第2章：有限单元法的解题思路2.ppt

第一篇 基本部分,第,2,章 有限单元法的基本概念,2.1,有限元法的解题思想,有限单元法的基本思想是将一个连续的求解域离散化，即将连续体划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为结点，再把作用于各单元上的外载荷按照虚功原理进行载荷移置，即转化成单元的等效结点载荷,【,结构离散,】,；,在单元体内假设近似解,的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性,【,单元特性析,】,；然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知数的方程组,【,整体分析,】,，求解这个方程组，得出各结点的未知参数，利用插值函数求出近似解,【,求解,】,。,构成有限元系统的,3,个基本要素是,节点,、,单元,和,自由度,。,（,1,）节点（,Node,）：节点是构成有限元系统的基本对象，也就是这个工程系统中的最基本点，它包含了坐标位置以及具有物理意义的自由度信息。,（,2,）单元（,Element,）：单元是由节点与节点相连而成，是构成有限元系统的基础。一个有限元系统必须有至少一个以上的单元。单元与单元之间由各节点相互连接，在具有不同特性的材料和不同的具体结构当中，可选用不同种类的单元，单元中包含了物理对象的各种特性。因此单元的选择极为重要，决定求解效率和精度。,（,3,）自由度,(DOF,Degree of Freemdom,）：包括系统的自由度和节点自由度。在分析中需要对整个系统的自由度进行适当的约束,系统中每个节点都有各自的节点坐标系和对应的节点自由度，不同单元上的节点具有不同的自由度。,2.2,有限元法的基本要素,结构离散化是有限单元法分析的基本前提，也是有限单元法解解题的重要步骤。,2.3.1,结构离散化的主要任务是：,（,1,）选择合适的单元类型，把结构分割成有限个单元；,（,2,）把结构边界上的约束，用适当的结点约束来代替；,（,3,）把作用在结构上的非结点载荷等效地移置为结点载荷；,2.3.2,单元类型,单元是具有单元特性的，如单元结构、单元结点数、结点自由,度数、单元刚度矩阵等，不同的单元有不同的单元特性。,2.3,结构离散化,设置不同单元类型的目的主要是用于求解不同工程问题，同时也兼顾求解精度。到目前为止，共设计开发了百余种单元，机械工程问题中设计的单元大致可以分为：,（,1,）自然离散问题单元；,自然离散问题单元有杆单元、梁单元。对于杆系结构的离散化，通常采用自然离散的形式，即把结构的杆作为单元，称为杆单元。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架情况），以传递负荷。,i,j,x,y,z,j,i,(a),杆单元,(b),梁单元,（,2,）平面问题单元；,在弹性平面问题中，常用的单元有：,3,结点三角形单元、,4,结点矩形单元、,6,结点三角形单元、,4,结点任意四边形单元、,8,结点曲边四边形单元，如图所示,（,3,）轴对称问题单元；,对于轴对称问题，一般采用环单元。最常用的是,3,结点三角形环单元和,4,结点四边形环单元。同样，为模拟曲线边界及提高插值函数精度，还可以采用更多结点的环单元，如,8,结点四边形环单元。如图,2,3,所示,（,4,）空间问题单元,在空间问题中，采用的是空间单元，常用的有四面体单元和六面体单元。如,4,结点四面体单元、,8,结点六面体单元、,20,结点六面体单元，如图所示。,2.3.3,用单元划分有限元网格应遵循的原则,任一单元的顶点必须同时也是相邻单元的顶点，而不能是相邻单元的内点,；,同一单元的各边长（或各顶角）不应相差太大，亦即单元划分中不应出现太大的钝角或过小的锐角。否则在计算中会出现较大的误差,。为使整个求解区域计算结果的精度大体一致，当划分单元时其大小尽量不要相差太悬殊；,单元数目应根据精度要求和计算机容量来确定。在保证精度的前提下，力求采用较少的单元,。