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八年级下册数学复习专题
八年级下册数学复习资料 姓名
第一章 直角三角形
1、直角三角形的性质：
①直角三角形的两锐角互余
②直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。
如图，在ABC中，∵CD是斜边AB的中线，∴。
例·直角三角形斜边长20cm,则此斜边上的中线为 .
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角
边等于斜边的一半。
如图，在ABC中，∵∠A=30°，∴。
例·在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则下列结论中正确的是（ ）。
A．AB=2BC B．AB=2AC C．AC2+AB2=BC2 D．AC2+BC2=AB2
④在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么
这条直角边所对的角等于30°。
如图，在ABC中，∵，∴∠A=30°。
例·等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是 。
⑤勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等
于斜边c的平方，即。
求斜边，则；求直角边，则或。
例·如图是拉线电线杆的示意图。已知CD⊥AB，，∠CAD=60°，则拉线AC的长是________m。
例·若一个直角三角形的两边长分别为6和10，那么这个三角形的第三条边长是______。
（2）逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形 。
分别计算“”和“”，相等就是，不相等就不是。
例·在Rt△ABC中，若AC=，BC=，AB=3，则下列结论中正确的是（ ）。
A．∠C=90° B．∠B=90° C．△ABC是锐角三角形 D．△ABC是钝角三角形
例·一块木板如右图所示，已知AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，，木板的面积为 。
例·某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？

⑥直角三角形性质与勾股定理运用的常见图形
例·如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，
梯子的顶端B到地面的距离为24m，现将梯子的底端A向外移动到A′，
使梯子的底端A′到墙根O的距离等于15m．同时梯子的顶端B下降
至B′，那么BB′的长度是多少？
例·如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）

2、直角三角形的判定
①有两个角互余的三角形是直角三角形
②在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
③如果三角形的三边长a、b、c有关系，那么这个三角形是直角三角形 。
例·若一个三角形三边满足，则这个三角形是 三角形.
例·若∠A：∠B:∠C=2:3:5,则△ABC是_________三角形
例·已知a,b,c是三角形的三边长，如果满足2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，则三角形的形状是（ ）
A、底与边不相等的等腰三角形　B、等边三角形　C、钝角三角形　D、直角三角形
3、直角三角形全等
方法：SAS、ASA、SSS、AAS、HL。
例·如图，在ΔABC中，D为BC的中点，DEBC交∠BAC的平分线AE于点E，EFAB于点F，EGAC的延长线于点G。
求证：BF=CG。
4、角平分线的性质
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
如图，∵AD是∠BAC的平分线（或∠1=∠2），PE⊥AC，PF⊥AB
∴PE=PF
角平分线判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
例·如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,
若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距
离是________厘米。
例·如图：在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线的交点。
求证：点O在∠A的平分线上。

例·如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是： 。
例·如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点P是三角形内桑内角平分线的交点，则点P到AB的距离是： 。
第1题
第2题

5、线段垂直平分线
线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 。
如图，∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴PA=PB
例·如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4cm，△ABC的周长是18 cm，则△BDC的周长是＿＿。
例·已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，
且P到∠MON两边的距离也相等．

O
N
M
·
·
A
B

第二章 四边形
1、多边形内角和公式：n边形的内角和=(n－2)·180º

任意多边形外角和等于360º
四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性。
例·一个多边形的内角和为12600，它是 边形。
例·已知一个多边形的内角和是外角和的5倍，它是 边形。
2、中心对称：（在直角坐标系中即关于原点对称，其横、纵坐标都互为相反数）
成中心对称的两个图形中，对应点得连线经过对称中心，且被对称中心平分
会画与某某图形成中心对称图形
会辨别图形、实物、汉字、英文字母、扑克等是否中心对称图形
例·下列几张扑克牌中，中心对称图形的有________张

例· 在字母C、H、V、M、S中是中心对称图形的是
例·下列既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A: 等边三角形 B : 平行四边形 C: 等腰梯形 D : 矩形
例·下列图案是中心对称图形，不是轴对称图形的是（    ）．

例·如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点A1. 画出△ABC关于点的中心对称图形.
3、三角形的中位线
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
如图，在⊿ABC中，∵E是AB的中点，F是AC的中点，
∴EF是⊿ABC的中位线 ∴EF‖BC，
例·如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3 cm，则AB的长为
例·已知△ABC三边的长分别为10、12、16，那么这个三角形的三条中位线所围成的三角形的周长等于（　　）
A、 38 B、19 C、17 D、21
4、特殊四边形的性质与判定
平行四边形的性质： 边（对边相等且平行） 角（对角相等，邻角互补）
对角线（对角线互相平分） 不是轴对称图形，是中心对称图形
平行四边形判定：
定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
如图，∵ AB‖CD，AD‖BC，∴四边形ABCD是平行四边形
方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
如图，∵ AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形
方法2 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
如图，∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形
方法3 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
如图，∵ AB‖CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形
或∵AD‖BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形
方法4 对角线互相平分的四边形是平行四边形
如图，∵ OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形

