MATLAB解方程与函数极值省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/10/3,#,第7章 MATLAB解方程与函数极值,7.1 线性方程组求解,7.2 非线性方程数值求解,7.3 常微分方程初值问题数值解法,7.4 函数极值,第1页,7.1 线性方程组求解,7.1.1 直接解法,1利用左除运算符直接解法,对于线性方程组,Ax,=,b,，能够利用左除运算符“,”求解：,x=A,b,第2页,例7-1 用直接解法求解以下线性方程组。,命令以下：,A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;,b=13,-9,6,0;,x=Ab,第3页,2利用矩阵分解求解线性方程组,矩阵分解是指依据一定原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵乘积。常见矩阵分解有LU分解、QR分解、Cholesky分解，以及Schur分解、Hessenberg分解、奇异分解等。,第4页,(1)LU分解,矩阵LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵乘积形式。线性代数中已经证实，只要方阵A是非奇异，LU分解总是能够进行。,MATLAB提供lu函数用于对矩阵进行LU分解，其调用格式为：,L,U=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个变换形式下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU。注意，这里矩阵X必须是方阵。,L,U,P=lu(X)：产生一个上三角阵U和一个下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足PX=LU。当然矩阵X一样必须是方阵。,实现LU分解后，线性方程组Ax=b解x=U(Lb)或x=U(LPb)，这么能够大大提升运算速度。,第5页,例7-2 用LU分解求解例7-1中线性方程组。,命令以下：,A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;,b=13,-9,6,0;,L,U=lu(A);,x=U(Lb),或采取LU分解第2种格式，命令以下：,L,U,P=lu(A);,x=U(LP*b),第6页,(2)QR分解,对矩阵X进行QR分解，就是把X分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R乘积形式。QR分解只能对方阵进行。MATLAB函数qr可用于对矩阵进行QR分解，其调用格式为：,Q,R=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R，使之满足X=QR。,Q,R,E=qr(X)：产生一个一个正交矩阵Q、一个上三角矩阵R以及一个置换矩阵E，使之满足XE=QR。,实现QR分解后，线性方程组Ax=b解x=R(Qb)或x=E(R(Qb)。,第7页,例7-3 用QR分解求解例7-1中线性方程组。,命令以下：,A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;,b=13,-9,6,0;,Q,R=qr(A);,x=R(Qb),或采取QR分解第2种格式，命令以下：,Q,R,E=qr(A);,x=E*(R(Qb),第8页,(3)Cholesky分解,假如矩阵X是对称正定，则Cholesky分解将矩阵X分解成一个下三角矩阵和上三角矩阵乘积。设上三角矩阵为R，则下三角矩阵为其转置，即X=RR。MATLAB函数chol(X)用于对矩阵X进行Cholesky分解，其调用格式为：,R=chol(X)：产生一个上三角阵R，使,R,R,=,X,。若X为非对称正定，则输出一个犯错信息。,R,p=chol(X)：这个命令格式将不输出犯错信息。当X为对称正定，则p=0，,R,与上述格式得到结果相同；不然p为一个正整数。假如X为满秩矩阵，则R为一个阶数为q=p-1上三角阵，且满足RR=X(1:q,1:q)。,实现Cholesky分解后，线性方程组Ax=b变成RRx=b，所以x=R(Rb)。,第9页,例7-4 用Cholesky分解求解例7-1中线性方程组。,命令以下：,A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4;,b=13,-9,6,0;,R=chol(A),?Error using=chol,Matrix must be positive definite,命令执行时，出现错误信息，说明A为非正定矩阵。,第10页,7.1.2 迭代解法,迭代解法非常适合求解大型系数矩阵方程组。在数值分析中，迭代解法主要包含 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。,1Jacobi迭代法,对于线性方程组Ax=b，假如A为非奇异方阵，即aii0(i=1,2,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A对角元素，L与U为A下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为：,x=D,-1,(L+U)x+D,-1,b,与之对应迭代公式为：,x(k+1)=D,-1,(L+U)x(k)+D,-1,b,这就是Jacobi迭代公式。假如序列x(k+1)收敛于x，则x必是方程Ax=b解。,第11页,Jacobi迭代法MATLAB函数文件Jacobi.m以下：,function y,n=jacobi(A,b,x0,eps),if nargin=3,eps=1.0e-6;,elseif nargin=eps,x0=y;,y=B*x0+f;,n=n+1;,end,第12页,例7-5 用Jacobi迭代法求解以下线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10,-6,。,在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令以下：,A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;,b=9,7,6;,x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6),第13页,2Gauss-Serdel迭代法,在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，无须再用，即原来迭代公式Dx,(k+1),=(L+U)x,(k),+b能够改进为Dx,(k+1),=Lx,(k+1,)+Ux,(k),+b，于是得到：,x,(k+1),=(D-L),-1,Ux,(k),+(D-L),-1,b,该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。