为此，当划分单元：,应充分利用结构的特点，如对称性、循环对称性等，从原结构中取出一部分进行分析；采用密不同的网格剖分，对应力变化急剧的区域可分细一些，应力变化平缓的区域可以分粗一些；对于大型复杂结构，可以采用分步计算的方法，即先用比较均匀的粗网格计算一次，然后根据计算结果，在局部区域再细分单元，进行第二次计算，或者采用子结构法；,（,4,）当物体的厚度有突变或者物体由不同材料组成时，不要把厚度不同或材料不同的区域划在同一单元里。,2.3.4,施加约束,任何结构都有其承载基础，承载基础是一个固定不动的实体，它不仅承受结构传来的载荷，而且约束了结构的方向位移。施加约束就是在将结构物理模型转化为有限元模型时对承载基础的表达，目的是防止结构有限元模型产生刚体位移。有限元中实施约束就是客观地对与承载基础的结点实施方向约束，并将其方向位移置为,0,或某个值，即所谓的约束边界条件。如下图,2,1,所示，对于结点,1,与,2,有，,u,1,=v,1,=u,2,=v,2,=0,P,P,5,4,2,3,1,图,2,1,施加约束,2.3.5,非结点载荷等效移置,在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。,整个结构的非结点载荷的移置,按单元进行,，即将各单元所受的非结点外载荷分别移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵,。,因此这里只需介绍单元载荷移置问题。,单元载荷移置所遵循的原则是,能量等效原则,，即单元的实际载荷与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等,。,单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓,载荷移置普遍公式化,，这种方法适用于各种类型的单元。由于普遍公式化其表达公式,与单元位移函数模式有关（也可说是与单元形函数有关），故在后面单元分析时再予以介绍。但当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面,3,结点三角形单元，载荷移置的普遍公式化就简化成一种最简单的移置方法，即所谓的,直接法,，当然这种方法只适用于具有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，在后面单元分析时一并介绍,2.4,单元特性分析,在位移法有限元中，首先要针对所,选定的单元类型选择一简单多项式函数近似表达单元内各位移分量的分布规律，并把单元内任意点的位移分量写成统一形式的结点位移插值函数形式，从而通过单元结点位移，表达出单元内任意点的位移、应变和应力。其次，利用虚功原理或变分原理建立单元结点力与结点位移之间的特性关系，称为单元有限元方程,。,该方程可用矩阵形式表示为：,F,e,=K,e,e,注：角标,e,表示单元,element,之意,式中：,F,单元结点载荷列阵；,K,单元刚度矩阵；,单元结点位移列阵,单元刚度矩阵,K,反映了单元结点力与单元结点位移之间的特性关系。不难看出，建立单元刚度矩阵,K,是单元分析的核心，也是单元分析的主要任务，事实上也是整个有限元分析中的关键性步骤。,2.4.1,选择单元位移模式,在用有限元法进行结构分析中，就研究方法而言一般有三种。第一种是选择结点位移作为基本未知量，在选择适当的位移函数的基础上，进行单元的力学特性分析，进而建立单元的刚度矩阵和总体刚度矩阵，然后解方程组求出结点位移，再由结点位移求得应力，这种方法称为,位移法,；第二种是选择结点力作为基本未知量，解出结点力后，再计算结点位移和应力，这种方法称为,力法,；第三种是取一部分结点位移和一部分结点力作为基本位置，称为,混合法,。由于位移法比较简单，易于实现计算自动化，所以大多采用位移法。,当采用位移法时，物体和结构离散化之后，就可把单元中的一些物理量如位移、应变和应力等由结点位移来表示。对单元中位移,的分布一般采用能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限法,中我们,将位移表示为坐标变量的简单函数,，这种函数称为,位移模式或位移函数,。它反映了单元的位移形态并决定着单元的力学特性。由于这种函数关系在解题前是未知的，而在单元分析时又必须用到，为此可以事先假定一个函数，人为规定位移分量为坐标的某种函数。