高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第八篇第4节双曲线(1).pdf

推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料第 4 节双曲线【选题明细表】知识点、方法题号双曲线的定义及标准方程2,4,6 双曲线的几何性质1,3,5,9 双曲线定义、标准方程及几何性质的综合应用7,8,10,11,12,13,14 基础巩固(时间:30 分钟)1.双曲线 x2-my2=1 的实轴长是虚轴长的2 倍,则 m等于(D)(A)(B)(C)2(D)4 解析:双曲线的方程可化为x2-=1,所以实轴长为 2,虚轴长为 2,所以 2=2(2),解得 m=4.故选 D.2.已知双曲线 C:-y2=1 的左、右焦点分别为F1,F2,过点 F2的直线与双曲线 C的右支相交于 P,Q两点,且点 P的横坐标为 2,则PF1Q的周长为(D)(A)4(B)(C)5(D)推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料解析:由双曲线方程得 a2=3,b2=1,所以 c2=a2+b2=4,所以 c=2,所以右焦点 F2(2,0),因为 xP=2且 PQ过点 F2,所以 PQ x 轴,如图,由此得?|PF1|+|PF2|=,所以 PF1Q的周长为 2(|PF1|+|PF2|)=.故选 D.3.(2016 全国卷)已知 F1,F2是双曲线 E:-=1 的左、右焦点,点M在 E上,MF1与 x 轴垂直,sin MF2F1=,则 E的离心率为(A)(A)(B)(C)(D)2 解析:由题不妨设|MF1|=1,|MF2|=3,则 c=,a=1,得 e=.故选 A.4.已知双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A)(A)-=1 (B)-=1 推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料(C)-=1 (D)-=1 解析:圆心的坐标是(3,0),所以半焦距c=3,圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bxay=0,根据已知得=2,即=2,解得 b=2,则 a2=32-22=5,故所求的双曲线方程是-=1.故选 A.5.(2017 佳木斯市三模)椭圆 C:+=1 与双曲线 E:-=1(a,b0)有相同的焦点,且两曲线的离心率互为倒数,则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:椭圆 C:+=1的焦点坐标为(1,0),离心率为.双曲线 E:-=1(a,b0)的焦点为(1,0),c=1,双曲线的离心率为椭圆的倒数,所以为 2.由 e=,即 2=,得 a=,则 b=,双曲线渐近线为 y=x,设渐近线的倾斜角,则 tan=,所以=60或 120,所以 sin=.故选 D.推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料6.已知双曲线-y2=1 的左、右焦点为F1,F2,点 P为左支上一点,且满足F1PF2=60,则F1PF2的面积为.解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,在 F1PF2中由余弦定理得m2+n2-2mncos 60=(2c)2,由双曲线定义得 n-m=2a,联立化为所以 mn=4,所以=mnsin 60=.答案:7.已知 F1,F2为双曲线-=1(a0,b0)的焦点,过 F2作垂直于 x 轴的直线交双曲线于点P和 Q.且F1PQ为正三角形,则双曲线的渐近线方程为.解析:法一设 F2(c,0)(c0),P(c,y0),代入双曲线方程得y0=,因为 PQ x 轴,所以|PF2|=.在 RtF1F2P中,PF1F2=30,所以|F1F2|=|PF2|,即 2c=.又因为 c2=a2+b2,所以 b2=2a2或 2a2=-3b2(舍去).因为 a0,b0,所以=.推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料故所求双曲线的渐近线方程为y=x.法二设 F2(c,0),由题意 RtPF1F2中,PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|,由双曲线定义,得|PF1|-|PF2|=2a,即|PF2|=2a,又|F1F2|=2c,所以=,所以 c=a,所以 c2=3a2,又 c2=a2+b2进而得 b2=2a2,所以=,所以渐近线方程为y=x.答案:y=x 能力提升(时间:15 分钟)8.如 图,已 知 双 曲 线-=1(a0,b0)的 左、右 焦 点 分 别 为F1,F2,|F1F2|=8,P是双曲线右支上的一点,直线 F2P与 y 轴交于点 A,APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q,若|PQ|=2,则该双曲线的离心率为(C)(A)(B)推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料(C)2(D)3 解析:如图记 AF1,AF2与APF1的内切圆相切于 N,M,则|AN|=|AM|,|PM|=|PQ|,|NF1|=|QF1|,因为|AF1|=|AF2|,所以|NF1|=|AF1|-|AN|=|AF2|-|AM|=|MF2|,所以|QF1|=|MF2|,所以|PF1|-|PF2|=(|QF1|+|PQ|)-(|MF2|-|PM|)=|PQ|+|PM|=2|PQ|=4,即 2a=4,所以 a=2.