第14章矩阵位移法.ppt

,上海理工大学,日期：,*,*,Copyright,2003-,*,版权所有：上海理工大学城建学院土木工程系 第,*,/79,页,结 构 力 学 教 程,矩 阵 位 移 法,MATRIX DISPLACEMENT METHOD,14-1,引言,一、矩阵位移法的产生,力法和位移法相应的计算手段是手算；,矩阵位移法采用矩阵这一数学工具，利于编制通用的计算机程序，相应的计算手段是电算。,矩阵代数复习,1,、矩阵定义,一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为,m,行和,n,列，称为,m,n,阶矩阵。,A,=,a,a,a,a,a,a,a,a,a,n,n,m,m,mn,11,12,1,21,22,2,1,2,L,L,M,O,M,L,2,、方阵,一个具有相同的行数和列数的矩阵，即,m,=,n,时，称为,n,阶方阵。,3,、行矩阵和列矩阵,一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：,A,=,a,a,a,a,n,11,12,13,1,由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：,A,=,a,a,a,n,11,21,1,4,、纯量,仅由一个单独的元素所组成的,1,1,阶矩阵称为纯量。,5,、矩阵乘法,两个规则：,（,1,）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即,A,B,C,p,l,m,p,l,n,m,n,=,=,当,时才能相乘,（,2,）不具有交换律，即,AB,BA,共形,2,2,2,1,A B,=,a,a,a,a,b,b,11,12,21,22,11,21,B A,=,b,b,a,a,a,a,11,21,11,12,21,22,非,共形,2,1,2,2,6,、转置矩阵,将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：,A=,a,a,a,a,a,a,11,12,21,22,31,32,其转置矩阵为,A,T,=,a,a,a,a,a,a,11,21,31,12,22,32,当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若,A=B C D,则,A,T,=D,T,C,T,B,T,7,、零矩阵,元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用,0,表示。,若,AB=,0,，,但不一定,A=,0,或,B=,0,。,任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即,AI,=,A,IA,=,A,10,、逆矩阵,在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，,除法运算由矩阵求逆来完成,。例如，若,AB,=,C,则,B,=,A,-,1,C,此处,A,-1,称为矩阵,A,的逆矩阵。,一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：,A A,-,1,=,A,-,1,A,=,I,矩阵求逆时必须满足两个条件：,（,1,）矩阵是一个方阵。,（,2,）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。,11,、正交矩阵,若一方阵,A,每一行（列）的各个元素平方之和等于,1,，而,所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则,A,=,cos,sin,sin,cos,a,a,a,a,-,正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即,A,-,1,=,A,T,二、矩阵位移法与有限元,矩阵位移法是有限元之一：杆系有限元,特点：整体拆开为若干个单元（离散）；,然后将这些单元按一定条件集合起来。,基本环节：单元分析；整体分析,三、矩阵位移法的基本思路,矩阵位移法的两个基本步骤是,（,1,）结构的离散化；（,2,）单元分析；（,3,）整体分析，,任务,意义,单元分析,建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵,用矩阵形式表示杆件的转角位移方程,整体分析,由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵,用矩阵形式表示位移法基本方程,指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。,符号规则：,图,(a),表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的,座标与杆轴重合；,1,2,e,E A I,l,(a),图,(b),表示的杆端位移均为正方向。,单元编号,杆端编号,局部座标,1,2,(b),杆端位移编号,1,2,杆端力编号,(c),四,杆端位移,杆端力的,正负号,规定,一般单元：,1,2,1,2,（,1,）单元杆端位移向量,（,2,）单元杆端力向量,凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。