,所假定的,位移函数必须满足两个条件,：,它在结点上的值应等于结点位移；它所采用的函数必须保证有限元解收敛于真实解,。即当结构的单元划分得越来越精细时，近似的数值解将收敛于真实解。,为保证选择的位移函数使有限元收敛于真实解，位移函数必须满足以下,4,个条件,(a),位移函数必须包含单元的常量应变,：弹性体的应变可以分为与坐标无关的常量应变及随坐标变化的当量应变。当单元尺寸逐渐缩小时，单元的应变将趋于常量，因此在位移函数中必须包含有常量应变。,(b),位移函数必须包含单元的刚体位移,。所谓刚体位移是指弹性体不发生应变时的位移，这是弹性体可能发生的一种基本的位移。因此，单元的位移函数既要能够描述单元自身的应变，又要能够描述单元的刚体位移。,(c),位移函数在单元内部必须是连续函数，即单元内部的连续性,。,(d),位移函数应使相邻单元间的位移协调，即单元边界的连续性,。即在交界面上满足变形协调条件，变形后既不开裂，也不重叠，从而保证了整个结构的位移连续。,上述,4,个条件是有限元解收敛于真实解的充分条件。以这样的位移函数构成的单元称为协调元。在有限元法中，有些单元的位移函数只满足前,3,项条件，并不满足单元边界连续性要求，实践证明，它们的有限元解也可能收敛于真实解，因此前,3,项条件是有限元解收敛于真实解的必要条件。,单元中的位移模式一般采用以广义坐标,为待定系数的有限项多项式作为近似函数。,因为多项式的数学处理比较容易，尤其便于微分与积分运算。另外任意阶次的多项式可以近似地表示真实解。当然，只有无限次的多项式才与真实解相对应，但为了实用，通常只取有限次多项式来近似。,如,3,结点三角形单元位移函数的广义坐标表示为：,有限项多项式的选取得原则应考虑以下几点：,（,1,）,广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等,。如,3,结点三角形单元有,6,个自由度（结点位移），因此广义坐标个数应取,6,个，即两个方向的位移,u,v,各取三项多项式。,（,2,）,选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备,。位移函数中的常数项和一次项分别反映了单元刚体位移和常应变的特性。当划分的单元数趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常应变。,（,3,）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说对于单元每边具有两个端结点的应保证一次完全多项式；每边有,3,个结点的应取二次完全多项式。若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有坐标的对称性，并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。,2.4.2,分析单元的力学性质,根据单元的材料性质、形状、尺寸、结点数目、位置及其含义，找出单元结点力和结点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要用到弹性力学的几何方程和物理方程来建,立力和位移的方程式，从而导出,单元刚度矩阵,。单元刚度矩阵的推导是单元力学分析的主要工作。单元刚度矩阵的导出方法可以采用：,1,）,直接刚度法,对于简单的构件（如质量弹簧系统、杆、梁等，可以利用材料力学或结构力学的已知结果，直接求出刚度矩阵的每一个元素，这种方法称为直接刚度法,2,）,能量原理法,当用位移型有限元法进行结构分析时，一般采用虚功原理法 或最小势能原理,注：力型有限元法一般则采用余虚功原理或最小余能原理,。对于非结构问题，如流场、温度场、电磁场等，一般均采用变分法来分析单元特性。,单元组集的目的是为了实现总体分析。利用结构力的平衡条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程，即整体刚度方程。,2.5,单元组集,根据方程组的具体特点选择合适的计算方法，解有限元方程,(2.1),得出结构结点位移。进而通过各单元结点位移可求出单元内任意一点的位移、应变、应力。