中国古代数学问题.doc

一 板凳鏊子问题板凳鏊子三十三，一百条腿都朝天，问几个板凳几个鏊子？板凳和鏊子（烙饼用的，有三条腿；板凳，四条腿）一共三十三个。问几个板凳几个鏊子？二隔墙分银隔墙听得客分银，不知人数不知银。七两分之多四两，九两分之少半两。问多少银子多少人？（古时16两1斤）三 一百馒头一百僧我国明代珠算家程大位的名著直指算法统宗里有一道著名算题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁?译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大小和尚各有几人?方法一，用方程设大和尚有x人，则小和尚有(100x)人，根据题意列得方程：3x+1/3(100x)=100解方程得：x=25小和尚：1002575人方法二，鸡兔同笼法：(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个?3100=300(个)(2)这样多吃了几个呢?300100=200(个)(3)为什么多吃了200个呢?这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头?31/3=8/3(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：2008/375（人）大和尚：1007525（人）方法三，分组法：由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100（3+1）=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25375个小和尚这是直指算法统宗里的解法，原话是：”置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。”所谓“实”便是”“被除数”，“法”便是“除数”。列式就是：100（3+1）=25，100-25=75。我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。四 鸡兔同笼问题鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？一队强盗一队狗，二队拼作一队走，数头一共三百六，数腿一共八百九，问有多少强盗多少狗？1. 鸡兔同笼，共17个头，42条腿。问：鸡有几只，兔有几只？2. 小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值1。5元。问：一角的硬币有几枚，5角的硬币有几枚？3. 用大小卡车往城市运送29吨蔬菜，大卡车每辆每次运5吨，小卡车每辆每次运3吨，问：大小卡车各用几辆一次能运完?（注意有多解）4. 每校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分。问：男生比女生多几人?5. 学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵8元。问：篮球的单价是多少？6. 解放军进行野营拉练。晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，11天一共走350千米。求这期间晴天共有多少天？7. 小强集邮，他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张。问：小强买了4分邮票几张？8. 一堆2分和5分的硬币共299分，其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍。问：5分硬币有几枚？9. 某人领得奖金240元，有2元5元10元三种人民币共50张，其中2元和5元的张数一样多。问：10元的张数是多少？10.小明买了4分和8分的邮票共花去6元8角钱，已知8分的邮票比4分的多40张。问：8分的邮票是几张？11. 鸡兔同笼，共200只，鸡的脚比兔的脚少56只。问：鸡有几只，兔有几只？12. 有一辆货车运送2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子计算每只2角，如有破损，则破损一个瓶子要倒赔1元。结果运费379。6元。问：运送中损坏了几只瓶子？13. 某数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做不扣分。小华得了76分。问：小华做对几题？14. 鸡兔同笼，共有头100个，足316只。问：鸡有几只，兔有几只？15. 小明花了34元钱买贺卡和明信片，一共买了14张。贺卡每张3角5分，明信片每张2角5分。问：小明买了几张贺卡，几张明信片?16. 潍坊盲童学校举行数学竞赛，共20道试题，做对一题得5分，做错或没有做的题，每题倒扣3分。刘刚得了60分。问：他做对了几题？17. 鸡兔同笼，共有脚100只。若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只，问：鸡有几只，兔有几只？18. 鸡兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只，问：鸡兔各有多少？19. 鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。求笼中鸡兔各有多少只？20小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名买了多少张？21小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张，求两种邮票各买了多少张？22小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚，小刚数了一下，一共有194分，求两种硬币各有多少枚？23三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10元，你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗？24松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连8天共采了112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？25某校有一批同学参加数学竞赛，平均得63分，总分是3150分。其中男生平均得60分，女生平均得70分。求参加竞赛的男女各有多少人？26. 一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题？27. 一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬考了112分，你知道刘冬做对了几道题？28. 52名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各几只？