,五、本章内容,讨论单元刚度矩阵及其在单元坐标系和结构坐标系间的变换；,结构总刚的形成方法；,荷载及边界条件的处理。,现在讨论单元刚度方程。,单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用,“,”,表示，由位移求力称为正问题。,在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。,e,2,e,e,e,e,e,e,我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。,14-2,单元刚度矩阵,(,局部座标系,),进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。,一、一般单元,1,参见,p178,表,10-1,单元刚度方程（局部坐标）,局部座标系的单元刚度矩阵,EA,l,6EI,l,2,6,EI,l,2,EA,l,12,EI,l,3,12,EI,l,3,4,EI,l,2,EI,l,e,e,可求单元杆端力,e,e,=,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(1),(2),(3),(4),(5),(6),0,0,0,0,0,0,6,EI,l,2,0,6,EI,l,2,0,-EA,l,-6,EI,l,2,-6,EI,l,2,EA,l,-12,EI,l,3,12,EI,l,3,2,EI,l,4,EI,l,0,0,0,0,0,0,-6,EI,l,2,0,6,EI,l,2,0,只与杆件本身性质有关而与外荷载无关,通过这个式子由单元杆端位移,二单元刚度矩阵的性质,p249,（,1,）单元刚度系数的意义,e,代表单元杆端第,j,个位移分量等于,1,时所引起的第,i,个杆端力分量。,例如,代表单元杆端第,2,个位移分量 时所引起的第,5,个杆端力分量 的数值。,（,2,）单元刚度矩阵 是对称矩阵，,e,即,。,（,3,）一般单元的刚度矩阵 是奇异矩阵；,e,从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵,e,的行列式,e,=0,因此它的逆矩阵不存在,从力学上的理解是，根据单元刚度方程,e,e,e,e,e,e,e,由,有一组力的解答,(,唯一的,),，即正问题。,由,如果,e,不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。,三、特殊单元,若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零,e,以连续梁为例：,1,2,e,e,e,e,1,2,e,e,e,e,e,e,e,e,e,为了程序的标准化和通用性，通常只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。,14-3,单元刚度矩阵,(,整体座标系,),e,x,y,F,x1,F,y1,Fx,2,F,y2,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,e,单元杆端力的转换式、单刚的转换式,一、单元座标转换矩阵,e,e,e,e,e,座标转换矩阵,正交矩阵,T,-1,=,T,T,或,T,T,T,=,T,T,T,=,I,于是可以有,同理可以有,e,e,e,e,e,e,（解决 与,k,的关系）,e,e,在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：,e,e,e,在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：,(,a,),e,e,e,F,=,k,(,b,),e,F,=,T,T,T,e,e,(,d,),k,T,F,=,e,T,(,c,),e,k,e,k,=,T,T,k,e,T,e,(,e,),k,e,的性质与,e,k,一样。,二、整体座标系中的单元刚度矩阵,（,a,）式可转换为：,两边前乘,T,T,比较式,(,b,),和,(,d,),可得：,例,1.,试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵,k,。设 和 杆的杆长和截面尺寸相同。,p252,1,l,=5m,l,=5m,2,x,y,l,=5m,，,b,h,=0.5m 1m,A,=0.5m,2,I,=m,4,1,24,解,:,(1),局部座标系中的单元刚度矩阵,k,e,1,2,k,=,k,(2),整体座标系中的单元刚度矩阵,单元,1,：,=0,，,T,=,I,k,1,=,1,k,e,k,l,=5m,l,=5m,y,x,1,2,单元,2,：,=90,，单元 座标转换矩阵为,单元,2,：,=90,，单元座标转换矩阵为,k,=,T,T,k,T,l,=5m,l,=5m,y,x,14-4-1,连续梁的整体刚度矩阵,按传统的位移法,i,1,i,2,1,2,1,4,i,1,1,2,i,1,1,0,i,1,i,2,1,2,2,2,i,1,2,2,i,2,2,(4,i,1,+4,i,2,),2,i,1,i,2,1,2,3,0,2,i,2,3,4,i,2,3,每个结点位,移对,F,的单,独贡献,F,1,F,2,F,3,4,i,1,2,i,1,0,2,i,1,4,i,1,+4,i,2,2,i,2,0,2,i,2,4,i,2,1,2,3,=,F,=,K,根据每个结点位移对附加约束上的约束力,F,的贡献大小进行叠加而计算所得。