,通过上述分析可以看出，有限元法的基本思想是,“,一分一合,”,，分是为了进行单元分析，合则是为了对整体结构进行综合分析。只有通过整体有限元方程才能求解出全部结点位移。,2.6,解结构有限元方程，,求解未知结点位移,由于有限元法用于杆系，具有十分清晰的物理意义，所以，为了便于说明有限元解题的基本思路与过程，又能说明刚度矩阵的概念，本例以杆系结构作为分析实例。图,3,1,所示的平面桁架结构,(1),结构离散,作用在结点上的外力及桁架内各杆的位移都在平面内。当用有限元法分析杆系结构时，需要将复杂的结构离散化，通常采用自然离散的形式，也即把结构的杆作为单元，称为,杆单元,。有限个杆单元之间，利用有限个结点相互铰接（桁架结构的杆件只承受轴向力），以传递负荷。,P,4x,P,4y,x,y,o,1,2,3,4,图,3,1,平面桁架结构,2.7,有限元解题过程演示实例,(2),单元的特性进行分析 即建立,单元有限元方程,从图,3,1,中，任取一个杆单元,表示为图,3,2,，令其结点为,i,、,j,F,jx,u,j,V,j,F,jy,F,ix,u,i,V,i,F,iy,i,j,图,2,2,杆单元,i,j,K,jx,ix,K,jy,ix,K,ix,ix,K,iy,ix,u,i,=1,x,y,图,2,3,刚度系数的物理概念,杆单元的刚度矩阵可简单求出。由于桁架结构的杆件只承受轴向力,F,a,和轴向位移,a,，,由上述分析可见，,单元刚度矩阵的物理意义就是单元抵抗变形的能力,，与单向弹簧拉伸刚度不同的是当存在一个单位位移时，杆单元所产生的结点力不是,1,个，而是,4,个结点力分量。任何,1,个结点力分量都是由,4,个结点位移分量变化所产生的综合结果。可以看出，单元刚度矩阵是实方阵（实际上刚度矩阵是对称方阵），阶数单元结点数,单个结点的自由度数。如杆单元的单元刚度矩阵阶数,22,4,，平面三角形单元的单元刚度矩阵阶数,23,6,。,(3),结构有限元方程的建立,将杆单元组成结构，列出整体刚度方程，即按单元建立平面桁架各结点上内力和外力的平衡方程。,把图,2,2,所示的桁架结构自然离散成如图,3,4,所示各个单元，并将各单元结点力均注在图上。根据,变形协调条件,，即在相互联接的公共结点处，各单元的结点位移必须相等，如,4,号,公共结点，同时属于,、单元，,其位移,u,4,=,u,4,=,u,4,=,u,4,，,v,4,=v,4,=v,4,=v,4,F,4y,F,4x,F,1y,F,1x,F,1y,F,1x,F,2y,F,2x,F,2y,F,2x,F,3x,F,3y,F,3y,F,3x,F,4x,F,4y,F,2x,F,2y,F,4y,F,4x,图,2,4,桁架结构的离散,对于单元,的刚度方程，由杆单元通用方程（,3,1,），并将,i,j,替换为,1,，,4,，可以直接写出其单元刚度方程,类似地可以写出单元,、的刚度方程,单元,单元,单元,单元,、的刚度方程类同，不再列出。,按力的平衡条件,F,x,=0,F,y,=0,M=0,，就是在相互联接的公共结点处，各单元对结点的作用力与作用在该结点的外载荷必须相等，对于结点,4,有,很显然，实例桁架结构总体刚度方程其解有无穷多个，不可能得出唯一解。从物理意义上解释，由于所研究的桁架未给予约束，可以产生刚体位移，致使结点位移分量值得不出唯一的解。在具体结构上，由于支座限制了刚体位移，即,1,1,3,0,，,将其代入方程就可求出其余,5,个位移分量和,3,个支座反力分量。,从总体刚度方程可以看出，总体刚度矩阵的物理意义是总体抵抗变形的能力，其阶数总结点数,单个结点的自由度数,求出节点位移后，根据单元刚度方程，又可求出各节点的力,任何一个弹性体都是空间物体，一般的载荷都是空间力系。因此，严格地说，任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。然而，在实际工程问题中，有很多结构具有特殊的几何形状，并且承受特殊的载荷，使其沿某一方面的应力或应变很小。在满足工程精度要求的前提下，为了降低问题的复杂性，人们常常把它们作为二维问题来处理，这就是所谓的平面问题。按照弹性力学的分类，平面问题可分为平面应力问题与平面应变问题两大类。下面通过有限元法分析弹性平面问题，进一步阐述连续体刚度矩阵的概念。