例·如图，在□ABCD中，点E是AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F。试连结BD、AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．
例·如图，已知BE∥DF，∠ADF=∠CBE，AF=CE，求证：四边形DEBF是平行四边形．

矩形的性质：边（对边相等且平行） 角（四个角都是直角）
对角线（对角线互相平分且相等） 是轴对称图形，也是中心对称图形
矩形的判定：
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形
方法1 有三个角是直角的四边形是矩形
方法2 对角线相等的平行四边形是矩形
例·如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．
（1）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论；
（2）猜想△ABC是何形状三角形时，矩形AECF会是正方形？并证明你的结论。

例·如图16，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为 。
例·如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是　　　　　　．

菱形的性质：边（四条边相等） 角（对角相等，邻角互补）
对角线（对角线互相平分且垂直） 是轴对称图形，也是中心对称图形
菱形的面积等于两条对角线的长度乘积的一半
菱形的判定：
定义判定： 一组邻边相等的平行四边形是菱形
方法1 四边都相等的四边形是菱形
方法2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例·已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.
A
B
C
D
F
E
求证:四边形AFCE为菱形
O

例·矩形ABCD的对角线相交于O，AB=6，AC=10，则面积为
例·菱形的周长为20，一条对角线长为6，则其面积为
正主形的性质：边（四条边相等） 角（四个角都是直角）
对角线（对角线互相平分且垂直相等） 是轴对称图形，也是中心对称图形
正方形的判定：
定义判定： 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
方法1 有一个角是直角的菱形是正方形
方法2 有一组邻边相等的矩形是正方形
例·正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A: 对角线互相平分 B对角线相等 C:对角线平分一组对角 D:对角线互相垂直
例·顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是
例·如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( )
A.60°B.30° C.45° D.90°
例·下列说法错误的是（ ）
A对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B对角线平分且相等的四边形是矩形
C:对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D对角线互相平分的四边形是平行四边形。
例·如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，
则∠AEB=_______．
例·如图为四边形、平行四边形、矩形、正方形菱形、梯形集合示意图，请将字母所代表的图形分别填入下表：
A
B
C
D
E
F

5、平面图形的镶嵌
关键：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。
例·只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（ ）
A.正十边形 B.正八边形 C.正六边形 D.正五边形
例·在下列四种边长均为a的正多边形中：正方形、正五边形、正六边形、正八边形。能与边长为a的正三边形作平面镶嵌的是 .
第三章 图形与坐标
1、有序实数对（4，2） 4－横坐标 2－纵坐标
2、平面直角坐标系 （横轴X轴） （纵轴Y轴） （原点O）（方向） （单位长度）
第一象限（+，+） 第二象限（—，+） 第三象限（—，—） 第四象限（+，—）
例·在平面直角坐标系中，点P（-2，3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例·若点P（a，b）在第四象限，则点Q（-a，b-1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、方位角：北偏西60° 南偏东30°
4、点的对称性：
关于x轴对称的点，横坐标相反，纵坐标相等；
关于y轴对称的点，横坐标相等，纵坐标相反；
关于原点对称的点，横、纵坐标都相反。
若直角坐标系内一点P（a，b），则P关于x轴对称的点为P1（a，－b），
P关于y轴对称的点为P2（－a，b），关于原点对称的点为P3（－a，－b）。
解题方法：相等时用“=”连结，相反时两式相加=0。
例·点M（2，-3）关于y轴的对称点N的坐标是（ ）
A．（-2，-3） B．（-2，3） C．（2，3） D．（-3，2）
例·如果点P(m + 3，m + 1)在x轴上，则点P坐标为 ( )
A．(0，－2) B．(2，0) C．(4，0) D．(0，－4)
例·已知A、B两点的坐标分别是（-2,3）和（2,3），则下面四个结论：① A、B关于轴对称；② A、B关于轴对称；③ A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4。其中正确的有 个。
例·已知点A（m-1，3）与点B（2，n-1）关于轴对称，则m= ，n= 。
例·已知点P（3，-1）关于轴对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则的值是 。
5、坐标平移： 左右平移：横坐标右加左减，纵坐标不变；
上下平移：横坐标不变，纵坐标上加下减。
例如：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移h个单位，坐标变为P（a－h，b），向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a，b＋h），向下平移h个单位，坐标变为P（a，b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平移5个单位，则坐标变为A（7，1）.
例·将四边形ABCD先向左平移3个单位，再想上平移2个单位，那么点A（3，-2）的对应点的坐标是＿＿＿＿＿.
例·已知点A（m，n），把它向左平移3个单位后与点B(4,-3)关于轴对称，则m= ,n=＿＿.
例·将点A(－3，5)先向下平移3个单位，再向左平移2个单位，所得的点的坐标是_______。
6、会建平面直角坐标系，用坐标表示相关位置
例·如图所示的象棋盘上，若位于点（1，－2）上，位于点（3，－2）上，则的坐标是 .
O
（A）
B
C
D
7、平面上的点与 是一 一对应的。
例·若点P到X轴的距离为5，到Y轴的距离为3，且点P在第四象限，则点P的坐标为
例·如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0），（5，0）（2，3），则顶点C的坐标是
8、在平面直角坐标系中会画轴对称、平移后的图形，并写出图形顶点的坐标。
例·在平面直角坐标系中描出点A（3,5）、B（1,1）、C（5,3）的位置，连成△ABC.
①作出△ABC关于轴对称的，
并写出三个顶点的坐标；
②作出△ABC关于原点O成中心对称
的，并写出三个顶点的坐标；
③将△ABC向左平移6个单位长度，画出平
移后的，并写出三个顶点的坐标；