,传统位移法,F,3,F,1,=,F,1,1,F,2,1,1,T,一、单元集成法的力学模型和基本概念,分别考虑每个单元对,F,的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成,i,1,i,2,1,2,1,2,3,F,1,1,F,2,1,F,3,1,令,i,2,=0,，,则,F,3,1,=0,k,=,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,1,F,1,1,F,2,1,=,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,1,2,（,a,）,（,b,）,单元,1,对结点力,F,的贡献,略去其它单元的贡献。,1,K,F,=,1,F,1,1,F,2,1,F,3,1,=,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,0,0,0,0,0,1,2,3,K,=,1,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,0,0,0,0,0,单元,1,的,贡献矩阵,i,1,i,2,1,2,1,2,3,F,1,2,F,2,2,F,3,2,k,=,4,i,2,2,i,2,4,i,2,2,i,2,2,F,1,2,F,2,2,F,3,2,=,4,i,2,2,i,2,4,i,2,2,i,2,0,0,0,0,0,1,2,3,2,K,F,=,2,设,i,1,=0,，,则,F,1,2,=0,K,=,2,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,0,0,0,0,0,单元,的,贡献矩阵,F,3,F,2,=,F,1,2,F,2,2,2,T,单元,对结点力,F,的贡献,略去单元,的贡献。,1,K,F,=,1,K,=,1,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,0,0,0,0,0,2,K,F,=,2,K,=,2,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,0,0,0,0,0,i,1,i,2,1,2,1,2,1,2,F,=,F,+,F,=,（,K,+,K,）,F,=,K,根据单元,和单元,分别对结点力,F,的贡献，可得整体刚度方程：,K,=,（,K,+,K,）,=,1,2,e,e,k,K,K,e,e,1,2,整体刚度矩阵为：,单元集成法求整体刚度矩阵步骤：,单元,e,的贡献矩阵,单元,1,的单元刚度矩阵,k,K,K,e,e,1,2,k,=,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,1,K,=,1,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,0,0,0,0,0,k,=,4,i,2,2,i,2,4,i,2,2,i,2,2,K,=,2,4,i,2,2,i,2,4,i,2,2,i,2,0,0,0,0,0,1,2,1,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,0,0,0,0,0,2,i,2,2,i,2,4,i,2,K,=,4,i,1,2,i,1,4(,i,1,+,i,2,),2,i,1,0,2,i,2,0,2,i,2,4,i,2,4,i,1,+4,i,2,二、按照单元定位向量由,k,求,e,K,e,(1),在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。,(2),在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。,以连续梁为例,1,2,1,2,3,1,(1),(2),2,(1),(2),位移统一编码，,总码,确定,中的元素在,中的位置。为此建立两种编码：,k,e,K,e,位移单独编码,局部码,以连续梁为例,1,2,1,2,3,1,(1),(2),2,(1),(2),位移统一编码，,总码,单元,1,2,对应关系,局部码,总码,单元定位向量,e,(1),1,(2),2,1,=,(1),2,(2),3,2,=,位移单独编码,局部码,由单元的结点,位移总码组成,的向量,单元定位向量,描述了单元两种编码（,总码、局部码,）之间的对应关系。,单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为“,单元换码向量,”。,单元,1,2,对应关系,局部码,总码,单元定位向量,e,(1),1,(2),2,1,=,(1),2,(2),3,2,=,由单元的结点,位移总码组成,的向量,（,3,）单刚,k,e,K,e,和单元贡献,中元素的对应关系,单元,单元,k,=,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,1,(1),(2),(1),(2),1,=,K,=,1,1,2,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,i,1,2,i,1,2,i,1,4,i,1,1,2,3,k,=,4,i,2,2,i,2,4,i,2,2,i,2,2,(1),(2),(1),(2),2,=,K,=,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,i,2,2,i,2,4,i,2,2,i,2,1,2,3,1,2,3,单元贡献矩阵,是单元刚度矩阵，利用“单元定位向量”进行“,换码重排位,”。