29. 在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共108个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆？鸡兔同笼问题基础学习一解答题3一般鸡兔同笼例1：鸡兔同笼，共17个头，42条腿。问：鸡有几只，兔有几只？【答案】4只，13只【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板，套公式兔：（42-172）/2=4只；鸡：17-4=13只【结束】4一般鸡兔同笼例2：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？【答案】兔有5只，鸡有3只。【解题关键点】解法1：假设的方法。如果假设笼子里都是鸡，就有82=16只脚，这样就多出2616=10只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有102=5只兔。所以笼子里有3只鸡，5只兔。解法2：如果假设笼子里都是兔，那么也可以列式：鸡：（8426）（42）=3（只）兔：83=5（只）解法3：用方程解的。解：设兔有x只，那么就有（8x）只鸡，鸡兔共有26只脚，就是4x2（8x）=262x+16=26x=585=3（只）【结束】5另一类，“三者同笼”问题【答案】1：把他们看成一个整体，把3者间的关系，转换成2类物体间谍关系2：三个未知数列三个方程【结束】6另一类鸡兔同笼例1：有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？【答案】蜘蛛是5只，蜻蜓是7只，蝉是6只。【解题关键点】方程假设蜘蛛为x，蜻蜓为y，蝉为Z那么x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只，蜻蜓是7只，蝉是6只。1鸡兔同笼，共17个头，42条腿。问：鸡有几只，兔有几只？2小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值1。5元。问：一角的硬币有几枚，5角的硬币有几枚？3用大小卡车往城市运送29吨蔬菜，大卡车每辆每次运5吨，小卡车每辆每次运3吨，问：大小卡车各用几辆一次能运完?（注意有多解）4每校有100名学生参加数学竞赛，平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分。问：男生比女生多几人?5学校买回4个篮球和5个排球，一共用了185元，一个篮球比一个排球贵8元。问：篮球的单价是多少？7小强集邮，他用一元钱买了4分和8分的邮票共20张。问：小强买了4分邮票几张？8一堆2分和5分的硬币共299分，其中2分硬币的个数是5分硬币个数的4倍。问：5分硬币有几枚？9某人领得奖金240元，有2元5元10元三种人民币共50张，其中2元和5元的张数一样多。问：10元的张数是多少？10小明买了4分和8分的邮票共花去6元8角钱，已知8分的邮票比4分的多40张。问：8分的邮票是几张？11鸡兔同笼，共200只，鸡的脚比兔的脚少56只。问：鸡有几只，兔有几只？12有一辆货车运送2000只玻璃瓶，运费按到达时完好瓶子计算每只2角，如有破损，则破损一个瓶子要倒赔1元。结果运费379。6元。问：运送中损坏了几只瓶子？13某数学测验共20题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做不扣分。小华得了76分。问：小华做对几题？14鸡兔同笼，共有头100个，足316只。问：鸡有几只，兔有几只？15小明花了34元钱买贺卡和明信片，一共买了14张。贺卡每张3角5分，明信片每张2角5分。问：小明买了几张贺卡，几张明信片?16东湖小学六年级举行数学竞赛，共20道试题，做对一题得5分，做错或没有做的题，每题倒扣3分。刘刚得了60分。问：他做对了几题？17鸡兔同笼，共有脚100只。若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只，问：鸡有几只，兔有几只？18100个馒头100个和尚吃，大和尚每人吃3个，小和尚三人吃1个，问：大和尚有几个，小和尚有几个？19鸡兔共有100只，鸡脚比兔脚多80只，问：鸡兔各有多少？1鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。求笼中鸡兔各有多少只？2鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露。数清脚共五十双，各有多少鸡和兔？3小明用10元钱正好买了20分和50分的邮票共35张，求这两种邮票名买了多少张？4小红用13元6角正好买了50分和80分邮票共计20张，求两种邮票各买了多少张？5小刚的储蓄罐里共2分和5分硬币70枚，小刚数了一下，一共有194分，求两种硬币各有多少枚？6三年一班30人共向北京奥运会捐款205元，同学每人了捐了5元或10元，你知道捐5元和10元的同学各有多少人吗？7松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连8天共采了112个松籽，这八天有几天晴天几天雨天？8某校有一批同学参加数学竞赛，平均得63分，总分是3150分。其中男生平均得60分，女生平均得70分。求参加竞赛的男女各有多少人？9一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得5分，做错一题倒扣3分，刘冬考了52分，你知道刘冬做对了几道题？10一次数学竞赛共有20道题。做对一道题得8分，做错一题倒扣4分，刘冬考了112分，你知道刘冬做对了几道题？1152名同学去划船，一共乘坐11只船，其中每只大船坐6人，每只小船坐4人。求大船和小船各几只？12在一个停车场上，停了小轿车和摩托车一共32辆，这些车一共108个轮子。求小轿车和摩托车各有多少辆？13解放军进行野营拉练。晴天每天走35千米，雨天每天走28千米，11天一共走了350千米。求这期间晴天共有多少天？14100个和尚吃了100个面包，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个。求大小和尚各有多少个？15一队强盗一队狗，二队拼作一队走，数头一共三百六，数腿一共八百九，问有多少强盗多少狗？鸡兔同笼问题基础学习一解答题3一般鸡兔同笼例1：鸡兔同笼，共17个头，42条腿。问：鸡有几只，兔有几只？【答案】4只，13只【解题关键点】不加注的都是鸡兔同笼模板，套公式兔：（42-172）/2=4只；鸡：17-4=13只【结束】4一般鸡兔同笼例2：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有8个头，从下面数，有26只脚，鸡和兔各有几只？【答案】兔有5只，鸡有3只。【解题关键点】解法1：假设的方法。如果假设笼子里都是鸡，就有82=16只脚，这样就多出2616=10只脚，一只兔比一只鸡多2只脚，也就是有102=5只兔。