正交多项式.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第六章 函数最佳逼近,用简单的函数,p,(,x,),近似地代替函数,f,(,x,),，,是计算数学中最,基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数,f,(,x,),称为,被逼近的函数,，,p,(,x,),称为逼近函数，两者之差,称为逼近的误差或余项。,如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是,函数逼近要解决的问题,函数逼近问题的一般提法：,对于函数类,A,中给定的函数,f,(,x,),，,要求在另一类较简单,的且便于计算的函数类,B,(,A,),中寻找一个函数,p,(,x,),，,使,p,(,x,),与,f,(,x,),之差在某种度量意义下最小,。,最常用的度量标准：,(,一,),一致逼近,以函数,f,(,x,),和,p,(,x,),的最大误差,作为度量误差,f,(,x,),p,(,x,),的,“,大小,”,的标准,在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近,对于任意给定的一个小正数,0,，如果存在函数,p,(,x,),，,使不等式,成立，则称该函数,p,(,x,),在区间,a,b,上,一致逼近,或,均匀逼近,于函数,f,(,x,),。,(,二,),平方逼近,：,采用,作为度量误差的,“,大小,”,的标准的函数逼近称为平方逼近,或均方逼近,。,解决问题,（,1,）,在各种度量意义下最佳逼近多项式,是否存在,？,是否唯一,？,（,本章讨论：,最佳平方逼近，最佳一致逼近,）,（,2,）,如何具体寻找或构造各种最佳逼近意义下多项式,。,6.1,正交多项式,一、,正交函数系的概念,考虑函数系,1,，,cos,x,，,sin,x,，,cos2,x,，,sin2,x,，,，,con,nx,，,sin,nx,，,此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间,-,上的积分都等于,0,！,我们称这个函数中任何两个函数在,-,上是正交,的，并且称这个函数系为一个正交函数系。,若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数，,使之成为：,那么这个函数系在,-,上不仅保持正交的性质，,而且还是标准化的,(,规范的,),1,内积,定义,6.2,设,f,(,x,),，,g,(,x,),C,a,b,，,(,x,),是,a,b,上的权函数，,则称,为,f,(,x,),与,g,(,x,),在,a,b,上以,(,x,),为权函数的内积。,内积的性质：,(1)(,f,f,)0,，,且,(,f,f,)=0,f,=0,；,(2)(,f,g,)=(,g,f,),；,(3)(,f,1,+,f,2,g,)=(,f,1,g,)+(,f,2,g,),；,(4),对任意实数,k,，,(,kf,g,)=,k,(,f,g,),。,3,正交性,定义,设,f,(,x,),，,g,(,x,),C,a,b,若,则称,f,(,x,),与,g,(,x,),在,a,b,上带权,(,x,),正交,。,定义,6.2,设在,a,b,上给定函数系,k,(,x,),k=0,1,.,，若满足条件,则称函数系,k,(,x,),是,a,b,上带权,(,x,),的正交函数系，,特别地，当,A,k,1,时，则称该函数系为,标准正交函数系。,定义,6.3,设 是 上首项系数 的 次多,项式，为 上权函数，,满足,正交,关系式，,则称多项式序列 为在 上,带权,正交,，称 为 上带权 的 次,正交多项式,.,如果多项式序列,只要给定区间 及权函数,，,均可由一族线性,无关的幂函数 利用逐个正交化手续构造,出正交多项式序列 ：,证明：用递推构造法证明,正交性,（,3,）,设已构造,且满足,：,是首项系数为,1,的,i,次多项式；,性质,设,(1),是首项系数为,1,的,i,次多项式,；,，,其中,证明：,将,(2),代入,(1),得,说明：,（,3,）,（,4,）,(,正交多项式的三项递推公式,),是首项系数为,1,的,i,次多项式，则 满足递推公式,:,1.,勒让德多项式,罗德利克,(,Rodrigul,）,给出了简单的表达式,当区间为 ，权函数 时，,并用 表示,.,正交化得到的多项式就称为,勒让德,(,Legendre,),多项式,，,由,6.1.2,、几个常用的正交多项式,由于 是 次多项式，,所以对其求 阶导数后得,最高项系数为,1,的勒让德多项式为,于是得首项 的系数,勒让德多项式重要性质：,性质,1,证明,令 ，,设 是在区间 上 阶连续可微的函数，由分部,积分知,正交性,则,下面分两种情况讨论,:,（,1,）若 是次数小于 的多项式，,则,故得,则,（,2,）若,于是,由于,故,性质,6.2,由于 是偶次多项式，经过偶次求导仍为,偶次多项式，经过奇次求导则为奇次多项式，故 为偶数时,为偶函数，为奇数时 为奇函数，于是,性质,6.2,成,立,.,奇偶性,由,递推公式,利用上述递推公式就可推出,性质,6.3,图,6,-,1,图,6-1,给出了 的图形,.,4.,切比雪夫多项式,当权函数,，,区间为 时，由序,列 正交化得到的正交多项式就是,切比雪夫,(,Chebyshev,),多项式,.,它可表示为,若令 ，,则,性质,6.4,切比雪夫多项式有很多重要性质：,这只要在三角恒等式,中，,令 即得,.,递推关系,由递推关系可推出,的函数图形见图,6-2.,图,6-2,性质,6.5,令 ，,则 ，,切比雪夫多项式 在区间 上带权,正交，且,于是,性质,6.7,在区间 上有 个零点,性质,6.6,只含 的偶次幂，,只含 的奇次幂,.,这个性质由递推关系可直接得到,.,第二类切比雪夫多项式,定义,称,为第二类切比雪夫多项式。,u,n,(,x,),是在区间,-1,1,上带权函数,的正交多项式序列。,相邻的三项具有递推关系式：,(2),拉盖尔,(,Laguerre,),多项式,定义,称多项式,为拉盖尔多项式。,L,n,(,x,),是在区间,0,+,上带权,(,x,)=,e,-x,的正交多项式序列,。,相邻的三项具有递推关系式：,(3),埃尔米特,(,Hermite,),多项式,定义,称多项式,为埃尔米特多项式。,的正交多项式序列。,H,n,(,x,),是在区间,(-,+,),上带权函数,相邻的三项具有递推关系式：,