,三、单元集成法的实施,K,1,2,3,1,2,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,k,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,i,1,2,i,1,2,i,1,4,i,1,1,2,3,1,2,3,k,2,2,（,1,）将,K,置零，得,K,=0,；,（,2,）将,k,的元素在,K,中按,定位并进行累加，得,K,=,K,；,（,3,）将,k,的元素在,K,中按,定位并进行累加，得,K,=,K,+,K,；,K,1,2,3,1,2,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,k,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,i,1,2,i,1,2,i,1,4,i,1,1,2,3,1,2,3,k,2,2,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,0,0,0,0,0,2,i,2,2,i,2,4,i,2,4,i,1,+4,i,2,1,2,3,1,2,3,按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵,K,。,（,定位 累加,）,1,2,i,1,i,2,i,3,3,1,2,3,0,1,2,3,0,=0,（,1,）结点位移分量总码,（,2,）单元定位向量,1,=,2,=,3,=,例,.,求连续梁的整体刚度矩阵。,1,2,3,0,1,2,3,0,=0,（,2,）单元定位向量,1,=,2,=,3,=,（,3,）单元集成过程,k,=,4,i,1,2,i,1,4,i,1,2,i,1,1,1,2,2,1,k,=,4,i,2,2,i,2,4,i,2,2,i,2,2,2,3,3,2,k,=,4,i,3,2,i,3,4,i,3,2,i,3,3,0,3,3,0,K,=,1,2,3,1,2,3,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,i,1,2,i,1,2,i,1,2,i,2,2,i,2,4,i,2,4,i,1,4,i,2,+4,i,3,4,i,1,+4,i,2,四、整体刚度矩阵,K,的性质,（,1,）整体刚度系数的意义,:,K,ij,-,j,=,1(,其余,=,0),时产生的结点力,F,i,（,2,）,K,是对称矩阵,（,3,）对几何不变体系，,K,是可逆矩阵，如连续梁,i,1,i,2,1,2,3,F,1,F,2,F,3,F,=,K,=,K,-1,F,（,4,）,K,是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁,1,2,3,F,1,F,2,F,3,1,2,3,n,n,F,n,n+1,F,n+1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,4,i,1,2,i,1,2,i,1,2,i,2,2,i,2,4,i,2,+4,i,3,4,i,1,+4,i,2,4,i,n,2,i,3,2,i,n,14-4-2,刚架的整体刚度矩阵,p256,思路要点：,（,1,）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵；,e,k,（,2,）各 经由,e,进行累加集成,K,。,与连续梁相比：,(1),各单元考虑轴向变形；,(2),每个刚结点有三个位移；,(3),要采用整体座标；,(4),要处理非刚结点的特殊情况。,一、结点位移分量的统一编码,总码,A,B,C,x,y,1,2,3,0,0,4,0,0,0,结点位移总码,=,1,2,3,4,T,规定：,对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。,=,u,A,v,A,A,C,T,整体结构的结点位移向量为：,相应地结点力向量为：,=,F,XA,F,YA,M,A,M,C,T,F,=,F,1,F,2,F,3,F,4,T,x,(1),(2),(3),(5),(6),x,(2),(3),(5),(6),单元结点位移分量局部码,二、单元定位向量,A,B,C,x,y,1,2,3,0,0,4,0,0,结点位移总码,0,(4),(1),(4),A,B,C,x,y,1,2,3,0,0,4,0,0,结点位移总码,0,单元,单元,局部码,总码,局部码,总码,（,1,）,1,（,2,）,2,（,3,）,3,（,4,）,0,（,5,）,0,（,6,）,4,（,1,）,1,（,2,）,2,（,3,）,3,（,4,）,0,（,5,）,0,（,6,）,0,三、单元集成过程,1,A,B,C,2,x,y,1,2,3,0,0,4,0,0,0,1,2,1,2,3,4,K,=,1,2,3,4,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,k,=,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,1,2,3,0,0,4,1,2,3,0,0,4,11,12,13,21,22,23,31,32,33,61,62,63,66,16,26,36,11,12,13,21,22,23,31,32,33,2,k,1,2,3,0,0,0,1,2,3,0,0,0,11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,=,四、铰结点的处理,K,求单元常数,T,单元刚度矩阵,程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）,1,1,2,2,刚结点,：变形连续，,截面,1,和截面,2,具有相同的结点位移,。