,在弹性平面问题中，常用的单元有：,3,结点三角形单元、,4,结点矩形单元、,6,结点三角形单元、,4,结点任意四边形单元、,8,结点曲边四边形单元，如图所示。,下面以,3,节点三角形单元为例介绍平面问题的有限单元法。设有如图所示结构，当用有限元分析时，将它离散成有限个节点相连的三角形单元的组合体。从中任取一个单元分析单元特性。,确定单元刚度矩阵的方法主要有直接刚度法和能量原理法。,对于像三角形这样稍复杂的单元是较难采用直接刚度法确定单元刚度矩阵的，这时可采用弹性力学或材料力学中的虚功原理法。,虚功原理,的含义是：当结构受载荷（外力）作用处于平衡状态时，在任意给出的结点虚位移下，外力（结点力）,F,所做的虚功等于内力（应力）所做的虚功，即,A,F,=A,3.7,结构刚度矩阵的快速建立法,前面已经通过平面桁架结构介绍了结构刚度方程的建立过程，即通过单元刚度方程写出每一个结点分力表达式，再根据变形协调条件、静力平衡条件写出各结点力学平衡方程，最后得出结构刚度方程。这是一个极其繁琐的过程，对于结点数较多的结构分析问题，其辛苦程度也是无法忍受的。事实上，,通过单元特性分析，建立了单元刚度矩阵,K,e,；通过单元载荷移置，建立了结点载荷列阵,F,e,。在此基础上，可按照一定的方式，将单元的结点位移列阵,e,组合成结构的结点位移列阵,；将单元的结点载荷列阵,F,e,组合成结构的结点载荷列阵,F,；将单元刚度矩阵,K,e,组合成结构刚度矩阵,K,；从而直接快速建立结构刚度方程：,F=K,，并且这种操作方法具有规律性，容易实现计算机编程。,上述,3,个方面的组合过程统称为集合。本节将再通过一个连续体结构的简单例子说明这一集合过程，并介绍由单元子刚阵,K,rs,直接形成总体刚度矩阵,K,的方法。,在相互连接的公共结点处，诸单元的结点位移必须相等，即必须满足变形协调条件。对于下图所示结构，在公共结点,i,处的位移必须满足变形协调条件，即：,i,因此结点位移不需要按单元来划分，结点,i,处的位移可写为,i,=,u,i,v,i,T,，结构结点位移列阵,只需按结点号递增的顺序直接写出，即,=,u,1,v,1,u,2,v,2,u,3,v,3,T,；,在相互连接的公共结点处，诸单元对结点的作用力（即诸单元结点力的反力）与作用在该结点上的外载荷,R,i,之间必须满足静力平衡条件。对于下图所示的结构，在公共结点,i,处有：,3.7.1,集合的基本原则,0.5P,0.5P,1,4,3,2,图,3,7,受拉薄板模型,1.,结构的结点位移列阵,根据公共结点处的变形协调条件，不同单元在公共结点处的位移相等。因此结构的结点位移列阵只需按结点编号顺序排列，即有：,3.7.2,结构刚度方程的快速建立实例,现通过一个简单例子来说明集合的过程。图,3,7,为一块受拉薄板，一端固定在两个铰链上，另一端作用有两个各为,0.5P,的集中载荷。为简单起见，将结构离散为两个单元，共,4,个结点，坐标系及结点编号如图示,2.,结构的结点载荷列阵,在形成结构的结点载荷列阵时，需要注意以下,3,点,：,(1),当存在非结点载荷时，首先要进行单元载荷等效移置；在公共结,点,i,处，需将与其有关的诸单元移置后的等效结点载荷,Rie,按分量进行叠加，得出结点,i,处的结点载荷,Ri,。,(2),与结构的结点位移列阵相对应，结构的结点载荷列阵,R,亦按照总体结点编号顺序排列。,(3),在位移型有限元法中，约束是通过限制结点位移来体现。因此不求解约束反力的情况下，在结点载荷列阵中不必考虑约束反力的作用。,综上所述，图,3,7,所示结构的结点载荷列阵为：,3.,结构刚度方程,单元刚度矩阵的阶数与单元的自由度数相同，因结构刚度矩阵,K,是由单元刚度矩阵,K,e,集合而成，故结构刚度矩阵的阶数亦与结构的自由度相同。该结构有,4,个结点，每个结点有,2,个自由度，因此结构刚度矩阵是一个,88,的方阵。,下面介绍由单元子刚,K,rs,矩阵形成结构刚度矩阵的两种常用方法。,按单元形成结构刚度矩阵,先将存放结构刚度矩阵的数组充零，然后从第,1,个单元开始，计算单元刚度矩阵,Ke,并将,Ke,的每个元素存放到结构刚度矩阵,0.5P,0.5P,1,4,3,2,图,3,7,受拉薄板模型,的相应位置上。若在送入某单元刚度元素时某子刚阵位置上已有数值，则需要叠加上去。当依次作完最后一个单元时，便形成了结构刚度矩阵,K,。