由|F1F2|=8=2c,得 c=4,所以 e=2.故选 C.9.若双曲线 C:mx2+y2=1 的离心率为 2k(k0),其中 k 为双曲线 C的一条渐近线的斜率,则 m的值为(B)(A)-(B)(C)-3(D)推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料解析:mx2+y2=1,即 y2-=1(m0),所以 a2=1,b2=-,所以 e2=1+=1-=(2k)2,又渐近线斜率 k=,所以 k2=-m,所以 1-=-4m.所以 4m2+m-1=0,因为 mb10),双曲线 C2的方程为-=1(a20,b20),焦点 F1(-c,0),F2(c,0).推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料法一由 e1=,e2=,=,得=,则 a1=3a2.由题意|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2,则|PF1|=a1+a2=4a2,|PF2|=a1-a2=2a2.由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos F1PF2,则(2c)2=(4a2)2+(2a2)2-2 4a22a2,c2=3,=c2-=2,则 b2=a2,双曲线的渐近线方程y=x=x,即 xy=0.故选 C.法二因为=,所以 a1=3a2,由椭圆及双曲线定义得|PF1|+|PF2|=2a1=6a2,|PF1|-|PF2|=2a2,2-2化为|PF1|PF2|=8,在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos,所以|F1F2|2=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料所以(2c)2=(2a2)2+8,所以 c2=3,(以下同法一).11.F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过 F1的直线 l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若ABF2是等边三角形,则该双曲线的离心率为.解析:如图,由双曲线定义得,|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a,因为 ABF2是等边三角形,所以|BF2|=|AF2|=|AB|,因此|AF1|=2a,|AF2|=4a,且F1AF2=120,在F1AF2中,4c2=4a2+16a2+22a4a=28a2,所以 e=.答案:12.(2017 邯郸市一模)已知点 A(a,0),点 P是双曲线 C:-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为 3,则 a=.推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料解析:设 P(x,y)(x2),则|PA|2=(x-a)2+y2=(x-a)2+(-1)=(x-a)2+a2-1.a 时,取 x=a,得|PA|2的最小值为a2-1=9,所以 a=5;a0,b0)的左、右焦点为 F1,F2,P 为双曲线C 右支上异于顶点的一点,PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(1,0),且 P与点 F1关于直线 y=-对称,则双曲线方程为.解析:设点 A(1,0),因为 PF1F2的内切圆与 x 轴切于点(1,0),则|PF1|-|PF2|=|AF1|-|AF2|,所以 2a=(c+1)-(c-1),则 a=1.推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料因为 P与点 F1关于直线 y=-对称,如图,F1PF2的一条中位线在直线y=-x 上,所以 F1PF2=且=tanPF2F1=b,联立|PF1|-|PF2|=2 且|PF1|2+|PF2|2=4c2=4+4b2解得 b=2.所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=1 14.P(x0,y0)(x0a)是双曲线 E:-=1(a0,b0)上一点,M,N 分别是双曲线 E的左、右顶点,直线 PM,PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率;(2)过双曲线 E的右焦点且斜率为1 的直线交双曲线于A,B 两点,O 为坐标原点,C 为双曲线上一点,满足=+,求的值.解:(1)由点 P(x0,y0)(x a)在双曲线-=1 上,有-=1.由题意知=,联立可得 a2=5b2,又 c2=a2+b2=6b2,则 e=.推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料(2)联立得 4x2-10cx+35b2=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则设=(x3,y3),=+,即又 C为双曲线上一点,即-5=5b2,有(x1+x2)2-5(y1+y2)2=5b2,化简得 2(-5)+(-5)+2(x1x2-5y1y2)=5b2,又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以-5=5b2,-5=5b2,由式有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,将以上各式代入式得 2+4=0,解得=0或=-4.推荐学习 K12 资料推荐学习 K12 资料END