例·如图，第一个正方形的顶点A1(-1，1)，B1（1，1）；
第二个正方形的顶点A2(-3，3)，B2(3，3)；第三个正
方形的顶点A3(-6，6)，B3(6，6)；…．按顺序取点A1，
B2，A3，B4，A5，B6，…，则第10个点应取点B10，
其坐标为 ；第（n为正整数）个点应取点 ，
其坐标为 ．
第四章 一次函数
1、函数自变量的取值：
整式取全体实数，分式则分母不为0，二次根式则根号下的数0.
·函数的自变量的取值范围是
函数的自变量的取值范围是
·函数的自变量的取值范围是
函数的自变量的取值范围是
·下列不表示函数图象的是 （ ）

2、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(含正比例函数y＝kx)．
·下列函数解析式，，，中是一次函数的
有
①求k的取值： y随x增大而增大则k＞0；y随x增大而减小则k＜0．再解出不等式。
·若函数是正比例函数，k ，a= 。
·若正比例函数中，y随x的增大而减小，则m的值是 。
·若函数是一次函数，则= 且y随x的增大而
②求函数图像经过的象限：在y＝kx＋b中，k＞0过一、三象限；k＜0过二、四象限。b＞0向上移；b＜0向下移。可得出。
·一次函数的图象经过第 象限
·若一次函数的图象不经过第二象限则的取值范围是
·一次函数的图象经过原点，则m的值为
③一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象平移的方法：
b的值加减即可（加是向上移，减则下移）。
·直线是由 向 平移2个单位得到的。
·将直线向下平移3个单位得到的函数解析式是
④同一平面内两直线的位置关系：（例如： ： ）
若且，则； 若，则。
·直线和平行，则k=
·直线与的位置关系式 。
⑤坐标轴上点的特征：
x轴上的点纵坐标为0即（a，0）；y轴上的点横坐标为0.即（0，b）。
·直线与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 。
⑥面积公式： 当时，一次函数的图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积
·直线 经过第 象限，它与两坐标轴围成的三角形面积是 。
·已知一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积等于4，则一次函数的解析式为 。
⑦用待定系数法求一次函数的解析式：
先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，再将已知的两组x、y值代人列出二元一次方程组，求出k、b的值，再代回即可。
·已知正比例函数的图象经过点P（2,5），求它的表达式。
·已知一次函数的图象经过点（0,2）和（1，—1），求这个一次函数的表达式。
·已知直线经过点A（—1,0）与点B（2,3），另一条直线经过点B，且与轴交于点P（m,0）。 ① 求直线的表达式；
②若ΔAPB的面积为3，求m的值。
3、一次函数与方程的关系
任何一个一元一次方程kx＋b=0的解，就是一次函数y＝kx＋b的图像与轴交点的横坐标；一次函数y＝kx＋b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y＋b=0的一个解.
·已知一次函数，与的部分对应值如下表：

—2
—1
0
1
2
3

6
4
2
0
—2
—4
那么方程的解是
·把方程化成一次函数的形式是________________。
·已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（ ）。
A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二象限 D．坐标轴上
·二元一次方程组的解，即为函数__________和函数__________的图象交点的坐标。
五、数据的频数分布
1、频数与频率：频率=，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1。
·某中学八年级有500名学生参加生物、地理会考考试成绩在80分至100分之间的共有180人，则这个分数段的频率是_______。
·对150个数据进行整理得到频数分布直方图，测得所有表示频数的长方形的高之和为33cm，其中最大的长方形的为11cm，则这个最大的长方形的高所表示的频数为 .
2、频数分布直方图：会读图，计算并将直方图补充完整。
某学校为丰富课间自由活动的内容，随机选取本校100名学生进行调查，
调查内容是“你最喜欢的自由活动项目是什么”，整理收集到的数据，绘制成直方图，如图所示．
①喜欢“踢毽子”的学生有 人，
并在图中将“踢毽子”部分的条图形
补充完整.
②喜欢“跳绳”的频率是
③该校共有800名学生，估计喜
欢“跳绳”的学生有 人．
六、辅助线作法
几何难在辅助线，虚线画图勿改变。如何添加辅助线？把握定理和概念。
图中有角平分线，可向两边作垂线。线段垂直平分线，常向两端把线连。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。要证线段倍与半，延长缩短可试验。