,铰结点,：部分变形连续，,截面,1,和截面,2,具有相同的结点线位移；而其角位移不相等,。,1,2,3,A,B,D,x,y,0,0,0,1,2,3,4,5,6,C,1,C,2,4,5,7,0,0,0,1,2,3,结点位移分量总码,结点,C,1,4 5 6 ,结点,C,2,4 5 7 ,单元定位向量,1,k,=,1,2,3,4,5,6,2,k,=,1,2,3,0,0,0,1,2,3,0,0,0,1,2,3,4,5,6,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,2,3,1,k,=,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,k,2,=,1,2,3,0,0,0,1,2,3,0,0,0,3,k,=,4,5,7,0,0,0,4,5,7,0,0,0,K,=,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,14,-,5,等效结点荷载,F,=,K,(1),结构体系刚度方程,：,一、位移法基本方程,k,11,1,+,k,12,2,+,+,k,1,n,n,+F,1,P,=0,k,21,1,+,k,22,2,+,k,2,n,n,+F,2,P,=0,k,n,1,1,+,k,n,2,2,+,+,k,nn,n,+F,nP,=0,K,+,F,P,=0,.(2),表示结点位移,和结点力,F,之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，,并不是原结构的位移法基本方程,。,k,11,1,+,k,12,2,+,+,k,1,n,n,+F,1,P,=0,k,21,1,+,k,22,2,+,k,2,n,n,+F,2,P,=0,k,n,1,1,+,k,n,2,2,+,+,k,nn,n,+F,nP,=0,K,+,F,P,=0,.(2),F,+,F,P,=0.(3),将,(1),式代入,(2),式：,基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。,基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。,二、等效结点荷载的概念,结点结束力,F,P,结点结束力,F,P,等效结点荷载,P,原荷载,显然,P,=,F,P,解决了计算,等效结点荷载的问题,等效原则,是,两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力,K,=,F,F,P,+,=,三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载,P,(1),局部座标单元的等效结点荷载,P,e,x,e,e,P,e,e,(2),整体座标单元的等效结点荷载,P,e,e,e,(3),结构的等效结点荷载,P,x,y,具体做法是，将单元定位向量写在 的右侧，则右侧的数字就是 的元素在等效结点荷载,P,中的行码。,0,1,0,0,2,3,1,2,3,0,0,0,0,1,0,0,2,3,1,2,3,0,0,0,1,1,1,2,x,y,1,2,3,4,8kN,4.8kN/m,A,B,C,5m,2.5m,2.5m,单元,1:,单元,2:,1,2,2,2,2,1,1,1,2,12,10,-10,+4,+0,-5,1,2,2,2,2,1,2,x,y,1,2,3,4,8kN,4.8kN/m,A,B,C,5m,2.5m,2.5m,x,y,2,1,3,4,5,6,EI,EI,EI,2EI,2EI,2EI,l,l,l,l,对图中所示结构，试用单元集成法求出其整体刚度矩阵,K,（忽略轴向变形影响）,.,x,y,1,2,1,3,4,5,4,6,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,1,3,4,5,6,EI,EI,EI,2EI,2EI,2EI,1,2,3,4,5,6,（,=0,）,2,k,=,5,k,1,k,（,=90,）,x,y,1,2,1,3,4,5,4,6,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,2,1,3,4,5,6,EI,EI,EI,2EI,2EI,2EI,1 0 3 0 0 0,1,0,3,0,0,0,1 2 3 4 5 6,1,2,3,4,5,6,1 0 2 1 0 3,1,0,2,1,0,3,1 0 3 0 0 0,1,0,3,0,0,0,4 0 5 1 0 3,4,0,5,1,0,3,4 0 5 4 0 6,4,0,5,4,0,6,4 0 6 0 0 0,4,0,6,0,0,0,0,0 0 0,0,0,0,0 0 0,K,求单元常数,T,P,原始数据、局部码、总码,解方程,K,=,P,求出结点位移,单元刚度,矩阵,k,e,开始,单元固,端力,e,结束,14-6,计算步骤,和算例,程序设计框图,求杆端力,e,e,e,e,K,=,F,F,P,+,=,例,.,求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁,b,2,h,2,=0.5m 1.26m,，立柱,b,1,h,1,=0.5m 1m,。