江苏省泰州市高三数学考前模拟试卷及答案.doc

2016～2017高三模拟考试
数学试题
(考试时间：120分钟 总分：160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．已知集合则 ▲ ．
2．函数 的最小正周期为 ▲ ．
3．复数是纯虚数（是虚数单位），则实数 ▲ ．
第4题图
Read
If Then
←
Else
←
End If
Print

4．某算法的伪代码如图所示，如果输入的值为，则输出的值
为　　▲　　 ．
5．从 这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是偶数的概率为　　▲　　 ．

6．若双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．
7．公差不为的等差数列的前项和为，若成等比数列，，则
　 ▲　　 ．
8．将1个半径为的小铁球与1个底面周长为，高为的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为　　▲　　 ．
9．若正实数满足，则的最小值为 ▲ ．

第10题图
10．如图，在由个边长为，一个顶角为的菱形组成的图形中，
▲ ．
11．已知点是椭圆的左焦点和上顶点，若点
是椭圆上一动点，则周长的最大值为 ▲ ．
12．已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是 ▲ ．
13．在中，若，，，则实数 ▲ ．
14．若函数的一个零点为，则的最大值为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
已知向量，.
（1）若，，且，求实数的值；
（2）若，求的最大值．

16．（本题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面，，，过的平面分别与交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：．

17．（本题满分14分）
如图，圆是一半径为米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中两点在上，恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在四点处安装四盏照明设备，从圆心点出发，在地下铺设条到四点线路．
（1）若正方形边长为米，求广场的面积；
（2）求铺设的条线路总长度的最小值．

18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与
圆交于点，与圆交于点．
（1）若，求的长；
（2）若中点为，求面积的取值范围．

19．（本题满分16分）
已知函数，．
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，解不等式：；
（3）求证：当时，函数只有一个零点．

20．（本题满分16分）
已知数列的前项和为，且满足；数列的前项和为，且满足，，．
（1）求数列、的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恰为数列中的一项？若存在，求所有满足要求的；若不存在，说明理由．

2016～2017高三模拟考试
高三数学参考答案
一、填空题
1．； 2．； 3．； 4．； 5．；
6．； 7．； 8．； 9．； 10．；
11．； 12．； 13． ； 14．.
二、解答题
15. 解：（1）当，时，，又，
，
若，则，即，解得．
……………7分
（2）因为，，所以，
因为，所以，则，
所以，
故当或时，的最大值为． ……………14分
16. 证：（1）因为平面，所以，
又因为，所以平面． ……………7分
（2）因为，平面，平面，
所以平面， ……………10分
又因为平面平面，平面，
所以． ……………14分

17. 解：（1）连接，因为正方形边长为米，
所以，则，所以，………2分
所以广场的面积为（）
………6分
（2）作于，于，记，
则， ………8分
由余弦定理得

， ………12分
所以,当且仅当时取等号，
所以，
因此求条小路的总长度的最小值为米．
答：（1）广场的面积为平方米；
（2）条小路的总长度的最小值为米． …………14分
18. 解：（1）直线斜率显然存在，设为，则直线，
因为，所以, ………3分
由得，，
． ………6分
（2）当直线斜率不存在时，的面积；
当直线斜率存在时，设为，则直线，显然，
直线，由得, ………8分
所以．
因为，所以,
到直线的距离即到的距离，为，
所以的面积， ………12分
令，则．
综上，面积的取值范围． …………16分
说明：求范围还可以：
令，
19．解：（1）函数的定义域为，，，
由题意，对任意的，都有，只要，
由基本不等式得，当且仅当时取等号，
所以，即实数的取值范围是． ………4分
（2）当时，，，
所以在上单调递增，
又因为，所以，因此，
故不等式的解集为． ………9分
（3），，令，
当时，因为,所以一定有两个零点，
设为，又因为，所以，
则在区间或上单调递增，在上单调递减， ………12分
因为，所以，
因为,所以，
所以，
又，则，
所以在上只有一个零点． ………16分
说明：事实上，对任意的，函数只有一个零点．
20. 解：(1) 因为，所以当时，，
两式相减得 ，即，又，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故． ………4分

由得 ，
以上个式子相乘得，即 ①，当时，②，
两式相减得 ，即（）， ………6分

所以数列的奇数项、偶数项分别成等差数列，
又，所以，则，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，因此数列的通项公式为． ………8分

另法：由已知显然，因为，所以，则数列是常数列，
所以，即，下同上．
（2）当时，无意义，
设，显然，
则，即，
显然，所以，
所以存在，使得，， ………12分

下面证明不存在，否则，即，
此式右边为的倍数，而不可能是的倍数，故该式不成立．
综上，满足要求的为． ………16分

附加题参考答案
21.A．证明：因为CD为圆的切线，弧BC所对的圆周角为
所以 （1）
又因为 AB为半圆O的直径
所以，
又BD⊥CD，所以 （2）
由（1）、（2）得
所以 ……………10分
21.B. 解：因为 ，所以
所以； ……………5分
矩阵的逆矩阵. ……………10分

21.C. 解：曲线C的普通方程是． ……………………………2分
直线l的普通方程是． ……………………………4分
设点M的直角坐标是，则点M到直线l的距离是
．………10分
21.D. 证明：因为(a1b1)(1212)6， ………… 8分
所以． …………10分
法二：分析法，要证，
即证，
即证，
即证
由基本不等式易得。
22. 解：连接CE， 以分别为轴，
建立如图空间直角坐标系，
则，
因为F为线段AB上一动点，且，
则， 所以.
（1）当时，，，
所以； …………4分
（2），
设平面的一个法向量为=
由,得，化简得，取
设与平面所成角为，则.
解得或（舍去），所以. …………10分

23. 证明：(1)
因为 ，
，
又因为，所以，
所以，
即，所以能被整除． …………5分
（2）由得，
因为除最后一项外都是的倍数，
所以用除所得的余数是或，
又因为是平方数，其末尾数可能是，
所以末尾数不可能是或，
因而不能被整除，即不能被整除，从而不能被整除，
所以不能被整除． …………10分