,3.8,结构刚度矩阵的性质,结构刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成。因此它具有单元刚度矩阵的某些性质，如对称性、奇异性等。在进行有限元程序设计时，利用这些性质可以减少计算工作量，并节省计算机的存储量。,（,1,）结构刚度矩阵是一个对称方阵,因为单元刚度矩阵是对称方阵，因此，由单元刚度矩阵依次叠加而成的结构刚度矩阵必然也是对称方阵。在进行有限元程序设计时，利用这一性质，可以只计算及存储结构刚度矩阵的上三角或下三角，从而大大减少了计算工作量及对计算机存储要求。,（,2,）,结构刚度矩阵是一个奇异矩阵,从物理上讲，在建立结构刚度矩阵的过程中，并没有对结构施加约束，因而没有消除结构的刚体位移；从数学上讲，可以证明结构刚度矩阵的逆阵不存在，因此它是奇异矩阵。只有引入位移边界条件，对结构刚度矩阵进行适当处理后，才能消除它的奇异性，使之成为正定矩阵，从而保证线性代数方程组有唯一解。,（,3,）结构刚度矩阵是一个稀疏矩阵,由前面得知，对于结构中的任一结点,r,，若结点,s,与其相邻，则结构刚度矩阵中必有非零的子刚阵,Krs,，反之，若结点,s,与结点,r,不相邻，则结构刚度矩阵中的相应子刚阵,Krs,为零矩阵。当一个结构被离散化以后，尽管单元与结点的数目很多，但每个结点只与周围的有限个单元有关。对于任一结点,r,而言，与其相邻的结点为数并不多。因此，在结构刚度矩阵中必然存在大量的零元素，所以结构刚度矩阵是一个具有大量零元素的稀疏矩阵。,（,4,）结构刚度矩阵仅与结构的几何形状、单元划分形式、尺寸以及材料性能有关，而与结构所承受的载荷无关。,在有限元分析中,认为单元与单元之间仅通过结点相互联系。因此，在结构离散化过程中，如果外载荷不是直接作用在结点上，那么就需要将非结点载荷向结点等效移置。也就是把作用在结构上的真实外载荷理想化为作用在结点上的集中载荷。这个过程称为非结点载荷向结点的移置。移置到结点后的载荷称为等效结点载荷。,整个结构的非结点载荷的移置,按单元进行,，即将各单元所受的非结点外载荷分别移置到各单元相应的结点上；然后，在公共结点处应用力的叠加原理，便可求出整个结构的结点载荷列阵,。,因此这里只需介绍单元载荷移置问题。,单元载荷移置所遵循的原则是,能量等效原则,，即单元的实际载荷与移置后的结点载荷在相应的虚位移上所做的功相等,。,单元载荷移置后的等效结点载荷的计算，原则上必须根据能量等效原则推导出的载荷移置公式来计算，即所谓,载荷移置普遍公式化,。很显然，这种方法适用于各种类型的单元。,4.1,非结点载荷等效移置,当单元位移函数（或单元形函数）为线性函数时，如平面,3,结点三角形单元，载荷移置可以采用直接法。所谓,直接法,，就是利用能量等效原则直接进行单元载荷移置。直接法法只适用于具有线性位移函数的单元。为了便于对这两种载荷移置方法进行对比分析，下面通过实例予以说明。,当单元存在多个非结点载荷作用时，单元等效结点力用叠加法求出,。,需要指出的是：载荷移置必须在结构的局部区域内进行。按照圣维南原理，在局部区域内，外载荷按能量等效原则移置后，只可能在该区域内产生误差，而不会影响整个结构的变形或应力状态,。,在有限元分析中，一般所取的单元较小，因此，单元载荷移置对结果不会带来很大的影响。,4.3,边界条件处理方法,结构刚度方程：,K,=R,，是一个以结点位移为未知量的线性代数方程。求解方程组便可得出结点位移。但由于结构刚度矩阵,K,的奇异性，上述线性代数方程组不可能有唯一解。为此，必须引入位移边界条件，以消除,K,的奇异性。从数学上讲，这是保证方程组有位移解所必须的；从物理上讲，这是给结构施加必要的约束，以限制结构刚体位移。,本节从数学上证明了结构刚度矩阵的奇异性，从而说明了引入边界条件的必要性。并介绍了处理位移边界条件的几种常用方法。,4.3.1,结构刚度矩阵的奇异性,1,2,3,4,对于如图所示平面结构，划分为两个单元，,4,个结点。其刚度方程为：,K,88,81,=R,81,4.3.2,处理位移边界条件常用的方法,在有限元法中，引入位移边界条件的步骤就是在已经形成了结构刚度方程,K,及结点载荷列阵,R,之后进行的。这时,K,及,R,中的各元素均,已按照一定的顺序分别存储在相应的数组中了。