,p262,（,1,）原始数据、局部码、总码（设,E,=1,）,12m,6m,A,B,C,D,q,=1kN/m,A,B,C,D,1,2,3,x,y,1,3,4,5,2,6,0,0,柱,梁,e,e,（,2,）形成局部座标系中的单元刚度矩阵,k,e,单元,1,和,3,=10,-3,=10,-3,单元,2,（,3,）计算整体座标系中的单元刚度矩阵,e,k,k,=,T,T,k,e,T,e,2,k,1,k,=,3,k,单元,1,和,3,的座标转换,矩阵 （,=90,0,）,1,k,=,=,10,-3,k,=,T,T,k,1,T,3,单元,2,（,=0,）,2,k,k,2,=,=,10,-3,(4),用单元集成法形成整体刚度矩阵,K,A,B,C,D,1,2,3,x,y,1,3,4,5,2,6,0,0,2,1,3,（,5,）求等效结点荷载,P,12m,6m,A,B,C,D,q,=1kN/m,1,单元固端约束力,单元,1,（,=90,）,1,1,1,按单元定位向量,1,A,B,C,D,1,2,3,x,y,1,3,4,5,2,6,0,0,（,6,）解基本方程,求得结点位移,:,（,7,）求各单元杆端力,e,e,e,e,e,1,1,1,1,1,1,单元,1,：先求,F,然后求,1,1,1,1,=,10,-3,1,1,2,3,同样可得出：,（,8,）绘制内力图,1,2,3,1,2,e,A,B,C,D,8.49,2.09,3.04,4.38,M,图,(kNm),4.76,1.24,0.43,1.24,F,Q,图,(kN),F,N,图,(kN),0.43,0.43,1.24,14-7,桁架及组合结构的整体分析,一、桁架,p258,e,e,e,1,2,e,x,y,F,x,1,F,y,1,F,x,2,F,y,2,e,e,e,e,e,e,e,1,2,e,x,y,F,y,1,F,x,2,F,y,2,e,e,l,l,P,EA=c,1,2,3,4,5,A,B,C,D,x,y,1,2,3,4,5,6,7,8,例：试用,后处理法,计算图示桁架各杆内力，设各杆,EA,为常数。,（,1,）单元和结点编码，准备基本数据。,（,2,）建立结点位移向量和结点力向量：,=,1,2,3,4,5,6,7,8,T,P,=,F,1,F,2,F,3,F,4,0,P,0 0,T,（,3,）建立整体座标系单刚,e,k,对称,对称,1,2,5,6,5,6,7,8,对称,5,6,7,8,1,2,5,6,3,4,7,8,3,4,7,8,（,3,）建立整体座标系单刚,e,k,对称,1,2,5,6,5,6,7,8,对称,5,6,7,8,1,2,5,6,对称,3,4,7,8,3,4,7,8,对称,3,4,5,6,3,4,5,6,1,2,7,8,1,2,7,8,对称,1,2,3,4,5,A,B,C,D,1,2,3,4,5,6,7,8,4.,形成原始总矩阵位移法方程,5.,引进支座位边界条件,1,=,2,=,3,=,4,=0,划去,1,4,行,(,列,),对称,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,6.,解矩阵位移法方程,对称,14.7,组合结构的计算,采用,两种单元,其它过程与前类似,.,例,:,矩阵位移法求图示桁架各杆轴力,.,已知,:EA=EI=1,P=20,解,:,1,1,1,1,2,3,1(0,0),2(0,0,0),3(1,2,3),4(0,0,0),杆端力计算与前相同,1,1,1,1,2,3,1(0,0),2(0,0,0),3(1,2,3),4(0,0,0),k,3,k,2,k,1,14-8,忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析,1,2,3,A,B,D,x,y,0,0,0,1,0,2,1,0,3,C,1,C,2,1,0,4,0,0,0,1,2,3,单元定位向量,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,0,2,1,0,3,1,0,2,1,0,3,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,0,2,0,0,0,1,0,2,0,0,0,1,0,4,0,0,0,1,0,4,0,0,0,1,2,3,4,K,=,1,2,3,4,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,k,3,k,2,k,1,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,0,2,1,0,3,1,0,2,1,0,3,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,1,0,2,0,0,0,1,0,2,0,0,0,1,0,4,0,0,0,1,0,4,0,0,0,