,第14页,Gauss-Serdel迭代法MATLAB函数文件gauseidel.m以下：,function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps),if nargin=3,eps=1.0e-6;,elseif nargin=eps,x0=y;,y=G*x0+f;,n=n+1;,end,第15页,例7-6 用Gauss-Serdel迭代法求解以下线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10,-6,。,在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令以下：,A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;,b=9,7,6;,x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6),第16页,例7-7 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解以下线性方程组，看是否收敛。,命令以下：,a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1;,b=9;7;6;,x,n=jacobi(a,b,0;0;0),x,n=gauseidel(a,b,0;0;0),第17页,7.2 非线性方程数值求解,7.2.1 单变量非线性方程求解,在MATLAB中提供了一个fzero函数，能够用来求单变量非线性方程根。该函数调用格式为：,z=fzero(fname,x0,tol,trace),其中fname是待求根函数文件名，x0为搜索起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近那个根。tol控制结果相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。,第18页,例7-8 求f(x)=x-10,x,+2=0在x0=0.5附近根。,步骤以下：,(1)建立函数文件funx.m。,function fx=funx(x),fx=x-10.x+2;,(2)调用fzero函数求根。,z=fzero(funx,0.5),z=,0.3758,第19页,7.2.2 非线性方程组求解,对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。fsolve函数调用格式为：,X=fsolve(fun,X0,option),其中X为返回解，fun是用于定义需求解非线性方程组函数文件名，X0是求根过程初值，option为最优化工具箱选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户能够使用optimset命令将它们显示出来。假如想改变其中某个选项，则能够调用optimset()函数来完成。比如，Display选项决定函数调用时中间结果显示方式，其中off为不显示，iter表示每步都显示，final只显示最终止果。optimset(Display,off)将设定Display选项为off。,第20页,例7-9 求以下非线性方程组在(0.5,0.5)附近数值解。,(1)建立函数文件myfun.m。,function q=myfun(p),x=p(1);,y=p(2);,q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);,q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y);,(2)在给定初值x0=0.5,y0=0.5下，调用fsolve函数求方程根。,x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off),x=,0.6354,0.3734,第21页,将求得解代回原方程，能够检验结果是否正确，命令以下：,q=myfun(x),q=,1.0e-009*,0.2375 0.2957,可见得到了较高精度结果。,第22页,7.3 常微分方程初值问题数值解法,7.3.1 龙格库塔法介绍,7.3.2 龙格库塔法实现,基于龙格库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解函数，普通调用格式为：,t,y=ode23(fname,tspan,y0),t,y=ode45(fname,tspan,y0),其中fname是定义f(t,y)函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为t0,tf,表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和对应状态向量。,第23页,例7-10 设有初值问题，试求其数值解，并与准确解相比较(准确解为y(t)=)。,(1)建立函数文件funt.m。,function yp=funt(t,y),yp=(y2-t-2)/4/(t+1);,(2)求解微分方程。,t0=0;tf=10;,y0=2;,t,y=ode23(funt,t0,tf,y0);%求数值解,y1=sqrt(t+1)+1;%求准确解,t,y,y1,y为数值解，y1为准确值，显然二者近似。,第24页,例7-11 求解著名Van der Pol方程。,例7-12 有Lorenz模型状态方程，试绘制系统相平面图。,第25页,7.4 函数极值,MATLAB提供了基于单纯形算法求解函数极值函数fmin和fmins，它们分别用于单变量函数和多变量函数最小值，其调用格式为：,x=fmin(fname,x1,x2),x=fmins(fname,x0),这两个函数调用格式相同。其中fmin函数用于求单变量函数最小值点。fname是被最小化目标函数名，x1和x2限定自变量取值范围。fmins函数用于求多变量函数最小值点，x0是求解初始值向量。,第26页,MATLAB没有专门提供求函数最大值函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上最小值就是f(x)在(a,b)最大值，所以fmin(f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上最大值。,第27页,例7-13 求f(x)=x,3,-2x-5在0,5内最小值点。,(1)建立函数文件mymin.m。,function fx=mymin(x),fx=x.3-2*x-5;,(2)调用fmin函数求最小值点。,x=fmin(mymin,0,5),x=,0.8165,第28页,