基本方程组的数值求解省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件.pptx

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,基本方程组数值求解,第1页,一、引言,控制层流和湍流燃烧微分方程组几个特点：,方程很复杂，无法得到分析解，需要数值求解。,各个方程结构相同，都包含时间导数项、对流项、扩散项和源项几部分。所以，各个方程能够用相同方法求解。其中动量方程可写成,(1),方程是非线性，比如对流项有三个应变量，是三次项。非线性方程需要用迭代方法求解。,各方程之间是相互耦合。求解时，需对全部方程进行联立求解。,第2页,二、积分区域与微分方程离散化,1积分区域离散化,积分区域离散化，把参数连续改变流场用有限个点来代替,交线交点称为网格结点,两相邻结点之间距离称为网格步长,时间坐标上定出有限个离散点，相邻两离散点间距离为时间步长,图1 网格结点符号,X,3,X,2,X,1,P,第3页,2微分方程离散化,利用连续方程，一维非定常流动方程写为,（2）,在控制容积上积分，并利用奥,-,高定律，得,上标,n,表示当前时间层值；上标,（n-1）,表示前一时间层值,对流项和扩散项参数暂时未注明取哪一个时间层值,式中扩散通量普通用中心差分：,（4）,但在对流项中，,e,点和,w,点值能够用不一样插值方法得出,。,第4页,图2 控制容积,控制容积在,x,方向为等距网格，长度为 ，其它两个方向上取单位长度,控制容积在与x方向垂直面元面积 =1,控制体体积,第5页,三、交织网格,在用控制容积法建立差分方程时，需用插值方法计算差分方程系数,Harlow等人提出用交织网格，以降低因插值而引进误差,在这种网格中，速度定义在两结点之间中点上，其余参数仍定义在网格线交点上,实线交点定义了除速度分量以外全部参数，称为主结点,实线与虚线交点定义了不一样速度分量，称为速度结点,计算标量对流通量时，速度就定义在控制体面之上，毋须插值,第6页,图3 交织网格,在建立动量方程（比如说,u,）差分方程时，交织网格优点更为突出,在非交织网格中，,P,点压力梯度差商近似为,在交织网格中，,w,点压力梯度差商近似为,用交织网格精度比非交织网格要高得多,第7页,四、差分格式,1差分方程要求,在计算数学中，为评价差分格式，提出了相容性、稳定性、耗散性、色散性等标准，并发展了一系列分析方法,为了轻易了解，这里从物理真实性、收敛性及解精度几方面进行讨论,差分方程能够写为,(5),式中，取和号下指数nb表示P点周围结点。对一维问题，是两项相加，二维问题是四项相加，余这类推。,第8页,1）物理上真实性,差分方程系数要同号：在差分方程,（5）,中，,B,nb,和,B,P,要同号,在控制面上，通量要保持一致：在计算两个控制体通量时，要确保在同一面元上有相同表示式，不然话，在这个面元上就得引进一个小源或汇，方便确保参数总守恒。,第9页,2）迭代求解收敛性,对于非线性方程组求解，当前还没有成熟理论，可借用线性代数方程组标准对差分方程进行一些限制。斯卡巴勒,（Scarborough）,指出：,全部结点差分方程，其系数之和需满足,（6）,最少有一个结点，系数之和满足,（7）,对于非线性代数方程，上述条件是充分，但不一定是必要,第10页,3）解准确性,要使最终求得结点与试验符合，除了合理安排差分网格外，恰当地选择差分格式也是主要原因之一。,第11页,2对流项和扩散项差分,很多差分格式系数都与参数 、比值佩克莱特,（Peclet）,数 相关,数表示了对流与扩散作用相对大小,当 数绝对值很大时，导热或扩散作用就能够忽略。这时，对流作用就把流动上游信息一直带到下游，而经过扩散向上游传递下游信息则几乎等于零,假如输运系数为粘性系数，则数即为以网格步长为特征长度雷诺数,参数,D,恒为正值，参数,C,正负号与速度相同。,第12页,定常一维流动和扩散过程，其控制方程为,（8）,在图2所表示控制容积上积分得,（9）,另首先，方程（8）有准确解，通解为,（10）,代入W-P段两端边界条件：当 时，；当 时，可得该段解为,其中,为,w截面佩克莱特数。,第13页,将上式代入式（9）后一项，可得,（11）,其中 为w截面参数，。通解中代入,P-E,段两端边界条件，一样可得,（12）,这里 ，。,第14页,将式,（11）,和式,（12）,代入式,（9），,并利用连续条件 可得,其中,，,（13）,第15页,几个对流项差分格式,1）中心差分格式,参见图2，令 ，连同式,（4）,一起代入方程,（3），,可得,（14）,第16页,隐式中心差分格式,利用连续方程,深入得,（15）,第17页,（15）,式中各系数分别为,（16）,第18页,显式中心差分格式,（17）,在该差分方程中，系数本应取,n,时间层值，但在求解以前，是未知，所以近似取,n-1,时间层值。其它系数同式,（16）,。,第19页,2）,迎风差分格式,参见图2，令,代入方程（3），一样可得式（15）或式（17），只是系数要改为,（19）,这就是迎风差分格式系数。,第20页,将准确解给出系数，以及中心差分和迎风差分系数 分别为式,（16）,和式,（19）,同时画出在图4中,从图中可看出，当初，中心差分格式比迎风差分格式更靠近于准确值。但当数增大或减小时，中心差分很快就远离准确值,迎风差分格式在数较小时，精度不如中心差分格式高，但它对准确值偏离不随数或流动雷诺数改变，适合解高雷诺数流动。,第21页,图4 差分方程系数比较,依据图4，可推荐混合差分、指数差分和乘方差分等几个差分格式,第22页,3）混合差分格式,依据 数大小来确定差分方程系数,当 时，用中心差分,当 时，用 数趋于无穷时渐近值，,B,E,=0,，,B,W,=C,w,；一样，当 时，用 数趋于负无穷时渐近值，,B,W,=0,用一个式子表示，即为混合差分格式,(20),第23页,4）指数差分格式,差分方程系数直接用由定常一维方程准确解推出公式（13）计算。,系数较准确，不过包含了指数函数运算，需要较多计算时间。,第24页,5）乘方差分格式,在 =2附近，混合差分格式系数误差依然较大,对指数差分格式系数曲线，分四段进行拟合,表1 乘方差分格式拟合函数,范围,-,0,0,第25页,当 时，此格式和混合差式相同,系数可用以下简练形式表示：,第26页,