以取k=2，则x=60+13=73，就是老头子岁数。,第55页,第56页,
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