因此，在对,K,及,R,进行处理时，应尽量不打乱原有的存储顺序，并希望需要处理的元素越少越好。,4.4,斜边界问题的处理,在机械工程中，有些构件如离心叶轮，带偏心孔的圆盘等，在结构形状、载荷和变形状态方面具有多轴对称（或称循环对称）的特点，在分析时可以利用这一特点，只取其中典型的一部分作为计算模型。此时，,对于对称轴上的各个结点都应给予附加约束，以限制垂直于对称轴方向的位移,。,如图所示等厚度薄圆盘的平面计算模型。当边界结点处加上连杆铰支座约束后，其所约束的方位与,X,轴或,Y,轴成某一角度，称这类支座为倾斜支座。求解这类问题就称为,斜边界问题,。,对于斜边界问题的处理需要进行一次坐标变换，现叙述如下：,x,y,X,Y,o,在工程问题中经常会遇到一些实际问题，如旋转机械中的盘、轴、承力环及支撑圈等，它们都有一个对称轴，而整个物体是通过轴的一个平面上某个图形绕此轴旋转而成的回转体，称之为轴对称体。,如果轴对称体的载荷是轴对称的，其约束也是轴对称的，则在载荷作用下产生的位移、应变和应力必然是轴对称的，这种结构的应力分析问题称,轴对称问题,。,(,结构轴对称载荷轴对称约束轴对称,),如果轴对称体的载荷是复杂载荷，如弯矩、扭矩等，此时载荷不是对称的，则在载荷作用下产生的位移、应变和应力也不再是轴对称的。这种结构的应力分析问题称,轴对称体问题,(,结构轴对称载荷或约束非轴对称,),6.1,轴对称问题的有限单元法,在轴对称问题中，通常采用圆柱坐标,(r,Z),，对称轴为,Z,轴，半,径方向为,r,轴，其正方向如图所示，以,Z,轴为正向的右螺旋转动方向表示的正向。,图,4,1,三角形环单元,空间轴对称问题虽属三维问题，但由于几何形状的轴对称性，在轴对称载荷作用下，所产生的位移、应变和应力与,无关，只是,r,和,Z,的函数，任一点的位移只有两个方向的分量，即沿,r,方向的径向位移和沿,Z,方向的轴向位移。由于轴对称，,方向的位移等于,0,，因此轴对称问题是,准,二维问题，它可以按平面问题处理，但与平面问题不尽相同。,4.2,轴对称体的离散化,由于轴对称问题的位移和应力仅与坐标,r,z,有关，因此结构离散化只在子午面内进行。离散轴对称体时，采用的单元是环单元，这些环单元与,rz,平面（子午面）正交的截面可以有不同的形状，例如,3,结点三角形、,6,结点三角形或其它形状，各单元在,rz,平面内形成网格，如图,6,1,所示。当用,3,结点三角形环单元进行网格离散时，每一个三角形环单元都有,3,条棱边，这,3,条棱边是,3,个圆周，称为结点圆，而它们与,rz,面的交点是三角形的,3,个顶点,i,j,m,，称为结点。单元结点是圆环形的铰链，三角形环单元之间用这些铰链互相连接传力。,轴对称问题进行计算时，只需取出一个截面进行网格划分和分析，但应注意到单元是环状的，所有的结点载荷都应理解为作用在单元结点所在圆周上。,任何一个弹性体都是空间物体，一般的载荷都是空间力系。因此，严格地说，任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。,空间实体结构离散化时，常用的单元如下图所示。,下面以,4,节点四面体三维实体单元为例，介绍空间问题的有限单元法。,6.1,三维实体单元的位移向量,在三维实体分析中，各节点的位移有三个分量，分别为沿,X,轴方向的位移,u,、沿,Y,轴方向的位移,v,、沿,Z,轴方向的位移,w,。对于,4,节点四面体单元而言，共有,12,个自由度（,43,12,）,若位移为线性变化，则位移函数可以包括以下各项：,=,1 x y z,，位移方程式可表示为：,6.6,空间,正,六面体单元,1.,对于,8,节点六面体单元，每个节点,3,个自由度，共,24,个自由度，则位移函数可以包括以下各项：,2.,对于,20,节点六面体单元（除了角点外，每边中点也是节点），每个节点,3,个自由度，共,60,个自由度，则位移函数可以包括以下各项：,显然，如果用前面的方法来推导用节点位移表示广义坐标的表达式并得到单元插值函数的表达式，将是十分麻烦的。同时由于长方体单元形状过于规则，不易于拟合实际结构的外形，因此应用受到限制。,如何,利用定义单元的自然坐标直接建立单元插值函数,，以及如何利用,等参变换得到任意曲面的六面体单元,在后面章节讨论。,