高二数学(理)试卷解析及答案.doc

青铜峡一中2017~2018学年高二第二次月考
高二年级数学（理科）试卷 （150分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分）

1．下列命题正确的是 (　　)
A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>b
C．若>，则a<b D．若<，则a<b
[解析]　对于A，若c<0，其不成立；对于B，若a、b均小于0或a<0，其不成立；对于C，
若a>0，b<0，其不成立；对于D，其中a≥0，b>0，平方后显然有a<b. 选择：D
2.已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是(　　)
A.p∨q为真，p∧q为真，﹁p为假 B.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为真
C.p∨q为假，p∧q为假，﹁p为假 D.p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假
【解析】　∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假，应选D.
3．有下列四个命题：
①“命题：∃x0∈R，使得x－x0＋1≤0的否定是：对∀x∈R，都有x2－x＋1>0”；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若,则有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ ）
A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ③④
【答案】C
【解析】 “全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积相等”，为假；
“若,则有实根”的逆否命题与原命题真假相同，因为时，
,所以有实根，即原命题为真，因此其逆否命题为真；
“不等边三角形的三个内角相等”逆命题为“三个内角相等三角形不等边”，为假；因此选C．
4．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±2x，则实数m等于(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
解析：由题意，得双曲线焦点在x轴上，
且a2＝8，b2＝m，∴a＝2，b＝.
又渐近线方程为y＝±2x，∴＝4.∴m＝32.
答案：D
5．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)
A.　 B. C. D.
解析：∵a2＝2，b2＝m，e＝＝＝＝，∴m＝.
答案：B
6．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为(　　)
A. B.∪
C. D.
【解析】　因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.
【答案】　B
7．已知m，n∈R，则“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　若方程＋＝1表示双曲线，则必有m·n＜0；当m·n＜0时，方程＋＝1表示双曲线．所以“m·n＜0”是“方程＋＝1表示双曲线”的充要条件．
8、当为任意实数时，直线恒过定点，则过点的抛物线的标准方程是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】将直线方程化为 ，可得定点，①设抛物线代入点可求得，故；②设抛物线代入点可求得，故故选C
9.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于(　　)
A.2 B.2 C.4 D.2
【解析】　设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则焦点坐标为，准线方程为x＝－，
∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即2＋＝3，p＝2，抛物线方程为y2＝4x，
∵M(2，y0)在抛物线上，∴y＝8，
∴|OM|＝＝＝2.
【答案】　B
10、设变量满足约束条件， 则的最大值为( )

A． B． C． D．

【答案】C
【解析】解：作出约束条件，
对应的平面区域如图：
由z=3x﹣2y得y=x﹣，
平移直线y=x，经过点A时，直线y=x﹣的截距最小，此时z最大．
由，解得A（1，0），
此时zmax=3×1﹣0=3，
故选：C
11、已知椭圆： 的左焦点为，若点关于直线的对称点在椭圆内， 则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A, B, C, D,
【答案】c
【解析】椭圆左焦点坐标为 ，它关于直线 的对称点为 ，
据此可得： ，整理可得： ，
结合： 整理可得： ，
即： ，
椭圆的离心率 ，则： .
12．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是(　　)
A.(－1，0) B.(2，＋∞) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.不能确定
解析　由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
答案　C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13．若命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p是________．
【答案】　∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1
【解析】　因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
14．已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是________．
解析：∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，
∴双曲线C：－＝1的离心率e>，即>2.
∴m>4.
答案：(4，＋∞)
15设双曲线（）的半焦距为，直线过，两点.已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为
解：由已知，直线的方程为，由点到直线的距离公式，得，
又, ∴,两边平方，得，整理得，
得或，又 ，∴，∴，∴，故选A
16．－2≤k<－1是方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0的两根同号的 条件
A．k<－1或k≥ B．－2<k<－1 C．－2≤k<－1或<k≤1 D．－2≤k≤1
解析：方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0的两根同号的充要条件是：

⇔⇔⇔－2≤k<－1或<k≤1.
答案：C
三、解答题（本大题共6小题， 17题10分，其余各12分；解答应写出求解演算步骤）

17．（1）一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的2倍，求动点P的轨迹方程．
（2）已知点A(－a,0)、B(a,0)，a>0，若动点M与两定点A、B构成直角三角形，求直角顶点M的轨迹方程？
解析：（1）设动点P坐标为(x，y)，则动点P到直线x＝8的距离d＝|x－8|，到点A的距离
|PA|＝，
由已知d＝2|PA|得：
|x－8|＝2，化简得：
3x2＋4y2＝48.
故动点的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
（2）设点M的坐标为(x，y)．由AM⊥BM，得kAM·kBM＝－1，即 · ＝－1，
化简得x2＋y2＝a2.
因为M、A、B三点不共线，点M的纵坐标y≠0，
从而x≠±a，所以所求轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)． 答案：x2＋y2＝a2(x≠±a)
18． (1)已知x>0，y>0.若lgx＋lgy＝2，求5x＋2y的最小值．
(2)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值.
解(1)由已知，得x·y＝100，
5x＋2y≥2＝2＝20.
∴当且仅当5x＝2y＝，即当x＝2，
y＝5时，等号成立．
所以5x＋2y的最小值为20.
(2)法一：∵x，y∈R＋，
∴(x＋y)＝4＋≥4＋2.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号．
又x＋y＝4，∴＋≥1＋，
故＋的最小值为1＋.
法二：∵x，y∈R＋，且x＋y＝4，
∴＋＝＋＝1＋≥1＋2＝1＋.
当且仅当＝，即x＝2(－1)，y＝2(3－)时取“＝”号，
故＋的最小值为1＋.
19．某玩具厂每天计划生产佩奇、乔治、小羊苏西这三种玩具共100个，生产一个佩奇需5分钟，生产一个乔治需7分钟，生产一个小羊苏西需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个佩奇可获利润5元，生产一个乔治可获利润6元，生产一个小羊苏西可获利润3元．
(1)试用每天生产的佩奇个数x与乔治个数y表示每天的利润ω(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？
解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，
所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.
(2)约束条件为

整理得
目标函数为ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如图所示，

20、已知双曲线C的顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，离心率
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过点P（3，0）且斜率为k的直线与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值
【答案】（1）（2）或或或．
试题解析：（1）设双曲线C的标准方程为
∴2a=8，
所以a=4，c=5，b=3，
∴双曲线C的标准方程为
（2）直线方程为y=k（x﹣3）
由得（9﹣16k2）x2+96k2x﹣144（k2+1）=0，
①9﹣16k2=0，即或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点，
②9﹣16k2≠0，
∴△=（96k2）2+4×144（9﹣16k2）（k2+1）=0，
∴7k2﹣9=0，
∴或（
综上所述，或或或．
考点：双曲线标准方程的求解和直线与曲线的位置关系
21.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值及直线方程.
【解】　(1)由题意得
解得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝，
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.所以直线方程为……

22. (1) 已知抛物线，过其焦点作斜率为的直线交抛物线于、两点，且. 求抛物线的方程；
(2)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
解：（1）设抛物线的焦点为，则直线，
由，得
抛物线时，方程
(2)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
所以C的方程为y2＝4x. 依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，
|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1).
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，
y3y4＝－4(2m2＋3).
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于MN垂直平分AB，故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即
4(m2＋1)2＋＋
＝.
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.