所以笼子里有3只鸡，5只兔。解法2：如果假设笼子里都是兔，那么也可以列式：鸡：（8426）（42）=3（只）兔：83=5（只）解法3：用方程解的。解：设兔有x只，那么就有（8x）只鸡，鸡兔共有26只脚，就是4x2（8x）=262x+16=26x=585=3（只）【结束】5另一类，“三者同笼”问题【答案】1：把他们看成一个整体，把3者间的关系，转换成2类物体间谍关系2：三个未知数列三个方程【结束】6另一类鸡兔同笼例1：有蜘蛛，蜻蜓，蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，2对翅膀；蝉6条腿，1对翅膀），三种动物各几只？【答案】蜘蛛是5只，蜻蜓是7只，蝉是6只。【解题关键点】方程假设蜘蛛为x，蜻蜓为y，蝉为Z那么x+y+z=188x+6y+6z=1182y+z=20由此算出x=5y=7z=6所以蜘蛛是5只，蜻蜓是7只，蝉是6只。百鸡问题张邱建算经中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：“今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁母雏各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡雏七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡雏八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四值钱十二；鸡雏八十四，值钱二十八。”该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创“一问多答”的先例，这是过去中国古算书中所没有的。秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著孙子算经。原题为：“今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？”这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。我们换一个例子：韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+15m，分别把m=1，2，代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的算法统宗（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。“正半月”暗指15。“除百零五”的原意是，当所得的数比105大时，就105105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是357时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：702+213+154=263，263=2105+53，所以，这队士兵至少有53人。在这种方法里，我们看到：702115这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：70是5与7的倍数，而用3除余1；21是3与7的倍数，而用5除余1；15是3与5的倍数，而用7除余1。因而702是5与7的倍数，用3除余2；213是3与7的倍数，用5除余3；154是3与5的倍数，用7除余4。如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把702213与154都加起来所得的结果能同时满足“用3除余2用5除余3用7除余4”的要求。一般地，70m+21n+15k(1m3， 1n5，1k7)能同时满足“用3除余m用5除余n用7除余k”的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。我们已经知道了702115这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是357，应该怎样去求出类似的有用的数呢？为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是57=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了“三人同行七十稀”。为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是37=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了“五树梅花甘一枝”。为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是35=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了“七子团圆正半月”。357的最小公倍数是105，所以“除百零五便得知”。例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是57=35，35除以4余3，33除以4余1，因而353=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是47=28，28除以5余3，37除以5余1，因而287=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是45=20，20除以7余6，66除以7余1，因而206=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。利用105196120这三个数可以求出符合题目要求的1053+1962+1205=1307。由于457的最小公倍数是457=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。一般地，105m+196n+120k(1m4，1n5，1k7)是用4除余m，用5除余n，用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于57=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。35+1962+1205=1027就是符合题意的数。1027=7140+47，由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。算法统宗中把在以357为除数“物不知其数”问题中起重要作用的702115这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以457为除数的问题中起重要作用的105196120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。